Dimensional analysis for complex systems

dimensional analysis for complex systems

# INTRODUCTION

저번 시간에는 laminar flow 혹은 tubulent flow가 흐를 때, flat plate에서의 heat trasfer coefficient($h_x , h_m$)를 구하는 방법에 대해 알아보았습니다. 그런데 왜 이 경우에 대해서만 풀었을까요??? 두구두구두구두구!! 그것은 바로 조금이라도 더 복잡한 경우에 대해서는 해석적으로(미분방정식으로부터) 구할 수 없기 때문입니다ㅜㅜ (어떻게 보면 시험에 안나와서 좋아요ㅎㅎ) 하지만 다른 방식으로 complex system에 대한 $h_m$을 구하게 되는데요. 그것이 바로 dimensional analysis입니다! 그럼 오늘은 이 방법에 대해 한번 알아보겠습니다.
(dimensional analysis를 하는 본질적인 이유에 대해 알아보고 싶으시다면 Why dimensional analysis?를 참고하세요)

# 연결고리

<교과서 시작>

유체가 $u_b$의 속도로 길이 $L$, 직경 $D$인 pipe 안으로 들어올 때, pipe 내부에서의 heat transfer coefficient($h_m$)을 구하기 위해 $h_m$과 관련된 무차원수(dimensionless number)를 구하는 예제를 보여주고 있습니다.
<교과서 끝>

그럼 저희도 예제를 같이 풀어보면서 dimensional analysis란 어떤 것인지를 파악해 보도록 하죠!

STEP 1 : system과 관련된 모든 변수를 나열하기

step 1은 dimensional analysis를 하면서 가장 어려운 부분이라고 할 수 있는데요. 각 system을 얼마나 물리적으로 이해했냐에 따라서 필요한 변수를 더 많이 찾을 수도 적게 찾을 수도 있기 때문입니다. 만약 특정한 물리적인 과정을 생각하지 못해서 system을 기술하는 가장 핵심적인 변수 하나를 생각해내지 못했다면 다음 step들을 아무리 잘 한다 하더라도 system을 정확히 기술하는 데에는 실패할 수 밖에 없습니다.

그렇다면 우리가 다룰 system에는 어떤 변수들이 관련되어 있을지 보죠.

variable	symbol	dimension
Bulk velocity of fluid	$u_b$	[$L/\theta$]
Diameter of pipe	$D$	[$L$]
Length of heated section	$L$	[$L$]
Fluid density	$\rho$	[$M/L^3$]
coefficient of thermal expansion	$\beta$	[$T^{-1}$]
Temperature difference. $t_s-t_0$	$\Delta t$	[$T$]
Mean heat-transfer coefficient	$h_m$	[$H/\theta T L^2$]
Fluid thermal conductivity	$k$	[$H/L\theta T$]
Gravitational acceleration	$g$	[$L/\theta$]
Dimensional constant	$g_c$	[$ML/F \theta^2$]
Specific heat of fluid	$C_p$	[$H/MT$]
Fluid viscosity	$\mu$	[$M/L\theta$]
Dimensional constant	$J$	[$FL/H$]

여기서 쉽게 생각나지 않을 변수는 $\beta, g_c, J$ 가 있을 텐데요.
$\beta = \frac {1}{V}\frac{\partial V}{\partial T}$는 열팽창계수로서 유체가 pipe wall의 온도($t_s$)와 유체의 온도($t_0$)의 차이에 의해서 팽창 혹은 수축이 일어난다는 것을 고려하기 위해 반드시 필요한 변수라고 할 수 있습니다. 또한 $g_c와 J$는 단순히 단위를 맞춰주기 위한 도구이며 물리적인 의미는 없습니다.

STEP 2 : 변수들이 가지고 있는 fundamental dimensions 찾기

위의 표를 보면 전체 변수들이 갖는 dimension(fundamental dimensions)은 $L, \theta, M, T, H, F$으로 6개임을 알 수 있습니다.

