Newbie를 위한 양자역학 27_전자의 스핀_part4

이전까지는 입자 1개의 스핀 상태에 대해 논했습니다. 이번에는 입자가 2개일 때에 대해 이야기해보려고 합니다. 지루하지만 스핀 부분의 마지막이니 조금만 힘냅시다…!

#스핀 $\frac{1}{2}$인 2개의 입자

 

2개의 입자가 각각 $\frac{1}{2}$의 스핀을 갖는다고 생각해봅시다. $s=\frac{1}{2}$인 입자는 $m_s=\pm \frac{1}{2}$로 2개의 상태가 가능합니다.
그렇다면, 두 개의 입자를 묶음으로 생각한다면…상식적으로 2 곱하기 2로 4개의 상태가 있지 않을까 생각할 수 있습니다. 말하자면, 입자 1개가 up 스핀이냐 down 스핀이냐로 각기 다른 2가지 경우가 생길테고, 입자 1과 입자 2 모두 독립적이라면 4가지 경우가 있을 수 있으니까요.
그렇다면, 두 입자의 스핀이 선형적으로 결합한다고 생각해도 될까요? 이를 한번 확인해보기 위해 $z$방향 스핀 연산자 $S_z=S_z^1+S_z^2$를 적용시켜봅시다. 입자 1개의 스핀 상태를 $\chi$라 표현할 때, 입자 1과 입자 2가 결합한 스핀의 상태는 ${\chi }_1{\chi }_2$로 취급할 수 있습니다. 이 상태의 입자계의 $z$ 방향 스핀을 측정한다면 $$S_z{\chi }_1{\chi }_2=S_z^1{\chi }_1{\chi }_2+{\chi }_1{S}_z^2{\chi }_2=(m_1+m_2){\chi }_1{\chi }_2$$
가 된다는 것을 알 수 있습니다.
그렇습니다! 적어도 $z$방향 스핀은 선형 합으로 표현될 수 있다는 것을 알 수 있네요. 그리고, 이 입자계의 스핀 자기 양자수는 $$m=1,0,-1$$ 3가지 값을 갖는다는 것도 알 수 있습니다.

 

스핀 자기 양자수에 따라 정리를 해보았습니다만… $m=0$인 경우에는 2개의 경우가 가능하다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 각기 다른 상태이나 고유값이 같은 겹친 상태라는 것이죠.

하지만 전자나 양성자와 같은 페르미온은 구별 불가능한 입자이기 때문에 $\uparrow \downarrow$ 상태와 $\downarrow \uparrow$ 상태를 엄연히 구분지을 수 없습니다. 그래서 m=0인 상태를 $\uparrow \downarrow \pm \downarrow \uparrow$와 같은 선형결합으로 표현하게 됩니다. $\uparrow \downarrow$와 $\downarrow \uparrow$를 더하거나 빼서 취급하는 이유를 수식적으로 설명해보고자 연산자 ${\hat{S}}^2$과 $\widehat{S_{\pm }}$을 적용시켜보겠습니다.

먼저 사다리 연산자와 대응되는 $\widehat{S_{\pm }}$ 연산자를 적용했을 때, 다음을 만족하는 것을 알 수 있습니다.
$$\widehat{S_{\pm }}|s,m>=\sqrt{s(s+1)-m(m\pm 1)}\hslash |s,m\pm 1>$$
그리고 입자 1과 입자 2로 이루어진 계의 스핀 각운동량과 올림,내림 연산자를 적용할 때 연산자를 다음의 형태로 표현할 수 있습니다.
$$\widehat{S_{\pm }}={\hat{S}}_{\pm }^1+{\hat{S}}_{\pm }^2$$ $$S^2=S_{(1)}^2+S_{(2)}^2$$
이를 $m=1$인 입자계의 상태에 적용시켜봅시다. $\uparrow \uparrow$를 브라켓 기호로는 $|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2$로 표현하겠습니다. 즉 입자 1과 입자 2가 up 상태라는 거죠.

