Newbie를 위한 양자역학 29. 양자통계역학 part 1

 

 

자성에 관해 연재를 한 이후로 한동안 잠적했지만 다시 돌아왔습니다 ^^ 군 복무 중에도 꾸준히 글을 올리고자 노력했지만 생각보다 정말 쉽지 않다는 걸 느낍니다. 장교로 복무하다보니 업무량은 물론이거니와 책임감이 배가 되니 직장인 마냥 하루하루 고비를 넘기는 것 같습니다… 작년에는 ASF 때문에 난리인지라 월화수목금금금으로 방역지원을 뛰곤 했답니다…하핳…

물리학 책을 마지막으로 펼쳐본지가 벌써 1년이 다 되어 가니 기억이 가물가물할 지경이네요. 이렇게 머리가 백지 상태가 되어가는게 아닌가 싶어 요즘에는 바쁜 시간을 쪼깨면서 연재에 신경을 써볼까 합니다. 지금 제 상황에서 작년만큼 활발하게 연재할 수는 없겠지만 그래도 열심히 노력해볼려고 합니다…!

이번 강의와 다음 강의에서는 두 개 이상의 입자들로 이루어진 계의 양자역학에 대해 다루어보려고 합니다. 그리고 간단하게 양자통계역학에 대해 언급해보는 것으로 마무리 지으려고 합니다. 이번 포스트에서는 페르미온과 보존이 실제로 무엇을 의미하는지, 그리고 어떤 분포 형태를 갖는지 알아보도록 합시다.

동일 입자들로 구성된 물리계

이전까지 다루던 슈뢰딩거 방정식은 에너지를 고유값으로 갖는 헤밀토니안으로서, 입자 1개에 대한 고유 함수를 해로 갖는 방정식이었습니다. 만일 여러 입자들로 이루어진 계의 상태를 기술하고자 한다면 해당 계의 헤밀토니안을 알면 되겠죠. 만일 $n$개의 입자의 상호작용에 의한 퍼텐셜 에너지가 오로지 위치와 시간에 대한 함수라면 해당 계의 헤밀토니안을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}=\hat{H}=-\sum \frac{{\hslash }^2}{2m_i}{\nabla }_i^2+V(r_1,r_2,r_3,...,r_n)$$
위와 같은 헤밀토니안의 고유함수는 변수분리를 통해서
$$\Psi (r_1,r_2,r_3,...,r_n,t)=\psi (r_1,r_2,r_3,...,r_n)e^{-\frac{iEt}{\hslash }}$$
임을 알 수 있습니다.

논의를 간단히 하기 위해 퍼텐셜 에너지 항을 상수로 취급해버립시다. 이때, 입자 1개가 가질 수 있는 상태 함수는 ${\psi }_1,{\psi }_2,...{\psi }_k$라고 가정할 수 있습니다. $a_i\in (1,2,3,...k)$일 때, 입자 i에 대응되는 상태가 $a_i$인 상황에서 우리는 단순하게 입자 계에 대응되는 상태 함수는 아래와 같다고 생각할 수 있습니다.
$$\psi (r_1,r_2,r_3,...,r_n)={\psi }_{a_1}(r_1){\psi }_{a_2}(r_2)...{\psi }_{a_n}(r_n)$$
물론 위와 같은 관점은 굉장히 고전적인 관점입니다. 양자역학이 적용되는 미시세계에서는 근원적으로 입자를 구분할 수 없게 됩니다. 이러한 입자의 비구분성은 양자통계역학을 이해하기 위한 조건 중 하나라고 볼 수 있습니다. 아래의 사진을 예시로 들어보죠.

두 개의 입자 A와 B가 있습니다. 관측, 혹은 어떠한 상호작용을 거친 후 C와 D가 되었다고 해보죠. 고전역학에서는 A가 C가 되고 B가 D가 되는 경우나 그 반대의 경우로 나타날 것입니다. 입자를 구분할 수 있기 때문에 시간을 거슬러 올라가 초기 상태와 최종 상태를 연결 할 수 있을 것입니다.