STEP 3 : Buckingham pi theorem으로 독립적인 무차원수의 개수 구하기

Buckingham pi theorem 이란?

$x$개의 fundamental dimensions을 포함하는 $y$개의 변수들로 기술되는 system은 $|x-y|$개의 무차원수(dimensionless number)를 갖는다.

따라서 Buckingham pi theorem을 이용하면 $y$(13) - $x$(6) = 7개의 무차원수가 있음을 알 수 있습니다.

STEP 4 : $x$개의 독립 변수를 선택해서 “recurring parameters” 구하기

13개의 변수들 중에서 독립 변수 6개를 고르는 건데요. 무작정 마음에 든다고 이것저것 고르면 되는 것이 아니라, 각 변수의 dimension이 다른 5개의 변수들의 곱이나 나누기로 만들 수 없어야 합니다. 예를 들어 $D, L, ...$을 고르면 틀린 것입니다. 왜냐하면 각각의 dimension은 다른 하나에 의해 만들어 질 수 있기 때문이죠. 또한 이것들이 무차원수의 구성요소가 될 것이기 때문에 실험을 통해 쉽게 측정가능한 값일 수록 좋습니다. 아참, dimenional analysis가 왜 사용되는지를 안보신 분은 잘 모르겠네요. 저희는 궁극적으로 이 system의 $h_m$을 무차원수들의 사칙연산으로 표현해서 간단한 실험으로 complex system의 $h_m$을 구하려고 하는 것입니다! 따라서 무차원수가 포함하고 있는 독립 변수들이 실험으로 쉽게 측정가능한 값이면 좋겠죠?

그래서 저는 $L, \rho, \mu, k, g_c, J$를 골랐습니다~

STEP 5 : 나머지 변수들에 recurring parameter를 곱해서 dimensionless가 되게 하는 계수 구하기

예를 들어, recurring parameter로 선정되지 않은 $u_b$에 recurring parameter들을 곱하는 거에요.
$$\pi_1 = u_b L^a \rho^b \mu^c k^d {g_c}^e J^f$$
위의 식을 dimension에 대해서 쓰면, 다음과 같이 허벏러러러러벌한 식이 되겠죠?
$$L^0 \rho^0 \mu^0 k^0 {g_c}^0 J^0 \,\,\, [=] \,\,\, L^1 \theta^{-1} L^a M^b L^{-3b} M^c L^{-c}\theta^{-c} H^d L^{-d} \theta^{-d} T^{-d} M^e L^e \theta^{-2e} F^{-e} F^f L^f H^{-f}$$
위의 식으로부터 지수함수의 상등을 이용하면 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있습니다. 예를 들어, $L$의 지수간의 관계식은 다음과 같습니다.
$L : 1+a-3b-c-d+e+f=0$
마찬가지 방법으로 식들을 구하면,

$L : 1+a-3b-c-d+e+f=0$
$M : b+c+e=0$
$\theta : -c-d-2e-1=0$
$H : d-f = 0$
$F : -e+f =0$
$T : -d =0$

이를 풀면, $a=1, b=1, c=-1, d=0, e=0, f=0$
즉, $\pi_1 = \frac{u_b L \rho}{\mu}$임을 알 수 있습니다.

STEP 6 : 이미 정의된 기존 무차원수로 바꿔주기

step 5에서 나머지 변수들($\Delta t, \beta, C_p, g, h_m, D$)에 대한 무차원수 $\pi_2, \pi_3, \pi_4, \pi_5, \pi_6, \pi_7$을 구할 수 있겠죠? 만약 잘 구하셨다면 다음과 같이 나타낼 수 있을 것입니다. (제가 귀찮아서 그러는 거 절대 아니에요…꼭 한 번 해보세요!! )

