Heat transfer with flow parallel to a flat plate

heat transfer with flow parallel to a flat plate

# INTRODUCTION

저번시간까지 2주동안 prandtl mixing length theory를 공부하면서 turbulent flow와 어느 정도 친해졌을 텐데요. 이번 시간에는 laminar flow와 turbulent flow가 둘 다 일어나는 계에서의 heat transfer에 대해서 알아보겠습니다. 너무 긴장하지 마세요! flat plate에서만 다룰 거에요^^

# 연결고리

<교과서 시작>

유체가 flat plate 위를 laminar flow($Re_{x}< 5 \times 10^5$)로 흐를 때,
$$Nu_x = 0.332(Re_x)^{1/2}Pr^{1/3}$$
유체가 flat plate 위를 turbulent flow($Re_{x} > 3 \times 10^6$)로 흐를 때,
$$Nu_x = 0.0292(Re_x)^{4/5}$$

이 때 turbulent flow에서의 $Nu_x$는 turbulent boundary layer가 flat plate의 시작점(길이가 0인 점)에서부터 시작된다고 가정해서 구한 것이다. 따라서 실제상황에서 turbulent flow 영역까지 heat transfer rate($q$)를 구하려면 $x$에 따라 laminar flow 영역에서의 $h_x$과 turbulent flow 영역에서의 $h_x$을 이용하여 평균한 $h_m$을 구해야 한다.

<교과서 끝>

flow parallel to a flat plate

혹시 서론에서 “laminar flow와 turbulent flow가 둘 다 일어나는 것이 가능한 것인가?” 라는 물음을 가진 분들을 위해 그림을 준비했어요. 제가 예시로 들고자 하는 계는 바로 위와 같이 유체가 흘러가다가 flat plate를 만나서 laminar boundary layer가 형성되고, 또 일정 길이($L_c$)이후 부터는 전이영역을 거쳐 turbulent boundary layer가 형성되는 계를 말해요.

만약 flat plate의 길이 $L< L_c$라면 그냥 laminar flow parallel to a flat plate에서 구했던 것처럼 $$Nu_x = 0.332(Re_x)^{1/2}Pr^{1/3}$$ 로부터 heat transfer rate($q$)를 구할 수 있지만, $L >L_c$ 라면 반드시 이번 포스팅에서 구하는 방식으로 구해야 합니다! 그럼 이제부터 예제를 가지고 자세히 알아보도록 하겠습니다.

example

공기가 flat plate와 평행하게 29.2 m/s의 일정한 속도로 흐르고 flat plate와 접하는 부분에서는 hydrodynamic boundary가 형성된다. bulk 공기의 온도를 섭씨 16도, plate 온도를 섭씨 38도라고 하자. 그리고 plate는 1.2 $\times$ 1.2 $m^2$ 의 넓이를 가지고 있을 때, plate는 시간 당 얼마의 열을 잃겠는가?

공기의 특성은 다음과 같다.

$\rho= 0.076 \,\, lb/ft^3$
$\mu = 1.36 \times 10^{-5} \,\, lb/(ft)(s)$
$k = 0.0164 Btu/(h)(ft)(^\omicron F)$
$Pr =1$

먼저 문제의 상황을 그림으로 나타내보면 아래와 같겠죠?

1. $Re_L$

이제 저희가 먼저 구해봐야 하는 것은 $Re_L$입니다. plate가 끝나는 부분까지 laminar flow라면 굳이 turbulent 식과 평균을 구할 필요가 없기 때문이죠. 앞에서는 $L_c$와 $L$을 비교했었죠? 그래서 원래의 논리대로라면 $L_c$를 구해서 $L$과 비교해야 합니다. 하지만 더 쉽게 문제를 풀기 위해서 $L_c$에서의 $Re_{L_c} = 5 \times 10^5$라는 것을 이용해서 이 값보다 $Re_L$이 큰 지, 작은 지를 확인하는 방법을 사용해보겠습니다.

flat plate에서의
$Re_L = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{(0.076 lb/ft^3)(29.2 m/s * \frac{1}{0.305} ft/m)(1.2 m * \frac{1}{0.305} ft/m)}{1.36 \times 10^-5} = 2.1\times10^6$

$Re_L$을 구해보니 $5 \times 10^5$보다 크므로($Re_L > Re_{L_c} \to L > L_c$) turbulent boundary layer를 통해서도 열이 방출됨을 알 수 있습니다.