반면에 양자역학으로 넘어가게 되면, 두 입자는 구분 불가능하기 때문에 두 번째 그림과 같은 과정인지 아니면 세 번째 그림과 같은 과정인지 구분할 수 없게 됩니다. 따라서, 두 경우 모두 확률적으로 가능하나 어떤 경우에 대한 것인지 명확히 알지 못한다는 것입니다.

좀 더 일반적인 예를 수식으로 설명해보겠습니다, 구별 불가능한 두 개의 입자 $P_1$과 $P_2$가 $s_1$과 $s_2$ 두가지 상태로 존재 가능하다고 합시다. 관측하기 전에는 두 입자가 어떤 특정한 상태에 놓여있겠죠. 하지만, 관측이라는 행위를 하는 순간 입자의 상태에 영향을 줄 것이므로 각각의 입자가 어떤 상태인지 알 방법이 없다는 것입니다. 양자역학에서는 입자의 비구분성을 고려해 아래와 같은 파동함수의 형태로 문제를 해결합니다.

$${\psi }_{\pm }(P_1,P_2)=C_1{\psi }_{s_1}(P_1){\psi }_{s_2}(P_2)\pm C_2{\psi }_{s_1}(P_2){\psi }_{s_2}(P_1)$$
물론 위의 식은 단순성을 위해 Steady-state로 상정한 것이며, 관측이라는 행위를 하기 전 입자 $P_1$과 $P_2$이 가질 수 있는 상태의 선형 합으로 표현된 것입니다. 특별한 조건이 없다면 상수항 $C_1$과 $C_2$는 같은 값을 가질 것입니다. 규격화를 통해 위의 경우에는 $\frac{1}{\sqrt{2}}$가 될 것입니다. 다만, 주의 깊게 봐야 할 점은 바로 $\pm$ 부호 입니다. 우선 부호에 따라 나누어 표현하겠습니다.

$${\psi }_{+}(P_1,P_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}({\psi }_{s_1}(P_1){\psi }_{s_2}(P_2)+{\psi }_{s_1}(P_2){\psi }_{s_2}(P_1))...(1)$$
$${\psi }_{-}(P_1,P_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}({\psi }_{s_1}(P_1){\psi }_{s_2}(P_2)-{\psi }_{s_1}(P_2){\psi }_{s_2}(P_1))...(2)$$

만일 $s_1$과 $s_2$ 를 나타낸다면 식 (1)과 (2)는 큰 문제가 되질 않습니다. 그러나 $s_1$과 $s_2$가 같은 상태를 나타낼 경우, 식 (1)은
$${\psi }_{+}(P_1,P_2)={\psi }_{s_1}(P_1){\psi }_{s_2}(P_2)$$
로 표현할 수 있지만, 식 (2)의 경우에는 0이 되게 됩니다. 이것은 무엇을 뜻하는 걸까요? 실제로 자연계에서 식 (1)과 같은 형태로 표현되는 입자를 보존(Boson)으로 정의합니다. 반대로, 식 (2)와 같이 표현되는 입자는 페르미온(Fermion)이라 정의하구요.

가장 간단한 두 개의 입자로 이루어진 계를 통해 보존과 페르미온의 차이점을 이해하셨을 겁니다. 맞습니다. 보존은 서로 다른 두 입자가 같은 상태에 존재할 수 있으나, 페르미온은 같은 상태에 존재할 수 없습니다. 이러한 페르미온의 성질을 확인할 수 있는 것이 바로 파울리의 배타 원리입니다. 전자는 스핀 양자수 $s=\frac{1}{2}$인 페르미온이기에 서로 다른 두 전자가 같은 상태에 공존할 수 없다는 원리죠.

만일 $n$계의 입자들로 이루어진 계로 확장한다면, 가질 수 있는 상태는 $s_1,s_2,...s_n$일텐데, 이 중에서 임의로 선정한 입자 $i$는 마찬가지로 $s_1,s_2,...s_n$ 모든 상태에 대해 존재할 가능성이 있겠죠.

