Newbie를 위한 양자역학 24_전자의 스핀_part 1

 

이번 시간에는 전자의 공간적 좌표에 의해 결정되는 궤도 각운동량 L과 다르게, 전자 자체의 내재적인 성질인 전자의 스핀에 대해 설명을 하고자 합니다.

스핀

전자의 스핀은 네덜란드의 대학원생(…이라 쓰고 나의 미래라 읽는다)인 George Uhlenbeck과 Samuel Goudsmit에 의해서 제안됩니다. 전자-원자핵 간의 궤도 각운동량에 의해 발생하는 궤도 자기쌍극자는 외부의 자기장을 걸어주게 되었을 때, 신기한 현상을 갖게 됩니다. 이를 Zeeman 효과라고 부르는데 Zeeman 효과에 대해 이야기하자면 다음과 같습니다.

 

 

들뜬 상태에 존재하는 전자는 전이를 하게 되면서 에너지를 광자의 형태로 방출하게 됩니다. 그리고 이를 선 스펙트럼의 형태로 측정할 수 있죠. 그런데 외부에서 자기장을 가해주게 된다면 어떻게 될까요? 자기쌍극자가 있을 때 자기장과 자기쌍극자의 방향에 따라 퍼텐셜에너지가 결정되어 자기쌍극자의 변화에 따라 퍼텐셜에너지의 변화가 일어날 것입니다. 퍼텐셜에너지의 차이만큼 들뜬 상태에 존재했던 전자의 에너지 준위는 자기장이 없을 때와 비교했을 때 달라지게 되겠죠.
이전 강의에서 우리는 총 각운동량의 절대값이 $\mathrm{\hslash }\sqrt{l(l+1)}$로 양자화되어 있으며 z축 방향(즉, 자기장이 가해진 방향)의 각운동량 또한 $m_l\mathrm{\hslash }$로 양자화되어 있다는 것을 배웠습니다.
그러니까…자기모멘트와 자기장의 내적으로 표현되는 퍼텐셜 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있으며 자기양자수$m_l$값에 따라서 해당 에너지 준위와 스펙트럼이 더욱 세분화 될 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
$$U=\frac{e\mathrm{\hslash }}{2m_e}{m}_l$$
$$\mu =-\frac{e}{2m_e}\vec{L}$$
$${\mu }_z=-\frac{e\mathrm{\hslash }}{2m_e}{m}_l$$
자기양자수 $m_l$이 $l$에서 $-l$까지 $2l+1$개의 값을 가질 수 있기에 n번째 에너지 준위에서 부양자수(혹은 방위 양자수) l이 정해져 있으면 자기장이 작용할 때 $2l+1$개의 성분으로 스펙트럼이 세분화된다는 것을 알 수 있습니다. 그런데 문제는! 관측 장비가 발달함에 따라서 스펙트럼이 예상했던 것보다 더욱 세밀하게 갈라지게 되었고 단순히 궤도 각운동량에 의해서만으로는 설명될 수 없다는 것을 알게 되죠. 그래서 저 두 사람이 전자의 자전을 제안하고 Dirac이라는 물리학자에 의해서 전자 스핀을 이론적으로 설명하게 됩니다.

스핀 연산자

실제로 점입자에 불과한 전자에 스핀을 부여한다고 물리적인 의미가 있을까요? 질량은 존재하되 부피가 0에 불과한 점 입자라면 고전적인 관점에서 보았을 때 각운동량이 존재한다고 할 수 없겠죠…
그래서 전자 자체의 본질적인 성질로서 원자 전체의 자기모멘트에 영향을 미칠 수 있는 내재적인 특징이라고만 알아두도록 합시다. 전자의 스핀도 결국 궤도 각운동량과 마찬가지로 연산자에 의한 대수적인 방법으로 표현할 수 있습니다. 즉 다음의 성질을 만족하는 기본 교환자로부터 말이죠.
$$[S_x,S_y]=i\mathrm{\hslash }{S}_z,[S_y,S_z]=i\mathrm{\hslash }{S}_x,[S_z,S_x]=i\mathrm{\hslash }{S}_y$$
궤도 각운동량의 경우 $L^2{Y}_l^m(\theta ,\varphi )={\mathrm{\hslash }}^{2}l(l+1)Y_l^m(\theta ,\varphi )$를 만족하므로, 스핀의 절대값 제곱 또한 연산자 $S^2$의 고유값으로서 정의할 수 있습니다.
고유함수를 $|sm>$이라 할 때 $$S^2|sm>=\mathrm{\hslash }s(s+1)|sm>$$ $$S_z|sm>=\mathrm{\hslash }m|sm>$$ 위의 식을 만족한다고 합시다. 그렇다면…우리는 여기서도 올림연산자와 내림연산자를 정의할 수 있으며 이를 $S_{\pm }=S_x\pm i{S}_y$이라고 할 수 있습니다. 각운동량이랑 마찬가지로 $S_{-}{S}_{+}=S^2-S_z^2-\mathrm{\hslash }{S}_z$이므로

$$S_{-}{S}_{+}|sm>={\mathrm{\hslash }}^2(s(s+1)-m(m+1))|sm>$$이라고 할 수 있습니다. 그리고 올림,내림 연산자는 $S^2$연산자와 호환 가능한 연산자이므로 $[S^2,S_{\pm }]=0$이 되지요.
그래서…$$S_{\pm }|sm>=\mathrm{\hslash }\sqrt{s(s+1)-m(m\pm 1)}|s(m\pm 1)>$$ 위의 식을 만족하는 것까지 알 수 있습니다. 그런데 이렇게 보니까 궤도각운동량 연산자랑 전혀 차이점이 없어보이네요. 하지만 한 가지 확실한 것…이라기 보다는 우리가 짚고 넘어가야 할 것은 전자의 스핀에 관계되는 고유함수는 위치 벡터에 의해 서술되는 함수가 아니라는 것입니다.

위치 벡터에 의해 서술되는 함수는 슈뢰딩거 방정식에 의해 풀었던 수소원자모형에서의 지름방향 함수와 각방향 함수가 되겠죠. 스핀을 내포하는 위의 고유함수는 위치 벡터가 아닌 무언가로 서술되어야 합니다. 그리고 궤도 각운동량과 관계되는 부양자수(방위양자수)나 자기양자수와 다르게 스핀과 관계되는 양자수는 불변이어야 합니다. 즉 고유한 불변량이어야 하죠.

실제로 쿼크나 경입자, 좀 더 일상적인 녀석들이 있다면 전자나 양성자 혹은 중성자와 같이 물질을 이루는 입자들은 스핀이 모두 $\frac{1}{2}$입니다.$\frac{1}{2}$은 가장 간단한 물리계라고 할 수 있습니다. 그러나 이 물리계는 이전에 다루었던 수소원자모형처럼 단순히(what…?) 함수의 형태로 표현하지 않고 행렬의 형태로 기술하게 됩니다. 왜냐구요? 음…슈뢰딩거 방정식으로 서술한 수소원자모형의 파동함수는 스핀을 전혀 설명하지 못할 뿐더러 전자 자체의 스핀이 전자의 존재확률분포에도 영향을 미치지 않습니다. 그래서 어떤 수소 원자 내의 전자의 상태를 기술할 때 전자의 위치에 대한 함수와 별개로 스핀 행렬을 더함으로써 에너지, 궤도 각운동량과 관계되는 상태함수와 스핀과 관계되는 상태함수를 동시에 표현하려는 거죠. 스핀행렬에 대해서는 다음 포스팅 때 좀 더 자세히 다루어보도록 하겠습니다.