Newbie를 위한 양자역학 25_전자의 스핀_part 2

 

전자의 스핀에 대한 간단한 이야기를 이전 포스팅에서 쭉 다루었습니다. 이번 시간에는 가장 단순한 스핀 $\frac{1}{2}$ 상태를 행렬로 나타내는 방법과 이를 이용하여 전자의 상태를 기술하는 방법에 대해서 이야기해보고자 합니다.

스핀행렬

양성자, 중성자, 전자와 같은 입자들은 물리적으로 2개의 스핀 상태를 갖고 있습니다. up 성분과 down 성분이죠. 그러니까 자기장 방향을 z축으로 생각할 때, $\frac{1}{2}\mathrm{\hslash }$와 $-\frac{1}{2}\mathrm{\hslash }$ 두 상태만 존재 가능하다는 것입니다. 우리는 스핀이 up인 상태를 ${\chi }_{+}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)$로 표현하며 down인 상태는 ${\chi }_{-}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$로 표현할 수 있습니다. 양자역학에서는 두 기저상태(up과 down)의 선형결합으로 어떤 입자의 상태를 나타낼 수 있지요. 그러니까 완전성이 성립하는 것이지요. up 상태와 down 상태는 서로 공존할 수 없는 상태이기에 직교성도 성립하구요. 그래서…어떤 임의의 상태를 $\chi =a{\chi }_{+}+b{\chi }_{-}$로 쓸 수 있는 것이죠.

그렇다면 연산자는 어떻게 쓰일까요? 상기해봅시다. 이전 포스팅에서의 연산자가 모두 성립하려면
$$S_z{\chi }_{+}=\frac{1}{2}\mathrm{\hslash }{\chi }_{+}$$
$$S_z{\chi }_{-}=-\frac{1}{2}\mathrm{\hslash }{\chi }_{-}$$
$$S^2{\chi }_{\pm }=\frac{3}{4}{\mathrm{\hslash }}^2{\chi }_{\pm }$$
위의 식을 만족해야 합니다. 그래서 우리는 스핀에 관한 연산자를 다음과 같이 쓸 수 있다는 것을 알 수 있죠.
$$S_z=\frac{1}{2}\mathrm{\hslash }\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
$$S^2=\frac{3}{4}{\mathrm{\hslash }}^2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$
올림연산자와 내림연산자도 생각을 해보면…$S_{\pm }=S_x\pm i{S}_y$이고 $S_{+}{\chi }_{-}=\mathrm{\hslash }{\chi }_{+},S_{-}{\chi }_{+}=\mathrm{\hslash }{\chi }_{-}$이고
나머지 경우에 대해서는 0이 될 수 밖에 없다는 것을 알면 자연스레 x축과 y축에 관한 연산자도 구할 수 있게 됩니다.
$$S_x=\mathrm{\hslash }\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
$$S_y=\mathrm{\hslash }\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$$

당연히 관측가능한 물리량이므로 이 x,y,z 그리고 총 스핀 각운동량 연산자는 모두 헤르미트 연산자입니다.

다만 올림 연산자와 내림 연산자는 허수 i의 혼용으로 헤르미트 연산자가 될 수 없습니다. 연산자에 대한 이야기는 여기까지 하고 그렇다면 임의의 상태가 주어졌을 때, 이를 어떻게 해석해야할지 생각을 해봅시다.
$\chi =a{\chi }_{+}+b{\chi }_{-}$로 주어진 상태가 있을 때, 우리는 계수 a,b의 절대값 제곱을 각각 up 상태와 down 상태의 측정값을 얻을 확률…이라 해석할 수 있겠습니다.
앞에서 에너지를 고유값으로 갖는 파동함수(즉, 슈뢰딩거 방정식의 해)는 기저함수의 선형 합으로 표현할 수 있었죠?
선형 합에서 계수의 비는 곧 어떤 에너지 준위 $E_n$을 측정할 확률로 취급할 수 있었구요. 그러니 스핀에 대한 상태도 마찬가지로 받아들일 수 있겠죠. 측정하기 전에는 up 상태인지 down 상태인지 명확하지 않은데 측정이라는 행위를 통해서 그 시점에서의 입자의 상태가 명확해지는 거죠.

z 방향의 스핀의 기대값을 구할 때는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
$${\chi }^{†}{S}_z\chi =\frac{1}{2}\mathrm{\hslash }(a^{\ast },b^{\ast })\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)$$
전체 각운동량 $S^2$ 또한 마찬가지로 계산할 수 있으며 규격화가 되었기 때문에 값은 $\frac{3}{4}{\mathrm{\hslash }}^2$임을 알 수 있습니다.

여기서 한가지 짚고 넘어가야할 점은, 현재 우리가 기저상태로 사용한 up 상태와 down 상태는 $S_z$연산자의 고유함수라는 것입니다. 그러니까…이 상태에서 만일 우리가 x축의 스핀을 측정한다면 어떤 값이 어떤 확률로 측정될까라고 궁금해할 수 있습니다.
이 문제에 대한 답을 얻기 위해서는 $S_x$ 연산자에 대한 고유함수를 기저로 표현하는 것이죠.

$$S_x=\mathrm{\hslash }\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$ 연산자가 다음과 같이 주어졌을 때, 고유상태를 구하기 위해 det[$S_x$-$\lambda I$]가 0이 되는 고유값을 구하면 고유함수와 고유값은 다음과 같이 나오게 된다는 것을 알 수 있습니다.
$${\chi }_{+}^x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right),\lambda =\frac{\mathrm{\hslash }}{2}$$
$${\chi }_{-}^x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-1}\right),\lambda =-\frac{\mathrm{\hslash }}{2}$$
x축에 대한 새로운 기저 상태로 임의의 상태를 다시 표현하게 된다면 아래와 같이 나온다는 것도 확인 할 수 있습니다.
$$\chi =(\frac{a+b}{\sqrt{2}}){\chi }_{+}^x+(\frac{a-b}{\sqrt{2}}){\chi }_{-}^x$$
앞의 계수의 제곱을 취하게 된다면 x축 방향에 대해서 측정값 $\frac{1}{2}\mathrm{\hslash }$을 얻게 될 확률이 될 것이며 뒤의 계수의 제곱은 $-\frac{1}{2}\mathrm{\hslash }$를 얻게 될 확률이 되겠네요.

전자의 스핀에 대해서는 이 정도면 충분한 것 같습니다. 전자의 스핀은 곧 전자의 스핀 자기모멘트를 수반하게 됩니다. 스핀 자기모멘트에 의해서 비정상 제만 효과도 관측될 뿐더러 균일하지 않은 자기장에서 중성의 전하를 가짐에도 불구하고 은입자의 궤도가 꺾이는 이유도 설명할 수 있죠. 이에 대해서는 다음 시간에 자세히 다루어보도록 하겠습니다.