Newbie를 위한 양자역학 26_전자의 스핀_part 3

 

후! 한동안 개인적인 사정에 밀려서 포스팅에 전혀 손을 대질 못했네요. 오랜만에 포스팅을 하려니까 이전 내용들과 흐름이 살짝(?) 차이가 있을지 모르니 감안해주셨으면 합니다…! 제가 마지막으로 다룬 내용을 다시 살펴보니…전자의 스핀을 행렬을 통해 표현하는 법을 다루었군요. 그래서 이번 시간에는 몇몇 특수한 현상들에 대해 스핀 행렬이 어떻게 적용되는지 보고자 합니다.

자기장 내 전자의 운동

전하를 갖는 입자가 자기장 내에서 이동을 하면 자기장에 의한 로렌츠 힘 $\vec{F}=q\vec{u}\times \vec{B}$을 받게 됩니다. 전자 또한 마찬가지죠. 다만 전자의 경우에는 쌍극자 모멘트 성분이 있어서 정지되어 있는 상태에서도 힘과 토크를 받게 됩니다. 전자기학에서 배운 내용을 상기해보면…자기 쌍극자가 받는 힘과 토크, 그리고 에너지는 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다.

1. $\vec{F}=\nabla (\vec{\mu }\cdot \vec{B})$
2. $\vec{\tau }=\vec{\mu }\times \vec{B}$
3. $E=-\vec{\mu }\cdot \vec{B}$

그리고…전자의 스핀 part 1에서도 언급했지만, 각운동량에 의해 형성되는 자기 쌍극자 모멘트처럼 스핀에 의해 형성되는 자기 쌍극자 모멘트도 생각해볼 수 있겠죠. 잠깐 각운동량에 의한 자기 쌍극자 모멘트에 대해 보도록 할게요.

$${\vec{\mu }}_L=-\frac{e}{2m_e}\vec{L}$$

쌍극자모멘트와 각운동량 사이에는 $\frac{e}{2m_e}$만큼의 비율이 곱해진 것을 알 수 있습니다. 이처럼 각운동량과 쌍극자모멘트 사이의 비례상수에 해당되는 녀석을 자기회전비율이라고 정의하게 됩니다. 궤도 각운동량에 대해서 위의 식이 성립했다면, 마찬가지로 스핀 각운동량에 대해서도 이러한 식이 성립하겠다는 것을 알 수 있겠죠? 다만…! 한 가지 주의해야 할 점은 스핀 각운동량의 자기회전비율은 $-\frac{e}{m_e}$이라는 점입니다. 그래서… 스핀에 의한 자기 쌍극자 모멘트는 $\overrightarrow{{\mu }_s}=-\frac{e}{m_e}\vec{S}$라고 할 수 있죠.

좋습니다. 그렇다면 스핀에 의한 자기 쌍극자 모멘트도 이전에 배운 열벡터의 형태로 표현이 가능하다는 것을 알 수 있네요. 그런데 만일…자기장 안에 정지하고 있는 전자의 에너지를 기술하는 헤밀토니안 H가 행렬의 형태로 표현된다면…? 그리고 그 고유벡터가 스핀행렬이라면 어떻게 될까요? 기억하시는 분도 있겠지만 ‘Newbie를 위한 양자역학 19’ 포스팅에서 헤밀토니안을 행렬의 형태로 표현하는 방법에 대해서 이야기를 했습니다. 아래 예제에서 다루는 현상을 통해 다시 한번 상기해보고자 합니다.

라모의 세차운동

균일한 자기장이 작용하고 있을 때, 자기 쌍극자가 갖는 에너지는 $E=-\vec{\mu }\cdot \vec{B}$로 표현될 수 있습니다.

이때, 스핀이 있는 전자는 $H=\frac{e}{m_e}\vec{S}\cdot \vec{B}$의 헤밀토니안을 갖는다는 것을 알 수 있죠. 이걸 조금 더 구체적으로 써본다면… 스핀행렬 S를 생각해봅시다. 어떤 스핀행렬의 고유벡터의 선형 합으로 기술되는 열벡터 X가 스핀행렬 S에 의해서 고유값인 스핀 각운동량을 내놓게 됩니다. 스핀 각운동량에 자기회전비율을 곱하고, 자기장과 내적한다면…우리가 구하고자 하는 스핀에 의한 자기 쌍극자 에너지를 구할 수 있는것이죠.

