Prandtl mixing length theory (1)

prandtl mixing length theory

# INTRODUCTION

저번 시간에는 average coefficient에 대해 배우면서 뒷장에 나올 식들은 대부분 empirical 식들로 주어진다고 언급한거 기억하시나요? 이것은 바로 유체가 turbulent flow의 특성을 나타내기 때문입니다. turbulence가 있을 때는 유체의 흐름이 매우 불규칙적이기 때문에 이론적으로 완벽하게 예측하기가 매우 어렵습니다. 그래서 Bennett & Myers 3/e 23장에서는 Reynolds를 비롯한 많은 학자들이 momentum transfer와의 analogy를 이용해서 turbulent flow에서의 heat transfer를 기술하죠. 24장에서는 직접 실험을 통해서 만든 empirical 식들을 많이 볼 수 있을 거에요. 그래서 어쩌면 turbulent flow에 대해 잘 몰라도 식만 잘 외우면 문제를 푸는데는 어려움을 못 느낄 수도 있어요. 하지만 turbulent flow를 잘 이해하고 싶다면 이번 포스팅에서 다룰 prandtl mixing length theory를 한 번 진득하게 읽어보시기 바랍니다! 그럼 시작해 보죠.

# 연결고리

<교과서 시작>

이번 주제는 교과서 내용과 함께 기술하겠습니다.

<교과서 끝>

이번 주제는 교과서에도 물론 잘 나와 있습니다. 하지만 책을 읽으면서도 이해가 잘 안되고 뭔가 내용이 부족하다는 느낌이 듭니다. 아무래도 저자는 저희가 이 책 앞부분의 유체역학 부분을 다 보고 온다고 생각해서겠죠? 물론 이것을 다 읽어보면 이해를 할 수 있습니다. 하지만 시험기간이라면 그럴 시간이 없기에 제가 차근차근 정리해 드리겠습니다!

Turbulent flow

먼저 본격적인 이론 설명에 앞서 turbulent flow(난류)에 대해 간단히 설명해드릴게요. 이것은 laminar flow와 상응하는 개념인데요. 이전 포스팅에서 laminar flow를 언급하기는 했지만 제대로 설명드리지는 않았죠. 간단히 언급하자면, laminar flow는 각 유체성분이 pipe를 따라 질서정연하게(관 벽과 평행하게) 흐르는 것을 말합니다. 반면에 turbulent flow는 각 유체성분이 뒤죽박죽 섞이면서 흐르는 것을 말해요. 그래서 turbulent flow의 경우 모든 방향 성분의 속도가 0이 아닙니다.
그럼 어떻게 pipe에 흐르는 유체가 laminar flow인지, turbulent flow인지 알까요?(Re) 네! 바로 Re(Reynolds) 수를 구해봐야죠. pipe의 경우에는 2100보다 작으면 laminar flow, 4000보다 크면 turbulent flow라고 할 수 있습니다. 당연히 그 사이는 전이영역(transition region)이겠죠?

Mixing length

유체가 turbulent flow의 특성을 띠는 경우, 멀리서 봤을 때는 모든 위치에서의 유체 속도가 똑같은 것 같아요. 하지만 가까이서 보면 그렇지 않습니다. 위치에 따라서도 다르지만 시간에 따라서도 아래의 왼쪽 그림과 같이 약간씩의 변동이 있습니다. 하지만 그 변동폭($= |u_x '|$)은 매우 작고, 시간에 대해 평균을 취하면 $\overline{u_x}$값을 갖습니다.

즉, 임의의 유체의 속도 $u_x = \overline{u_x} + u_x '$로 나타낼 수 있는 거죠. 이것이 turbulent flow 해석의 출발입니다. 여기까지 이해되셨으면, 이제 본격적으로 Prandtl mixing length theory로 들어가볼까요?

이번에는 시간에 따라서가 아니고, 위치에 따라서 살펴보도록 해요. 위의 오른쪽 그림에서 볼 수 있는 것처럼 위치에 따라서도 유체의 속도는 약간씩 다른데요. 시간평균 값을 중심으로 $|u_x '|$의 진폭을 가지고 값이 변할 수 있겠죠? 아, 참고로 y축에서 $l$은 mixing length를 의미합니다. (참고만 하셔야 되는게 아니고,,, 이게 중요한 거에요;; ㅎㅎ)

mixing length $l$의 정의는 “위치에 따른 속도 변화율이 linear하다고 볼 수 있는 아주 작은 길이”에요. 미분가능한 함수 $f(x)$를 아주 작은 $\Delta x$에 대해서는 선형으로 근사하기도 하죠? 비슷한 거라고 생각하시면 됩니다. 어쨌든 mixing length를 수식화 해보자면, 다음과 같아요.
$$\frac{(\overline{u_x} -u_x ') - \overline{u_x}}{y_1 +l - y_1} = \frac{-u_x '}{l} = \frac {d \overline{u_x}}{dy}$$
$u_x'$을 mixing length를 이용해서 나타내면 다음과 같겠죠?
$$|u_x'| = l \left| \frac {d \overline{u_x}}{dy} \right|$$
여기서 부호는 위치에 따라서 계속 달라지는 값으로 절댓값을 취했어요. 사실 부호는 큰 상관이 없죠. 그 크기가 중요해요.