먼저 내림연산자를 입자 1과 입자 2에 각각 적용하여 계산하면 다음과 같습니다.
$$\widehat{S_{-}}|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2=\hslash (|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2+|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2)$$

이를 스핀과 스핀자기양자수가 1인 입자로 취급하고 계산하면 다음과 같습니다.

$$\widehat{S_{-}}|1,1>=\sqrt{2}\hslash |1,0>$$

여기서
$$|1,1>=|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>$$ $$|1,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>+|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>)$$
의 형태로 표기했습니다.

가만히 보면… 총 스핀과 z 방향 스핀 양자수가 1인 상태에 대해 내림연산자를 적용해보았습니다만… z 방향 스핀 양자수가 1만큼 감소한 상태는
$$|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2$$
도 아닐 뿐더러
$$|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2$$
의 형태도 아닌
$$|1,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>+|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>)$$
의 형태로 기술되어야 한다는 것을 알 수 있습니다.

스핀 각운동량의 제곱도 한번 구해봅시다.
$${\hat{S}}^2|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2=({\hat{S}}_1+{\hat{S}}_2)\cdot ({\hat{S}}_1+{\hat{S}}_2)|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2=({\hat{S}}_1^2+{\hat{S}}_2^2+2{\hat{S}}_1\cdot {\hat{S}}_2)|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2$$
${\hat{S}}_1\cdot {\hat{S}}_2$에 의한 연산은 $S_x^1{S}_x^2+S_y^1{S}_y^2+S_z^1{S}_z^2$으로 대신하면 더 간단해집니다.

이전에 배운 파울리 행렬을 통해서
$${\hat{S}}_x|\frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}>=\frac{\hslash }{2}|\frac{1}{2},\mp \frac{1}{2}>$$
$${\hat{S}}_y|\frac{1}{2},\pm \frac{1}{2}>=\pm \frac{i\hslash }{2}|\frac{1}{2},\mp \frac{1}{2}>$$
인 관계식을 쉽게 유도할 수 있으니까요.

이로부터 스핀각운동량은 다음과 같이 나오게 됩니다.
$${\hat{S}}^2|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2=2{\hslash }^2|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2$$

$|1,0>$인 상태와 $|1,-1>$인 상태도 똑같은 방법으로 계산해보면 다음과 같음을 알 수 있습니다.
$${\hat{S}}^2|1,0>=2{\hslash }^2|1,0>$$
$${\hat{S}}^2|1,-1>=2{\hslash }^2|1,-1>$$
앞에서 언급을 하지 않았지만 $|1,-1>$ 는 아래와 같다는 것을 쉽게 유추할 수 있을 겁니다.
$$|1,-1>=|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2$$

이야기를 길게 한 것 같습니다만…결과적으로 $s=1$인 상태에 대해서 스핀 자기양자수에 따라 아래와 같이 상태를 표기한다면 ${\hat{S}}^2$과 ${\hat{S}}_z$ 그리고 사다리연산자에 대해서 고유함수로 적용 가능하리라는 것을 알 수 있겠죠.
$$|1,1>=|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2$$
$$|1,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2+|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2)$$
$$|1,-1>=|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2$$

위의 결합상태 중에서 스핀 자기 양자수가 0인 $|1,0>$인 상태에 대해 좀 더 깊이 바라봅시다. 내림연산자를 통해서
$$|1,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2+|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2)$$
라고 추정할 수 있었지만
$$|1,0>:\{\begin{array}{l}|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2\\ |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2\end{array}$$
이렇게 간단히 표현하지 않는 이유는 무엇일까요?

생각해봅시다. z 방향의 스핀을 계산해본다면 위의 두 상태는 모두 0이 되리라는 것을 알 수 있습니다. 하지만, 스핀 각운동량의 제곱을 구한다면 어떻게 될까요?