자기장이 z축 방향으로 균일하게 분포하고 있다고 가정합시다. 그렇다면 자기장 $\vec{B}=B_0\hat{z}$에 대해서 z축 방향 스핀만 고려하면 되겠죠. 그래서…z 방향 스핀을 나타내는 스핀행렬 $S_z$에 자기회전비율과 z축 방향의 자기장의 크기를 곱한 행렬을 생각해봅시다. 이 행렬은 정확히 $-\gamma S_z{B}_0$의 고유값과 그에 대응하는 고유함수를 갖는 헤르미트 연산자라 생각할 수 있죠.

맞습니다. 이 행렬이 바로 자기장이 가해졌을 때 스핀에 의한 자기 에너지를 고유값으로 갖는 헤밀토니안이 되는겁니다…!
$$\hat{H}\chi =-\gamma S_z{B}_0\chi =E\chi$$
이제부터는 'Newbie를 위한 양자역학 19’에서 다루었던 예제처럼 행렬로 주어진 헤밀토니안에 대해서 시간항을 고려하는 방법으로 풀 수 있습니다.

간단하게 전자의 파동함수를 1차원에 대해서 생각을 한다면…$\psi =A{e}^{kx-wt}$의 꼴로 표현이 가능하겠죠. 헤밀토니안이 시간에 무관하다면…이 파동함수에
헤밀토니안을 적용했을 때의 고유값과, $i\mathrm{\hslash }\frac{\partial }{\partial t}$라는 연산자를 적용했을 때의 고유값이 같다는 것을 알 수 있습니다.
$i\mathrm{\hslash }\frac{\partial }{\partial t}$에 대해서 전자의 파동함수는 $E=\mathrm{\hslash }w$인 에너지를 고유값으로 갖고, 행렬 형태의 헤밀토니안에 대해서도 고유값을 가질텐데
그 고유값이 헤밀토니안의 정의상 에너지일테니까요. 위에서 구한 헤밀토니안에 대해서 생각을 해봅시다.
$\hat{H}\chi =-\gamma S_z{B}_z\chi =E\chi$를 행렬로 표현하면 다음과 같습니다.
$$H=-\frac{\gamma \mathrm{\hslash }{B}_0}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
이 행렬은 시간에 독립적인 성분들로만 이루어져 있으니까…$$i\mathrm{\hslash }\frac{\partial }{\partial t}\chi =H\chi$$를 만족한다는 것을 알 수 있습니다.

이런 문제를 풀 때에는 먼저 행렬 $H$의 고유값과 고유벡터를 구합니다. 편의상 ${\lambda }_1$와 ${\chi }_1$이라고 하겠습니다. 구하고자 하는 해가 고유벡터와 시간항의 곱이라 할 때…해를 ${\chi }_1\varphi (t)$라고 생각을 해봅시다. 그렇다면 $$i\mathrm{\hslash }\frac{d\varphi }{dt}\chi =\lambda \frac{d\varphi }{dt}\chi$$
가 되며, $\varphi (t)=e^{-i\frac{\lambda }{\mathrm{\hslash }}t}$임을 알 수 있죠. 2 by 2 행렬에서는 고유벡터의 개수가 2개니까, 이 방정식의 일반 해는
$$C_1{\chi }_1{e}^{-i\frac{{\lambda }_1}{\mathrm{\hslash }}t}+C_2{\chi }_2{e}^{-i\frac{{\lambda }_2}{\mathrm{\hslash }}t}$$ 임을 알 수 있습니다.
$H=-\frac{\gamma \mathrm{\hslash }{B}_0}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$의 고유벡터와 고유값은
$${\chi }_{+}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right),E_{+}=-\frac{\gamma B_0\mathrm{\hslash }}{2}$$
$${\chi }_{-}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right),E_{-}=\frac{\gamma B_0\mathrm{\hslash }}{2}$$
임을 알 수 있죠. 그래서… 결과적으로 시간 t에 따른 스핀에 대한 상태함수 $\chi (t)$는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$$\chi (t)=C_1{\chi }_{+}{e}^{-i\frac{E_{+}}{\mathrm{\hslash }}t}+C_2{\chi }_{-}{e}^{-i\frac{E_{-}}{\mathrm{\hslash }}t}$$