$\pi_2 = \frac{L^2 \rho^2 kg_c J \Delta t}{\mu^3}$

$\pi_3 = \frac{\mu^3 \beta}{L^2 \rho^2 kg_cJ}$

$\pi_4 = \frac{C_p \mu}{k}$

$\pi_5 = \frac{L^3 \rho^2 g}{\mu^2}$

$\pi_6 = \frac{h_m L}{k}$

$\pi_7 = \frac{D}{L}$

이렇게 무차원수만 구하면 끝인가?! 아니죠!
저희의 목적을 다시 한 번 되새겨 보자면, $h_m$을 무차원들의 사칙연산으로 나타내는 것이었습니다.
자, 이제 이를 실행에 옮기면,
$$\pi_6 = \frac{h_m L}{k} = \alpha \pi_1^a \pi_2^b \pi_3^c \pi_4^d \pi_5^e \pi_7^f$$
그런데 물리적인 유용한 의미를 갖도록 무차원수를 묶어주면
$$\pi_6 = \frac{h_m L}{k} = \alpha (\pi_2 \pi_3 \pi_5)^p (\pi_4)^q (\pi_1 \pi_7)r$$
$$\pi_6 = \frac{h_m L}{k} = \alpha \left(\frac{\rho^2 g\beta L^3 \Delta t}{\mu^2}\right)^p \left(\frac{C_p \mu}{k}\right)^q \left(\frac{\rho u_b D}{\mu}\right)^r$$

즉 기존의 무차원수로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있겠죠?
$$Nu_m = \alpha Gr^p Pr^q Re^r$$
<참고>
Nusselt number(Nu)
Grashof number(Gr)
Prandtl number(Pr)
Reynolds number(Re)

무엇에 쓰는 물건인고?

$$Nu_m = \alpha Gr^p Pr^q Re^r$$
우리는 pipe로 유체가 흘러들어가는 system에 대해 온도 변화, 유체의 부피 팽창 등 모든 변수들을 고려했고, 총 6단계에 걸쳐 무차원수로 이루어진 하나의 식을 얻을 수 있었는데요.
그럼 이것은 어떻게 사용되는 것일까요?
만약 우리가 실험실에서 pipe flow에 대한 모든 변수들(위의 13개)을 측정할 수 있다고 가정해 볼까요? 그렇다면 조정가능한 변수들을 (ex. $\Delta t, u_b ...$) 조금씩 바꾸면서 나머지 변수들도 재 측정할 수도 있겠죠? 이렇게 얻어진 데이터들을 바탕으로 우리는 $Nu_m = \alpha Gr^p Pr^q Re^r$의 지수들을 결정할 수가 있습니다. 즉, 실험으로부터 직경이 $D$, 길이가 $L$인 pipe 입구로 유체가 $u_b$의 속도로 흘러들어오고 pipe wall과 유체의 온도차이가 있는 경우에 대해서는 $h_m$이 다른 변수들과 어떤 관계를 갖는지를 알게 된 것입니다. 따라서 이와 같은 조건에 있는 어떤 pipe flow에 대해서도 recurring parameter에 해당하는 값들만 조사한다면, $h_m$을 구할 수 있다는 말씀! 둥둥 탁!

# CONCLUSION

오늘은 유체의 흐름이 있어서 열전달이 복잡하게 일어나는 system에 대해 heat transfer coefficient를 구할 때에는 dimensional analysis를 이용하면 쉽다는 것을 알 수 있었습니다. 책을 보면 각 heat transfer condition에 따라 $Nu_m = \alpha Gr^p Pr^q Re^r$의 지수가 어떻게 결정된다는 것이 나와있는데요. 센스쟁이라면 문제를 풀 때에는 주어진 조건에 가장 맞는 식을 골라서 $h_m$을 구할 거라 믿습니다~ 긴 글 읽느라 고생 많으셨습니다~ 다음 시간에도 좋은 연결고리로 찾아뵙겠습니다!