Newbie를 위한 양자역학 22_각운동량_part1

지난 시간에는 수소원자 모형의 지름 방향, 각 방향 슈뢰딩거 방정식을 모두 풀어봄으로서 수소원자 파동함수의 완전한 해의 형태를 구할 수 있었습니다.
기억을 되새겨 보면, $$\psi_{nlm}=\sqrt{(\frac{2}{na})^3\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3}}e^{-\frac{r}{na}}(\frac{2r}{na})^l L_{n-l-1}^{2l+1}(\frac{2r}{na})Y_l^m(\theta,\phi)$$
의 형태로 주어진다는 것이었죠. 여기서 n이라는 양자수는 에너지 준위와 관계되는 주양자수라고 이야기했죠? n이 클수록 역제곱에 비례해졌으니까요. l과 m은 각운동량과 관계되는 양자수라고 설명하고 말았는데 이번 시간과 다음 시간에는 각운동량 양자수가 어떤 의미를 갖는지, 그리고 어떻게 풀 수 있는지에 대해 다루어보려고 합니다.

#각운동량 연산자

고전역학에서는 입자의 각운동량을 다음과 같이 정의합니다. $$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$$ 연산자의 형태로 x,y,z 각 성분 별로 표현한다면 이와 같겠죠.
$$L_x=y\hat{p_z}-z\hat{p_y}, L_y=z\hat{p_x}-x\hat{p_z}, L_z=x\hat{L_y}-y\hat{L_x}$$ 연산자도 알았으니 당연히 연산자에 대한 고유함수도 알 수 있을 것 같습니다.
그런데 어떤 임의의 상태에 대해서 x,y,z 방향의 각운동량 성분(=고유치)를 모두 알 수 있는지 확신할 수 있나요? 우리가 이전에 다루었던 위치에 대한 연산자와 운동량 연산자의 관계를 상기해봅시다.

원래 우리가 헤밀토니안을 통해 구한 파동함수 $\Psi(x,t)$는 사실 운동량을 고유치로 갖는 함수가 아니잖아요? 그래서 운동량을 고유치로 갖는 함수를 구한 결과가 바로 운동량 공간에서 표현한 파동함수 $\Phi(p,t)$가 되었던 거구요. 이런 일이 일어난 이유는 위치와 운동량이 교환연산을 했을 때 같지 않았기 때문이에요.

그렇다면…임의의 2개의 방향에 대해서 각운동량은 교환자가 성립하는지 확인을 해보아야겠네요.

교환자에 대한 관계식 $$[a,b+c]=[a,b]+[a,c], [ab,c]=a[b,c]+[a,c]b, [a,bc]=[a,b]c+b[a,c]$$ 을 이용해봅시다.

$$[L_x,L_y]=[y\hat{p_z}-z\hat{p_y},z\hat{p_x}-x\hat{p_z}]=[y\hat{p_z},z\hat{p_x}]-[y\hat{p_z},x\hat{p_z}]-[z\hat{p_x},z\hat{p_y}]+[z\hat{p_y},x\hat{p_z}]$$

운동량 연산자는 편미분을 포함하는 꼴이기에 쉽게 생각해보면 같은 성분의 위치나 운동량이 교환연산만 되지 않는다면 모두 0이 된다는 것을 알 수 있습니다. 그래서..
$$[L_x,L_y]=[y\hat{p_z},z\hat{p_x}]+[z\hat{p_y},x\hat{p_z}]$$ 가 됨을 알 수 있죠.

이 식은 결국 $$[L_x,L_y]=y[\hat{p_z},z\hat{p_x}]+[y,z\hat{p_x}]\hat{p_z}+[z\hat{p_y},x\hat{p_x}]\hat{p_z}+x[z\hat{p_z},\hat{p_z}]$$
우측의 2번째와 3번째 항은 위의 논리를 그대로 적용하면 0이 되고
이를 똑같이 반복하면 결국에는 간단한 형식으로 표현이 가능합니다.
$$[L_x,L_y]=(y\hat{p_x}-x\hat{p_y})[\hat{p_z},z]=i\hbar(x\hat{p_y}-y\hat{p_x})=i\hbar L_z$$
아하, 결국 x방향과 y방향의 각운동량 연산자를 교환연산시킨 결과 z방향의 각운동량 연산자로 변환이 되는군요.

만일 x,y 방향 각운동량 연산자가 아니라 y,z나 z,x순으로 계산하더라도 결국 똑같은 형식을 갖게 됩니다.

이를 일반적으로 쓰면 $[L_i,L_j]=i\hbar L_k$ 이렇게 쓸 수 있겠네요. 우리가 앞서 위치와 운동량의 교환연산이 0이 되지 않아 호환가능하지 않다고 논의를 한 적이 있었죠? $[x,p]=i\hbar$이다보니 $\sigma_x\sigma_p$가 $\frac{\hbar}{2}$보다 크게 되어서 두 값에 대해 동시에 고유함수를 만족하는 상태를 기술하지 못했죠.