그래서 보존의 경우에는 $$\psi (P_1,P_2,...P_n)=\frac{1}{n!}({\psi }_{s_1}(P_1){\psi }_{s_2}(P_2)...{\psi }_{s_n}(P_n)+{\psi }_{s_1}(P_2){\psi }_{s_2}(P_1)...{\psi }_{s_n}(P_n)+...)$$
으로 표현될 수 있습니다.

그리고 페르미온의 경우에는,
$$\psi (P_1,P_2,...P_n)=\frac{1}{n!}\left|\begin{array}{cccc}{\psi }_{s_1}(P_1)& {\psi }_{s_2}(P_1)& ...& {\psi }_{s_n}(P_1)\\ {\psi }_{s_1}(P_2)& {\psi }_{s_2}(P_2)& ...& {\psi }_{s_n}(P_2)\\ ...& ...& ...& \\ {\psi }_{s_1}(P_n)& {\psi }_{s_2}(P_n)& ...& {\psi }_{s_n}(P_n)\\ & & & \end{array}\right|$$
로 Slater Determinant 꼴로 표현할 수 있습니다.

통계역학으로의 적용

여러 입자로 이루어진 계의 양자적 특성을 보다 쉽게 분석하기 위해 통계역학을 적용해보도록 합시다. 고전 통계역학에서는 고립계가 온도 T로 유지되는 열평형 상태에 있을 때, 선험적 동등 확률의 원리를 기본 전제로 삼고 있습니다. 이 전제는 고립계 내에서 에너지와 입자의 총 갯수가 보존될 때, 입자 계가 가질 수 있는 다양한 미시 상태들이 모두 같은 확률로 존재 가능하다는 것을 의미합니다. 이 원리를 적용해서 입자 계의 분포를 구체적으로 계산해보도록 합시다.

$N$개의 입자 계가 있고, 각각의 입자가 가질 수 있는 에너지, 그리고 해당 에너지를 고유치로 갖는 상태의 겹침 수를 $E_i$와 $d_j$라고 합시다. 만일 가능한 에너지 준위가 $n$개라면 에너지 준위에 따른 입자의 갯수를 $N_1,N_2,...,N_n$로 취급할 수 있습니다. 그렇다면, 계의 총 에너지와, 계를 이루는 입자의 갯수가 고정되었다고 가정한다면
$$\Sigma N_i{E}_i=E$$
$$\Sigma N_i=N$$
의 방정식을 구할 수 있습니다. 열 평형 상태에서 $N$개의 입자들로 이루어진 계의 총 에너지가 E로 주어질 때, 가능한 계의 모든 미시 상태들은 서로 같은 확률로 존재한다고 볼 수 있습니다. 에너지 준위에 대응되는 각 상태에 배치된 입자의 수를 $N_1,N_2,...,N_n$라고 한다면, 열평형 상태라는 것은 이 중에서도 경우의 수가 가장 큰 상태라는 것을 알 수 있습니다.

이는 볼츠만의 엔트로피 정의로부터도 유추할 수 있습니다.
$$S=k_B\ln \Omega (N,E)$$
열역학의 주요 내용을 상기해보면, 가장 단순한 고립계를 상정했을 때 엔트로피가 최대인 상태로 계의 상태가 결정됩니다. 따라서, 볼츠만의 엔트로피 정의에 따라서도 계의 총 에너지와 입자의 갯수가 위와 같이 정해진 조건에서 경우의 수가 극값을 가져야 한다는 것을 알 수 있습니다. 엔트로피가 최대가 되는 계의 상태를 구하는 것은 결국 위에서 본 것과 마찬가지로 경우의 수가 가장 많은 상황을 구하는 것과 동치인 것입니다. 이제 입자 계의 분포를 구체적으로 유도해봅시다.