2. $h_m$

그럼 이제 교과서에 나와 있는대로 laminar boundary layer 에서의 $h_x$와 turbulent boundary layer 에서의 $h_x$를 평균하여 $h_m$을 구해봅시다. 위에서 부터 가끔 선평균이라는 말을 사용했는데요. 이는 다음과 같은 식에서 도출한 결과가 수학에서의 선평균과 일치하기 때문입니다.
$$q/b = h_m L (t_s - t_o) = \int_0^L h_x (t_s - t_0) dx$$
$$b는 plate 폭, 문제에서는 1.2m로 L과동일해요!$$
$$h_m = \frac{1}{L} \int_0^L h_x dx$$

주어진 문제에서 $h_x$는 $x$에 따라 값이 달라집니다. laminar boundary layer가 끝나는 길이를 $L_c$라고 하면
$$h_m = \frac{1}{L} \left[ \int_0^{L_c} h_x (lam) dx+ \int_{L_c}^L h_x (tur) dx \right]$$

각 $h_x = Nu_x \frac{k}{x}$을 대입하면
$$h_m= \frac{1}{L} \left[ \int_0^{L_c} \frac{k}{x}0.332(Re_x)^{1/2} dx+ \int_{L_c}^L \frac{k}{x} 0.0292(Re_x)^{4/5} dx \right]$$
$$h_m= \frac{1}{L} \left[ 0.332 k (\frac{\rho U}{\mu})^{1/2}\int_0^{L_c} x^{-1/2} dx+ 0.0292k(\frac{\rho U}{\mu})^{4/5}\int_{L_c}^L x^{-1/5} dx \right]$$
$$h_m= \frac{1}{L} \left[ 0.332 k (\frac{\rho U}{\mu})^{1/2}(2x^{1/2})|_0^{L_c}+ 0.0292k(\frac{\rho U}{\mu})^{4/5}(\frac{5}{4}x^{4/5})|_{L_c}^L \right]$$

$$h_m= \frac{k}{L} \left[ 0.664 {Re_{L_c}}^{1/2}+ 0.0365(Re_L^{4/5} - Re_{L_c}^{4/5})\right]$$
laminar boundary layer가 끝나는 길이 $L_c$에서의 $Re_{L_c} = 5 \times 10^5$이므로
$$h_m= \frac{k}{L} \left[ 0.664 (5 \times 10^5)^{1/2}+ 0.0365(Re_L^{4/5} - (5 \times 10^5)^{4/5})\right]$$
$$h_m= \frac{k}{L} \left[-853.2 + 0.0365Re_L^{4/5}\right]$$

이제 위에서 구한 $Re_L = 2.1 \times 10^6$을 대입하면
$$h_m = \frac{0.0164 Btu/(h)(ft)(^\omicron F)}{(1.2/0.305)\, ft} \times (-853.2 + 0.0365 \times (2.1 \times 10^6)^{4/5}) = 13.48 Btu/(h)(ft^2)(^\omicron F)$$

3. heat transfer rate $q$

따라서 우리가 구하고자 하는 시간 당 plate가 잃는 열량은 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$$q = h_m A (t_s - t_o)$$
$$q = (13.48)\frac {(1.2 \times 1.2)}{0.305^2}(38-16)\frac{9}{5} = 8263 \,Btu /h$$

# CONCLUSION

여기까지 오느라 수고 많으셨습니다!! 만약 오늘 포스팅 내용을 잘 이해하셨다면, flat plate와 관련된 문제에서 틀릴 일은 없으실 거에요. 저도 제일 헷갈렸던 건데 책에는 진짜 세 줄 요약으로 되어 있어서 처음 볼 때에는 아예 이런 내용이 있는 줄도 몰랐어요… 그래서 무조건 이 내용은 예제와 함께 하겠다고 마음 먹었는데(벌써 두 달 전…), 그게 이제서야 현실이 되었네요.ㅋㅋ 혹시라도 질문 있으시면 해주시고요. 저는 다음에 다른 연결고리로 찾아뵙겠습니다~!