각운동량도 마찬가지입니다. 그러니까 x,y,z 방향의 각운동량 모두를 결정할 수는 없다는 거죠. 그래서 편의상 z 방향의 각운동량만을 고유값으로 갖는 고유함수를 결정할 수 있다고 취급합시다.
그런데 운이 좋게도 각운동량의 절대값에 해당되는 $$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2$$ 같은 경우에는 임의의 방향 성분의 각운동량과 교환연산을 할 경우에 0이 되게 됩니다.

우리는 z 방향의 각운동량을 고려하기로 했으니까 z 방향에 대해서 논의를 해보죠.

$$[L^2,L_z]=[L_x^2+L_y^2+L_z^2,L_z]=[L_x^2,L_z]+[L_y^2,L_z]+[L_z^2,L_z]$$ $$=L_x[L_x,L_z]+[L_x,L_z]L_x+L_y[L_y,L_z]+[L_y,L_z]L_y+[L_z^2,L_z]$$
맨 우측의 첫 번째 항과 두 번째 항의 합은 세 번째 항과 네 번째 항의 합과 크기만 같고 부호가 반대라는 것을 알 수 있습니다. 그리고 마지막 항은 자명하게도 0이구요.

결국 $[L^2,L_z]=0$이 되어 상호호환이 가능하다고 할 수 있겠습니다. 당연히 x나 y방향에 대해서도 똑같이 적용가능합니다. 다만 앞으로는 원자에 자기장을 가했을 때, 자기장에 나란한 방향을 z축으로 설정하고 z축의 각운동량과 전체 각운동량에 대해서만 생각을 하겠습니다. 그렇다면 x나 y방향에 대해서는 결정된 상태가 될 수 없다는 거죠.

어떤 임의의 상태가 $L^2$이라는 연산을 통해서 전체 각운동량의 크기를 고유값으로 갖고, $L_z$라는 연산을 통해서는 z 방향 각운동량의 크기를 갖는다고 할 때, 이 고유상태를 어떻게 찾아야 할까요?

그 답은 바로 이전에 조화진동자에서도 다루었던 사다리 연산자(ladder operator)라는 방법입니다. 먼저 올림 연산자와 내림연산자에 해당되는 녀석들을 정의해야겠죠?

일단, $L_{\pm} \equiv L_x\pm iL_y$라고 정의합시다. 이 녀석과 $L_z$ 연산자를 교환연산시키면 다음과 같습니다.
$$[L_z,L_{\pm}]=[L_z,L_x]\pm i[L_z,L_y]=i\hbar L_y\pm i(-i\hbar L_x)=$$ $$\pm \hbar(L_x\pm iL_y)=\pm[L_z,L_{\pm}]$$

물론 $L^2$ 연산자와 사다리연산자의 교환연산은 0이 되겠죠. 이런 연산을 통해 제가 뭘 보이고자 하는지 아시겠나요? 우리 옛 기억을 떠올려서 조화진동자에서 올림,내림 연산자를 생각해봅시다. 올림연산자를 적용하면 $\psi_n$이 $c_{n+1}\psi_{n+1}$이 되었죠. n번째 들뜬 상태에서 n+1번째 들뜬 상태로 전이하면서도 이 함수는 조화진동자의 헤밀토니안의 고유함수가 되었죠? 그래서 자연스럽게 다음 상태의 에너지 준위를 구해도 문제가 되지 않았던 거죠.

여기서도 마찬가지로 $L^2$와 $L_z$ 연산자의 공통된 고유함수, 예컨대 여기서도 $\psi$를 쓰겠습니다, 아무튼 이 고유함수에 올림연산을 적용시키더라도 두 연산자의 공통 고유함수로 여전히 만족해야한다는거죠.
$L^2(L_\pm \psi)=L_\pm L^\psi=\lambda (L_\pm \psi)$로 올림연산자를 적용한 고유함수는 여전히 각운동량의 절대값을 구하는 연산자에 대해 같은 고유값을 내놓게 되네요.

그러나, $$L_z(L_\pm \psi)=[L_z,L_\pm]\psi+L_\pm L_z\psi=(\lambda_z \pm \hbar)L_\pm \psi$$ 가 되어 z 방향 각운동량에 대해서는 $\hbar$만큼의 차이를 갖는 고유값을 내놓는 고유함수가 됩니다.

전체 각운동량의 크기는 일정하면서 z 방향의 각운동량의 크기가 $\pm \hbar$ 만큼의 간격을 두고 증감할 수 있다는 거죠. 여기서 잠깐 현대물리학의 내용을 상기해봅시다. 어떤 원자의 전체 각운동량의 크기는 부양자수 l(혹은 각운동량 양자수)에 대해서 $\sqrt{l(l+1}\hbar$의 값을 갖는다는 것을 아실 겁니다.