구별 가능한 입자 계: 볼츠만 분포

고전적인 관점에서 이상 기체는 열적 평형 상태에서 볼츠만 분포를 따르는 것으로 알려져 있습니다. 간단하게 설명하자면, 온도 T 인 열적 평형 상태에서 에너지 E에 대응되는 상태에 있을 확률은 $e^{-\frac{E}{k_{B}T}}$에 비례한다는 것이죠. 만일 계를 이루는 입자가 가질 수 있는 에너지와, 동일한 에너지 준위에서 가질 수 있는 서로 다른 상태의 수를 나타내는 겹침수에 대해 아래와 같이 가능한 표본의 집합을 정의할 수 있습니다.
$$E_{possilble}=E_1,E_2,...,E_n$$
$$g_{degenerate}=g_1,g_2,...,g_n$$
고립계라고 가정한다면, 입자의 갯수와 총 에너지는 불변량이 되겠죠. 그래서 아래와 같은 조건도 만족해야 합니다.
$$\Sigma N_i{E}_i=E$$
$$\Sigma N_i=N$$
결론부터 말하자면, 열적 평형 상태에서 에너지 $E_i$를 갖는 입자의 갯수는 아래와 같다고 할 수 있습니다.
$$N_i=N\frac{1}{\Sigma e^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}}{g}_i{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$$
N개의 입자들을 에너지 상태에 따라 분류할 수 있습니다. 즉, 에너지를 기준으로 n개의 그룹으로 나눌 수 있습니다. 각 그룹별로 $(N_1,N_2,...,N_n)$로 구할 수 있을 때, N개의 서로 다른 입자들 가운데 $(N_1,N_2,...,N_n)$의 형태로 추출할 수 있는 경우의 수는 $\frac{N!}{N_1!N_2!N_3!....N_n!}$ 임을 알 수 있습니다. 그러나, 각 상태별 겹칩수를 $g_{degenerate}=g_1,g_2,...,g_n$인 상황이므로 좀 더 엄밀하게는
$$\frac{N!}{N_1!N_2!N_3!....N_n!}{g}_1^{N_1}{g}_2^{N_2}.....g_n^{N_n}$$
라고 할 수 있겠죠. 그렇다면 통계역학적 엔트로피는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$$S=k_B\ln \Omega (N,E)=k_B\ln \frac{N!}{N_1!N_2!N_3!....N_n!}{g}_1^{N_1}{g}_2^{N_2}.....g_n^{N_n}$$
이 값이 극대값이 되도록 $N_1,N_2,...,N_n$을 결정하기 위해서 우리가 적용해야 할 조건들은 아래와 같습니다.
$$\Sigma N_i{E}_i=E....(1)$$
$$\Sigma N_i=N....(2)$$

라그랑주 승수법을 이용하면, 이와 같은 구속조건을 만족하며 함수(여기서는 엔트로피)를 극대값으로 하는 $N_1,N_2,...,N_n$을 구할 수 있습니다.
이를 식으로 표현해보죠. 임의의 상수 $\alpha$와 $\beta$를 이용해 다음과 같은 함수의 극대값을 구해봅시다.

$$f(N_1,N_2,N_3,....,N_n)=\ln \frac{N!}{N_1!N_2!N_3!....N_n!}{g}_1^{N_1}{g}_2^{N_2}.....g_n^{N_n}+\alpha (N-\Sigma N_i)+\beta (E-\Sigma N_i{E}_i)$$

우변에 $\alpha$와 $\beta$로 표현된 두 개의 항은 값이 0이므로 위의 함수의 극대값을 구하는 문제는 곧 주어진 구속 조건 아래에서 엔트로피가 극대값을 갖는 $(N_1,N_2,...,N_n)$을 구하는 문제와 같다고 볼 수 있습니다. 이제 $N_i$에 대해 편미분하여 0이 되는 값을 구한다면 되겠죠? 다만, 여기서 스털링 근사를 이용해야 합니다.
$$lnN!\simeq NlnN-N+1$$
입자들이 무수히 많아 각 상태에 대응되는 입자의 갯수도 굉장히 큰 수라는 가정을 도입해보면 $(N_1,N_2,...,N_n)$에 대해서도 모두 스털링 근사를 적용할 수 있습니다.
근사를 적용한 후 $N_i$로 편미분하여 식이 0이 되는 $N_i$의 조건을 구한다면 볼츠만 분포와 유사한 형태를 구할 수 있습니다.
$$N_i=N\frac{1}{\Sigma e^{-\frac{E_j}{k_{B}T}}}{g}_i{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$$
혹은,
$$N_i=N{g}_i{e}^{-(\alpha +\beta E_i)}=N{g}_i{e}^{-\beta (E_i-\mu )}$$
여기서 $\alpha$와 $\beta$은
$$\alpha =-\mu k_{B}T$$
$$\beta =\frac{1}{k_{B}T}$$
를 만족한다는 것은 추후에 다시 설명하도록 하겠습니다.