Reynolds stress

laminar flow에서는 shear stress(momentum flux)가 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있었죠? ($x$는 flow의 진행방향, $y$는 radial 방향이라고 할 때)
$$\tau _{yx} = \rho \nu \frac{d u_x}{dy} = \mu \frac{d u_x}{dy}$$

그럼 turbulent flow에서도 똑같을까요? 너무나도 불행하게도,, 그렇지 않습니다(ㅠ.ㅠ) 위에서 turbulent flow에서 유체의 속도가 $u_x = \overline{u_x} + u_x '$와 같이 나타난다고 했죠? 바로 이것 때문에 모든 게 틀어졌습니다. 그리고 이런 잘못된 만남이 Reynolds stress를 만들어내고 말았어요. 즉, shear stress가
$$\tau _{yx} = \rho \nu \frac{d \overline{u_x}}{dy} - \rho \overline{u_x ' u_y '}$$
와 같이 나타납니다. (자세한 과정을 알고 싶은 분들은 Bennett & Myers 3/e 155~158쪽을 참고하세요! 아니면 타 유체역학 책의 turbulent flow 부근에 있을 거에요.)

여기서 laminar flow에서의 shear stress와 비교하여 덧붙여진 항을 Reynolds stress라고 합니다.
$$\tau_{yx}\,^r = - \rho \overline{u_x ' u_y '}$$

Eddy kinematic viscosity

그런데 Prandtl은 이 Reynolds stress마저도 laminar flow에서의 shear stress와 비슷한 꼴로 만들고 싶어 했죠. 그래서 다음과 같이 eddy kinematic viscosity($\nu_e$)를 정의했습니다.

$$\tau_{yx}\,^r = - \rho \overline{u_x ' u_y '} = \rho \nu_e \frac{d \overline{u_x}}{dy}$$

그리고 $\nu_e$값을 다음과 같이 쉽게(?) 구할 수 있었겠죠?ㅋㅋ

$$|\overline{u_x ' u_y '}| = |\overline{u_x ' }||\overline{u_y '} | = l^2 \left|\frac {d \overline{u_x}}{dy} \right|^2$$
여기서 $|u_y'|$ 도 $|u_x'|$와 같은 크기를 갖는다는 가정을 하긴 했죠.
$$|u_x'|= |u_y'| = l \frac {d \overline{u_x}}{dy}$$
그리고 보통 $\overline{u_x ' u_y'}$의 부호는 $d\overline{u_x}/d{y}$의 부호를 따르기 때문에
$$\overline{u_x ' u_y '} =- l^2 \left|\frac {d \overline{u_x}}{dy} \right|\frac{d \overline{u_x}}{dy}$$
가 됩니다.

이제 위의 식에 이 결과를 대입하면,
$$\tau_{yx}\,^r = - \rho \overline{u_x ' u_y '} = \rho l^2 \left|\frac {d \overline{u_x}}{dy} \right|\frac{d \overline{u_x}}{dy} = \rho \nu_e \frac{d \overline{u_x}}{dy}$$
드디어!!! eddy kinematic viscosity는 다음과 같이 구할 수 있습니다!
$$\nu_e = l^2 \left|\frac {d \overline{u_x}}{dy}\right|$$

#CONCLUSION

이번 시간에는 prandtl mixing length를 이용하여 eddy kinematic viscosity($\nu_e$)를 구해보았습니다. 기본적으로 turbulent flow에 대한 기초지식이 있어야 쉽게 이해할 수 있기에 turbulent flow 부분만이라도 유체역학 책을 뒤적여보는 것이 가장 좋지만;;;; 위의 내용을 숙지하면 이해하는 데 큰 문제는 없을 거라 생각됩니다. (다들 한 번 더 읽어 보실거죠?ㅋㅋ) 다음 시간에는 이번 포스팅에 이어서 eddy thermal diffusivity를 prandtl mixing length로 구해보고 저변에 깔려 있는 가정이 무엇인지 알아보도록 하겠습니다. 그럼 다음 시간에 더 좋은 연결고리로 찾아뵙겠습니다!