일단 입자 1은 up, 입자 2는 down인 상태에 대해서 적용해보겠습니다.

$${\hat{S}}^2|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>={\hslash }^2|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>-{\hslash }^2|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>$$
의아하죠? 이전까지는 연산자를 적용했을 때 고유값(=총 스핀 각운동량)과 고유함수의 형태로 나오게 되었지만 위에서는 우측 항에 $|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>$ 이 튀어나와 더 이상 논하기 어렵게 되었습니다.

아무래도

$$|1,0>=\{\begin{array}{l}|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2\\ |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2\end{array}$$

은 스핀 총 각운동량 연산자에 대해서 고유함수라 할 수 없겠네요.

그래서, 총 스핀 각운동량 연산자와 z 방향 스핀 연산자 모두에 대해 고유값만을 반환할 수 있도록 $ |1,0>$을 아래와 같이 정의하게 됩니다.

$$|1,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2+|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2)$$
이와 유사하게 + 부호를 -로 바꾸어 또 다른 상태를 표현할 수 있습니다.
$$|0,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2-|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2)$$

$|1,0>$ 과 $|0,0>$은 ${\hat{S}}^2$ 연산자에 대한 고유값이 각각 $ $2{\hslash }^2$와 0이 나오게 됩니다. 입자 1과 입자 2가 동일한 상태일 때와 비교하면 $|0,0>$은 총 스핀 각운동량값이 다르므로 구분지을 필요가 있어보입니다. 그래서 아래와 같이 구분하게 됩니다.

$$triplet:\{\begin{array}{l}|1,1>=|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2\\ |1,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2+|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2)\\ |1,-1>=|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2\end{array}$$

$$singlet:|0,0>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_2-|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{>}_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}{>}_2)$$

정리하자면, 스핀이 $\frac{1}{2}$인 2개의 입자의 결합 상태에 대해 위와 같은 방식으로 기술한다면
$${\hat{S}}^2|s,m>=s(s+1){\hslash }^2|s,m>$$
$$\widehat{S_z}|s,m>=m\hslash |s,m>$$
를 모두 만족하는 고유 상태로 취급할 수 있으며 스핀 양자수 s는 1과 0, 스핀 자기 양자수 m은 +1,0,-1의 값으로 나뉠 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

제가 이번 포스트에서 강조하고 싶은 부분입니다. 스핀이 $\frac{1}{2}$인 2개의 입자가 결합한 계는 각각의 입자의 상태에 따라서 총 스핀과 z 방향 스핀이 달리 결정된다는 것이죠. 그래서 2개의 스핀을 합한 1 뿐만 아니라 0의 스핀도 가질 수 있다는 것을 알수 있었습니다.

#일반적인 경우의 스핀 결합

 

앞에서는 간단하게 스핀이 $\frac{1}{2}$인 2개의 입자에 대해서 스핀을 결합했을 때에 대해 논했습니다. 이를 확장하면 스핀 $s_1$ 과 $s_2$ 의 결합에 대해서 다음과 같은 관계식이 만족한다는 것을 알 수 있습니다.

$$s=s_1+s_2,s_1+s_2-1,...,|s_1-s_2|$$
$$m=m_1+m_2$$
스핀연산자에 대해 정의된 고유상태들이 직교성과 완전성을 갖는다고 생각한다면 입자들의 스핀이 결합한 $|s,m>$ 상태를 아래와 같은 선형결합의 형태로 표현 가능합니다.
$$|s,m>=\sum C_{m_1{m}_{2}m}^{s_1{s}_{2}s}|s_1,m_1>|s_2,m_2>$$
여기서 $m_1+m_2=m$을 만족하는 가능한 $m_1$과 $m_2$에 대한 선형결합이어야 하며, 이때 $C_{m_1{m}_{2}m}^{s_1{s}_{2}s}$를 클랩시-고던 계수라고 부르게 됩니다.