구별 불가능한 입자 계: 페르미 - 디랙 분포

이제부터는 구별이 불가능한 입자 계에 대해서 적용해보도록 합시다. 입자의 비구분성을 고려했을 때, n개의 에너지 준위에 대응되는 입자들의 갯수를 $N_1,N_2,...,N_n$의 형태로 추출 가능한 경우의 수를 구해야 합니다. 페르미온의 경우, 파울리의 배타 원리에 의해 동일한 상태에 존재할 수 없기 때문에 해당되는 에너지 준위에 따라 겹침수 $g_{degenerate}=g_1,g_2,...,g_n$ 이하의 서로 다른 상태를 가질 수 있습니다. 따라서, 에너지 준위에 대응되는 입자의 수를 $N_1,N_2,...,N_n$으로 선택할 수 있는 경우의 수는
$$\Omega =\prod _{i=1}^n{g}_i{\mathrm{C}}_{N_i}$$
가 된다는 것을 알 수 있습니다. 다음으로, 페르미온 분포에 대해서도 아래와 같은 구속 조건을 만족해야 합니다.
$$\Sigma N_i{E}_i=E$$
$$\Sigma N_i=N$$
마찬가지로 라그랑주 승수법을 이용하면 위와 같은 조건을 만족하면서 엔트로피가 극대값을 갖는 $(N_1,N_2,...,N_n)$을 구할 수 있게 됩니다.
$$f(N_1,N_2,N_3,....,N_n)=\ln \prod _{i=1}^n{g}_i{\mathrm{C}}_{N_i}+\alpha (\Sigma N_i-N)+\beta (\Sigma N_i{E}_i-E)$$
볼츠만 분포에서 했던 것처럼 $N_i$로 편미분한 결과가 0이 되는 시점에서 엔트로피가 극대값을 갖게 됩니다. $g_i\gg 1$, $N_i\gg 1$인 매우 큰 계에 대해서 스털링 근사를 무리 없이 사용할 수 있습니다.
볼츠만 분포에서의 유사성을 고려해볼 때, $\alpha$와 $\beta$은
$$\alpha =-\frac{\mu }{k_{B}T}$$
$$\beta =\frac{1}{k_{B}T}$$
이라는 것을 이용하여 페르미온의 분포는 아래와 같은 페르미-디랙 분포 함수의 형태로 표현된다는 것을 알 수 있습니다.
$$N_i=g_i\frac{1}{1+e^{\beta (E-\mu )}}$$

구별 불가능한 입자 계: 보즈 - 아인슈타인 분포

보존은 페르미온과 마찬가지로 구별 불가능한 입자로 취급되지만, 파울리의 배타원리가 적용되는 페르미온과 다르게 서로 다른 두 입자가 같은 상태에 존재해도 무방합니다. 따라서, 에너지 준위에 따른 겹침수
$g_{degenerate}=g_1,g_2,...,g_n$가 주어졌을 때, 에너지 준위에 대응되는 입자를 $(N_1,N_2,...,N_n)$으로 중복 선택할 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 구별 불가능한 입자를 중복해서 선택할 수 있는 경우의 수는 중복 조합의 형태로 나타낼 수 있으며 이에 따라 상태수는 아래와 같이 표현됩니다.
$$\Omega =\prod _{i=1}^n{g}_i{\mathrm{H}}_{N_i}$$
다음으로, 보존도 아래의 구속 조건을 만족해야 합니다.
$$\Sigma N_i{E}_i=E$$
$$\Sigma N_i=N$$
마지막으로, 위의 두 경우와 마찬가지로 라그랑주 승수법을 이용하면, 보존의 분포는 아래와 같은 보즈-아인슈타인 분포 함수의 형태로 표현된다는 것을 알 수 있습니다.
$$N_i=g_i\frac{1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}$$
계산을 하다보면 $g_i-1$의 형태를 포함하게 되지만, 겹침수 $g_i\gg 1$라는 가정 아래에서 1이라는 숫자는 생략해도 무방하기에 생략 가능하다는 것을 밝힙니다.