이왕이면 규격화를 해주는 것이 좋겠죠? 계수 $C_1$과 $C_2$는 다음의 관계를 만족합니다.
$$C_1^2+C_2^2=1$$
편의성을 위해 $C_1=cos(\frac{\alpha }{2}),C_2=sin(\frac{\alpha }{2})$이라고 해봅시다.
$$\chi (t)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{cos(\frac{\alpha }{2})e^{\frac{i\gamma B_{0}t}{2}}}{sin(\frac{\alpha }{2})e^{-\frac{i\gamma B_{0}t}{2}}}\right)$$
라고 정리할 수 있겠죠?
스핀에 대한 상태함수 $\chi (t)$의 측정치를 구하기 위해서는 $\chi (t{)}^{†}M\chi (t)$의 과정을 거치는 것으로 구할 수 있습니다.
만일 x,y,z 방향의 스핀의 기대값에 대해 알고 싶다면…
$$<S_x>=\chi (t{)}^{†}{S}_x\chi (t)=(cos(\frac{\alpha }{2})e^{-\frac{i\gamma B_{0}t}{2}},sin(\frac{\alpha }{2})e^{\frac{i\gamma B_{0}t}{2}}))\frac{\mathrm{\hslash }}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{cos(\frac{\alpha }{2})e^{\frac{i\gamma B_{0}t}{2}}}{sin(\frac{\alpha }{2})e^{-\frac{i\gamma B_{0}t}{2}}}\right)$$
이를 통해 $$<S_x>=\frac{\mathrm{\hslash }}{2}sin\alpha cos(\gamma B_{0}t)$$임을 알 수 있습니다. 마찬가지 방법으로
$$<S_y>=-\frac{\mathrm{\hslash }}{2}sin\alpha sin(\gamma B_{0}t)<S_z>=\frac{\mathrm{\hslash }}{2}cos\alpha$$
를 구할 수 있겠죠.

$z$ 방향을 제외하고는 $x,y$방향은 시간 $t$에 따라 $w=\gamma B_0$의 각속도로 회전하게 되는 것을 알 수 있습니다. $z$방향만 시간 $t$에 무관하게 일정한 스핀 값을 갖는다는 것도 알 수 있구요. 이를 라모의 세차운동이라고 하며 $x,y$ 방향이 시간 $t$에 따라 다른 기대값을 갖는다는 것을 통해 하이젠베르크의 불확정성의 원리에 위배되지 않는다는 것을 알 수 있습니다.

 

Stern - Gerlach의 은 입자 실험

Otto Stern과 Walther Gerlach는 중성의 은입자가 불균일한 자기장에 입사했을 때 로렌츠 힘이 없음에도 불구하고 빔이 두 갈래로 나뉘어지는 현상을 발견합니다.

중성의 은입자의 궤적이 이렇게 변하기 위해선, 서로 다른 방향의 자기 모멘트와 불균일한 자기장의 영향을 고려하지 않을 수 없죠. 불균일한 형태로 가한 자기장이 다음과 같다고 생각해봅시다.

$$B(x,y,z)=-\alpha x\hat{i}+(B_0+\alpha z)\hat{k}$$

만일 은입자의 스핀이 0이 아니라면, 스핀에 의한 자기모멘트는 불균일한 자기장으로부터 다음과 같은 에너지를 갖는다는 것을 알 수 있습니다.
$$U=-\gamma S_z{B}_z=-\gamma S_z(B_0+\alpha z)$$

이때, 입자가 받는 힘은 $F=\nabla (\vec{\mu }\cdot \vec{B})=\gamma \alpha S_z$이라는 것을 알 수 있죠. 스핀 s의 은입자의 $m_z$는 s에서부터 -s까지 2s+1개의 유한한 경우만 가질 수 있기에 유한한 개수의 갈래로 나뉘어지게 됩니다만…은입자는 최외각 전자를 제외하고는 모두 up과 down으로 짝을 이루고 있으므로 다원자 전자계에서 다룰 내용이지만 최외각 홀전자에 의해 $s=\frac{1}{2}$가 됩니다. 그래서 $m_z=\pm \frac{1}{2}$로 두 갈래로 나뉘어지게 되는 거죠.
이를 운동량의 개념으로 설명하는 경우도 있지만…제 개인적인 견해로는 조금 억지스러운 감이 있어서 언급하지는 않았습니다. 혹시 관심이 있어 찾아보고 싶으시다면 Griffiths의 Introduction to Quantum Mechanics 2 edition의 chapter 4 예제 4.4를 참조해주세요. 스핀과 관련해서 마지막으로 다룰 스핀끼리의 덧셈은 다음시간에 다루도록 하겠습니다…!