Newbie를 위한 양자역학 23_각운동량_part2

와우…4개월이 지나 다시 포스팅을 올리게 되었네요. 그동안 개인일정 때문에 포스팅에 전혀 신경을 쓰지 못했네요 ㅜㅜ. 앞으로 분발하도록 하겠습니다. 너무 오래 지나서 이전에 어떤 내용까지 설명했는지 막상 기억이 나질 않네요…이러다가 또 잠정적인 휴재를 하게 될 수도…?? 흠흠 아무튼 정신 차리고 시작하도록 하겠습니다. 지난번에 각운동량 연산자의 도입을 설명하면서 마지막 결론 부분에 ‘각운동량 연산자의 고유함수는 곧 구면조화함수(수소원자모형)이 된다’라고 이야기를 해드린 것 같아요.
이번 시간에는 고유함수가 어떻게 구면조화함수의 형태로 표현되는지 마저 이야기해보도록 하죠. 4개월만에 연재하려니까 힘들어서…분량은 짧습니다 히힣…

#각운동량 연산자의 고유함수

$$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$$ 로 주어지는 각운동량을 3차원 좌표계에 대해서 표현할 때 성분별로 아래와 같이 주어진다는 것을 알 수 있습니다.
$$L_x=y\hat{p_z}-z\hat{p_y}, L_y=z\hat{p_x}-x\hat{p_z}, L_z=x\hat{L_y}-y\hat{L_x}$$
이걸 좀 더 간결하게 써볼까요? 그러니까 우리가 알고 있는 gradient(델 연산자)를 이용하면 $\vec{L}=\frac{\hbar}{i}\vec{r}\times\nabla$로 쓸 수 있겠네요.
구면좌표계로 표현하면…$\vec{L}=\frac{\hbar}{i}(\hat{\phi}\frac{\partial}{\partial\theta} - \hat{\theta}\frac{1}{sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi})$가 되죠.
구면좌표계에서 각방향 벡터를 직각좌표계로 변환하면 우리는 정확히 $L_x$, $L_y$.$L_z$를 구면좌표계의 성분들로만 표현할 수 있게 됩니다. 다음과 같이 말이죠.
$$L_x=-\frac{\hbar}{i}(sin\phi \frac{\partial}{\partial \theta} + cos\phi cot\theta \frac{\partial}{\partial \theta} )$$
$$L_y=\frac{\hbar}{i}(cos\phi \frac{\partial}{\partial \theta} - sin\phi cot\theta \frac{\partial}{\partial \theta} )$$
$$L_z=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial \phi}$$
이제부터 무엇을 할 거냐면..결국 $L^2f_l^m=\hbar^2 l(l+1)f_l^m$을 만족하는 고유함수를 구하기 위해서 $L^2$이라는 연산자를 직접 표현할려고 해요.
저걸 직접 구하기 위해서 x,y,z 방향 각운동량 연산자를 각각 두번 적용해서 더해도 되지만! 조금 더 간단하게 정리하기 위해서 올림 연산자와 내림연산자의 관계를 이용할려고 해요.
그러니까…$L_{-}L_{+}+{L_z}^2+\hbar L_z=L^2$ 을 이용하는 거죠. $L_{\pm}=L_x \pm iL_y$에 구면좌표성분으로 표현한 x,y,z 방향 각운동량 연산자를 대입해주면

$$L^2=-\hbar^2[\frac{1}{sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}) + \frac{1}{sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}]$$

(뭔가 급전개가 이루어졌지만….아무튼 됩니다..ㅎㅎ)

그런데..위의 식을 자세히 보면, 수소원자모형_part1에서 지름방향 성분과 각방향성분으로 슈뢰딩거 방정식을 나누었던 걸 상기할 수 있을거에요. 각방향 성분만 따로 정리해놓으면

$$[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}Y(\theta,\phi)-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{sin^2\theta}\frac{\partial ^2}{\partial \phi^2}Y(\theta,\phi)]\frac{1}{Y(\theta,\phi)}=\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m}$$

인 것이 기억나지요? $L^2f_l^m=\hbar^2 l(l+1)f_l^m$와 결국 똑같은 형태로 정리될 수 있다는 걸 확인할 수 있죠. 그러니까 우리가 이미 수소원자모형을 한번 풀었기 때문에 각운동량 때문에 별도로 풀 이유가 없어졌다는 거죠.
구면조화함수를 도출하기 위해서 도입했던 부양자수 l과 자기양자수 m은 결과적으로 각운동량 절대값에 대응되는 양자수 l과 자기장과 평행한(즉 z축) 각운동량에 대응되는 양자수 m이라는 것을 알 수 있죠.

정리를 해보면, 슈뢰딩거방정식이 지름방향과 각방향으로 나누어지는데, 지름방향에 대한 방정식은 결국 에너지에 대한 고유함수를 구하는 과정이었고 각방향에 대한 방정식은 결국 $L^2$과 $L_z$에 대한 연산자의 공통 고유함수를 구한 과정이라고 볼 수 있겠습니다. 그래서 에너지와 관계되는 주양자수 n, 각운동량 절대값과 관계되는 부양자수 l 그리고 자기장 방향에 평행한 각운동량과 관계되는 자기양자수 m이 주어지게 되는거죠.

#마치며

슈뢰딩거 방정식을 통해 결국 3개의 양자수가 튀어나오게 되었네요. 그런데 뭔가 부족하다는 생각은 안드시나요? 고등학교 때 현대물리를 배우면 스핀양자수 s와 $m_s$도 다루었지요. 사실, 슈뢰딩거 방정식에서는 전자의 공간 위치 좌표에 대한 헤밀토니안을 취급하다보니 움직임에 의해 결정되는 궤도 각운동량은 자연스럽게 고려되었죠. 하지만 전자 자체의 회전에 의한 각운동량도 궁극적으로는 고려해야합니다.
다만 전자가 점입자라서 더 이상 고전적인 관점에서의 회전이라고는 할 수 없고 전자라는 물질의 자체적인 성질로 취급하는 것이 더 맞겠죠. 이에 대해서는 다음 포스팅 때 다루도록 합시다.