$\alpha$와 $\beta$ 유도

앞서 라그랑주 승수법을 통해 구속조건을 포함한 다변수 함수의 극대값을 구하는 과정에서 상수 $\alpha$와 $\beta$는 각각
$$\alpha =-\frac{\mu }{k_{B}T}$$
$$\beta =\frac{1}{k_{B}T}$$
를 만족한다는 말 이외에는 추가적인 설명을 하지 않고 넘어갔습니다. 이제 $\alpha$와 $\beta$가 왜 화학 퍼텐셜과 온도에 대응되는 값들인지 확인해보도록 합시다.

통계역학에서 화학 퍼텐셜은 Canonical ensemble에서 화학 반응 등에 의해서 어떤 입자가 추가될 때 계의 자유 에너지의 증가량으로 정의할 수 있습니다.
$$\mu =(\frac{\partial F}{\partial N}{)}_{V,T}$$
마찬가지로 통계역학에서 온도는 아래와 같은 방법으로 정의하게 됩니다.
$$\frac{1}{T}=(\frac{\partial S}{\partial E}{)}_{V,N}$$
앞에서 이미 입자의 종류별 분포 함수를 구했으니, 대분배 함수로부터 자유 에너지를 구하고, 또 엔트로피를 구해서 편미분하고…이렇게 주구장창 계산을 할 수 있지만, 그리피스 책에서도 언급했듯이 많이 복잡합니다. 그래서 보다 단순하게, 3차원 무한 퍼텐셜 우물에서 구별 가능한 입자 계로 적용해서 구해보겠습니다.

3차원 무한퍼텐셜 우물에서는 정상파 형태로 이루어진 파동함수를 구해 직교 좌표축에 대응되는 파수 벡터 $k=(k_x,k_y,k_z)=(\frac{n_x\pi }{l_x},\frac{n_y\pi }{l_y},\frac{n_z\pi }{l_z})$를 구할 수 있습니다.
그리고 이를 통해 3차원 무한퍼텐셜 우물에 갇힌 입자의 에너지를 아래와 같이 표현할 수 있습니다.
$$E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}=\frac{{\hslash }^2}{2m}(k_x^2+k_y^2+k_z^2)$$
동일한 에너지 준위를 갖는 다른 상태의 갯수를 겹침수라고 정의했습니다. 3차원 무한퍼텐셜 우물에서도 파수 벡터 공간상에서 겹침수를 아래와 같이 구할 수 있습니다.
$$g_k=\frac{l_x{l}_y{l}_z{k}^{2}dk}{2{\pi }^2}=\frac{V{k}^2}{2{\pi }^2}dk$$

드브로이 물질파 이론에 따르면, 운동량을 결정하는 파수 벡터 $k$에 대해 입자의 운동 에너지는 $\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$으로 결정됩니다. 따라서 파수 벡터 공간상에서 같은 에너지를 갖으나 파수 벡터의 각 성분이 다른 값들이 존재할 것입니다. 에너지를 고유값으로 갖는 헤밀토니안 연산자에 대해, 같은 고유값을 갖는 서로 다른 고유 상태들을 겹침 상태(Degenerate state) 라고 하며, 이러한 겹침 상태의 수를 위와 같은 파수 벡터 공간상에서 계산한 것입니다.