만일 어떤 입자 계를 측정했더니 총 스핀과 z 방향 스핀값이 $s$와 $m$이었다면 이 계는 스핀이 $s_1$ , z 방향 스핀이 $m_1$인 상태와 스핀이 $s_2$, z 방향 스핀이 $m_2$인 상태의 결합으로 이루어질 확률이 $|C_{m_1{m}_{2}m}^{s_1{s}_{2}s}{|}^2$이 되게 됩니다.

역으로, 스핀이 $s_1$ , z 방향 스핀이 $m_1$인 상태와 스핀이 $s_2$, z 방향 스핀이 $m_2$인 상태가 결합한다면 $m_1+m_2=m$이며 $s_1+s_2\ge s\ge |s_1-s_2|$인 $|s,m>$상태가 될 확률도 $|C_{m_1{m}_{2}m}^{s_1{s}_{2}s}{|}^2$임을 알 수 있습니다. 왜냐하면
$$|s_1,m_1>|s_2,m_2>=\sum _s{C}_{m_1{m}_{2}m}^{s_1{s}_{2}s}|s,m>$$
의 선형결합으로도 표현되기 때문입니다.

너무 모호하게 설명하는 것 같아서 예시를 가져와보겠습니다. 스핀이 1인 입자와 $\frac{1}{2}$인 입자의 결합을 생각해봅시다. 스핀 1인 입자는 스핀 자기 양자수가 -1이며$\frac{1}{2}$인 입자의 스핀 자기 양자수도 $\frac{1}{2}$입니다. 그렇다면 결합한 상태의 스핀 자기 양자수 $m$은 $-\frac{1}{2}$임을 알 수 있습니다. 그러나 스핀 양자수 $s$의 경우 $\frac{3}{2}$과 $\frac{1}{2}$이 가능하다는 것을 알 수 있죠. 그래서 다음과 같이 결합된다는 것을 알 수 있습니다.
$$|1,-1>|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>=C_1|\frac{3}{2},-\frac{1}{2}>+C_2|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>$$
그리고 위의 계수들은 아래의 클랩시 고던 계수 표의 일부를 참고하여 알 수 있습니다.

붉은 원 안의 실수의 절대값의 제곱근이 바로 계수입니다. 즉, $C_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$, $C_2=-\sqrt{\frac{2}{3}}$가 되며 이를 해석한다면 $|\frac{3}{2},-\frac{1}{2}>$로 관측될 확률이 $|C_1{|}^2=\frac{1}{3}$이며 $|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>$로 관측될 확률이 $|C_2{|}^2=\frac{2}{3}$이 되게 됩니다.

상황을 뒤집어서, 만일 두 입자의 결합상태의 결과로 $|\frac{3}{2},-\frac{1}{2}>$이 나왔다면
$$|\frac{3}{2},-\frac{1}{2}>=C_1|1,0>|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}>+C_2|1,-1>|\frac{1}{2},\frac{1}{2}>$$
의 형태로 표현할 수 있으며 이때의 계수는 아래의 표에서 붉은 원 안의 값을 통해 알 수 있습니다.

즉, $C_1=\sqrt{\frac{2}{3}}$, $C_2=\frac{1}{\sqrt{3}}$이 되는 거지요.

좀 더 궁금하신 분들을 위해 더 많은 예를 포함한 클랩시 고던 표를 참조하자면 다음과 같습니다.

 

#Summary

 

제가 스핀과 관련된 내용을 연재하는데 생각보다 많은 시간을 들인 것 같습니다만..졸업을 앞두다 보니 바빠서..크흠..아무튼 4번에 걸쳐서 스핀 파트를 포스팅했습니다. 비상대론적 해밀토니안에 대해서는 전자의 스핀을 설명할 수 없었기에, 궤도 각운동량과 비슷한 성질을 갖는 연산자들을 정의하여 스핀이라는 새로운 항을 추가할 수 있었고 이를 수학적으로 기술, 적용하는 방법에 대해 배워보았습니다. 다음부터는 여러 입자들로 이루어진 계에서 양자역학이 어떻게 적용되는지에 대해 배워보도록 하겠습니다.