이때 주어진 각운동량 양자수 l에 대해서 자기양자수 m은 항상 l에서 -l까지의 정수를 갖게 되었고, 그때 z 방향의 각운동량은 $m\hbar$의 값을 갖게 됩니다.

만약 z 방향의 각운동량이 전체 각운동량과 같아질 경우 결국 모든 방향의 각운동량의 크기가 결정되기 때문에 하이젠베르크의 불확정성의 원리에 위배되기 때문에 상한값이 존재하는 거구요.

다시 말하자면, z 방향의 각운동량은 전체 각운동량보다 절때 같아서는 안될뿐더러 클 수도 없지요. 그렇지만 z 방향의 각운동량이 그 이하의 값만 된다면, 어떤 값을 가져와도 상관이 없을 것입니다. 보어의 가정으로부터 각운동량이 양자화되어 있다면, 임의의 부양자수 l이 결정되어 전체 각운동량의 크기가 일정할 때, 자기양자수 m의 값에 따라서 z 방향의 각운동량값은 l에서 -l까지 2l+1개의 상태가 존재할 수 있겠죠. 그래서 공통 고유함수는 l과 m이라는 양자수에 대해서 2l+1개의 상태가 존재할 수 있습니다.

자, 올림연산자와 내림연산자를 적용할 때 항상 하던 것 기억하시죠? 내림연산을 유한번 반복한다면 더 이상 고유값을 내릴 수 없는 바닥상태가 존재하며 올림연산의 경우에는 더 이상 증가시킬 수 없는 꼭대기 상태도 존재한다…이 성질을 이용하면 결과적으로 $L^2$ 연산의 고유값인 각운동량의 절대값의 크기가 $\hbar \sqrt{l(l+1)}$이라는 사실과 m 값의 범위에 대해서 알 수 있습니다.

먼저, 꼭대기 상태에 존재하는 고유함수 $f$가 있다고 생각해봅시다. 그렇다면 $L_{\pm}f=0$이 되는 것은 자명하죠. 그렇다면…조화진동자일 때와 마찬가지 방법을 써보도록 하겠습니다.
$$L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=L_{-}L_{+}+L_z^2-i[L_x,L_y]=$$ $$L_{-}L_{+}+L_z^2+\hbar L_z$$
전체 각운동량의 크기를 나타내는 연산자를 올림연산자와 내림연산자, 그리고 z 방향 각운동량 연산자를 적절히 써서 표현을 해보았습니다. 만일 여기에 꼭대기에 해당하는 고유함수 f를 적용한다면 어떻게 될까요? 제일 먼저 올림연산자가 적용되기 때문에 우항의 첫 번째 항은 0이 됩니다. 꼭대기에서 z 방향의 각운동량이 $l\hbar$를 가질 때, $L^2f=\hbar^2 l(l+1)f$가 되게 됩니다.

마찬가지로 바닥상태에 해당하는 고유함수를 f라고 했을 때, 그 바닥상태에서의 z 방향 각운동량을 $n\hbar$라고 한다면, 이번에는 $L^2=L_{+}L_{-}+L_z^2+i[L_x,L_y]$ 라고 해보죠. 그렇다면 바닥상태의 고유함수 f에 대해서는 내림연산자를 적용했을 때 0이 되니까 똑같이 우변의 첫번째 항은 0이 될 테고…결국 각운동량의 제곱은 $\hbar^2 n(n-1)$이 되겠네요.

그런데 각운동량이 $\hbar^2 n(n-1)=\hbar^2 l(l+1)$을 만족하려면 n=-l인 경우에만 가능하다는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 n이 또 다른 가능한 경우인 l+1이 된다면 꼭대기에서의 z 방향 각운동량보다 크기 때문에 모순이 되니까요. 그렇다면 바닥상태의 고유함수로부터 올림연산자를 적용하여 -l과 l 사이의 자기양자수를 갖는 고유상태를 모두 표현할 수 있게 됩니다. 물론 엄청난 계산이 동반되겠지만요.

하지만 여러분이 알아야 할 것은, 우리는 이미 각운동량에 관한 고유함수를 알고 있습니다. 이미 수소원자모형을 유도할 때 배웠지요. 눈치 빠른 분들은 감을 잡았을 것입니다. 네, 바로 구면조화함수..그러니까 수소원자모형으로부터 구한 파동함수의 해를 각 방향 성분과 지름방향 성분으로 나누었을 때, 각 방향 성분의 함수를 말한 것입니다. 그래서 굳이 각운동량에 관한 연산자를 직접 적용해 구할 필요가 없다는 거죠. 왜 그런지에 대해서는 다음 시간에 설명하도록 하겠습니다.