구별 가능한 입자 계에서 열정 평형 상태를 만족할 경우, 해당 에너지 상태에 위치할 확률은 위에서 구했던 볼츠만 분포 함수를 따른다고 볼 수 있습니다.
$$f_E(k)=e^{-(\alpha +\beta E_i)}$$

그렇다면, 계의 총 입자 수는 가능한 모든 상태에 대해 해당 에너지 상태에 위치할 확률 $\times$ 이에 대응되는 겹침 상태의 수의 합으로 구할 수 있습니다.
$$N=\int f_E(k)g_{k}dk$$
이에 대한 상세한 계산은 아래와 같습니다.
$$N=\frac{V}{2{\pi }^2}{e}^{-\alpha }\int k^2{e}^{-\frac{\beta {\hslash }^2{k}^2}{2m}}dk=V(\frac{m}{2\pi \beta {\hslash }^2}{)}^{\frac{3}{2}}{e}^{-\alpha }...(a)$$

입자 계의 총 에너지는 이 과정에서 해당 상태의 에너지 $\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$를 가중함수로 곱해서 계산하면 구할 수 있습니다.
$$E=\frac{V}{2{\pi }^2}{e}^{-\alpha }\int E(k)(=\frac{hba{r}^2{k}^2}{2m}\times k^2{e}^{-\frac{\beta {\hslash }^2{k}^2}{2m}}dk=\frac{3V}{2\beta }{e}^{-\alpha }(\frac{m}{2\pi \beta {\hslash }^2}{)}^{\frac{3}{2}}...(b)$$

(a)와 (b)의 식을 통해서 $e^{-\alpha }$ 항을 소거하게 되면
$$E=\frac{3N}{2\beta }$$
를 얻을 수 있습니다. 이미 고전 역학에서와 마찬가지로 N개의 단원자 입자의 열 에너지는 $$E=\frac{3}{2}N{k}_{B}T$$
임을 알고 있으므로 $$\beta =\frac{1}{k_{B}T}$$
라는 것을 유도할 수 있습니다.

다음으로 $\alpha$에 대해 유도해보도록 하겠습니다. 위에서 볼츠만 분포를 구하는 과정에서 자연스럽게
$$N_i=N\frac{1}{\Sigma e^{-\frac{E_j}{k_{B}T}}}{g}_i{e}^{-\frac{E_i}{k_{B}T}}$$
$$=N{g}_i{e}^{-(\alpha +\beta E_i)}=N{g}_i{e}^{-\beta (E_i-\mu )}$$
로 넘어왔습니다.

만일, $\alpha$에 대한 식만 남긴다면,
$$e^{-\alpha }=\frac{1}{\Sigma g_i{e}^{-\beta E_i}}$$
임을 알 수 있습니다. 이것은 통계역학의 Canonical ensemble에서 정의되는 분배 함수라는 것을 알 수 있습니다.
$$z=\Sigma g_i{e}^{-\beta E_i}$$
따라서, 구별 가능한 입자로 이루어진 계의 분배함수는 $Z=z^N$임을 알 수 있죠.

결국, $\alpha$는 아래의 식
$$\alpha =lnz$$
으로 표현되며, 이를 통해 헬름홀츠 자유 에너지와 화학 퍼텐셜을 간단하게 유도할 수 있게 됩니다.
$$F=-k_{B}TlnZ=-N{k}_{B}Tlnz$$
$$\mu =\frac{\partial }{\partial N}F=-\alpha k_{B}T$$
여기서 화학 퍼텐셜이란, 입자 수의 증가량에 따른 계의 자유 에너지의 증가분이라고 할 수 있습니다.

마무리

이번 강의에서는 여러 입자로 이루어진 계의 분포가 크게 3가지로 나뉘어지며, 열적 평형 상태에서 각각의 입자 계의 특징과 분포 함수의 형태에 대해 알아보았습니다. 두 개 이상의 입자를 다루기 위해서는 양자역학만으로는 무리가 있었죠.그래서 양자역학의 개념을 보존한 상태에서 적어도 열적 평형 상태에 도달한 계에 대해 보다 간단하게 해석할 수 있는 통계역학의 툴을 가져왔습니다. 물질파라는 개념을 적용해 파수 벡터 공간상에서 겹침수를 구하고, 이를 바탕으로 통계역학에서 유도된 화학 퍼텐셜과 온도를 구한 것이 그 대표적인 예입니다. 다음 강의에서는 양자통계효과와 흑체복사 이론에 대해 다루어 보도록 하겠습니다.