Newbie를 위한 양자역학 28_특별기획_자성

 

2019년이 되어 올라오는 첫 포스팅입니다. 너무 긴 시간 동안 연재를 진행하지 못한 점 양해 바랍니다 하하…사실 19년 초에 개인적으로 많은 일들이 있어서 연재를 할 정신이 없었네요… 심지어 현재는 군 복무 중인지라 더더욱 어려웠던 것 같습니다. 다행이나마 조금은 쉴 수 있는 기간이 생겨서 보람찬 마음으로(?) 글을 올릴까 합니다.

작년 말에 댓글을 달아주신 분들 중에서 자성을 양자역학적인 관점에서 어떻게 바라보는지 궁금해 하신 분이 계셨습니다. 이제는 졸업해서 머릿속에 얼마만큼의 지식이 남아있을지 몰라 이 부분을 얼마나 다루어볼 수 있을지 모르겠네요.

하.지.만! 그냥 넘어갈 수는 없어서 이렇게 '특별기획’이라는 단어를 붙여서 포스팅해보기로 했답니다. 너무 기대는 하지 마시구…가볍게 읽어주심 감사하겠습니다(꾸벅)

자성과 자기모멘트

물질이 갖는 자기적 성질을 '자성’이라고 합니다. 자기적 성질이라 한다면 자기장과 연관된다고 생각할 수 있겠습니다.

저도 처음 일반물리학을 접하면서 자성에 관해 고전물리학의 관점으로 반자성이랑 상자성에 대한 설명을 '시도’하는 챕터를 보고 그러려니 넘어간 기억이 나네요.

자기장이란 움직이는 전하에 의해 생성되는 장이며 자기력을 매개한다고 볼 수 있습니다. 자기장이 존재하는 공간 상에서 $q$의 전하를 띄는 입자 $A$가 $v$로 움직인다면 $F=qv\times B$의 자기력을 받게 되겠죠. 그러나 더 나아가서, 닫힌 곡선 형태의 전류에 대해서는 회전하는 토크를 가하는 것을 알 수 있습니다. 이때 닫힌 곡선 형태의 전류가 만들어내는 물리량을 '자기 모멘트’라고 하죠.

자기모멘트는 $\mu =IA$로 정의되며 외부 자기장에 대해서 $\tau =\mu \times B$의 토크를 받으며 이 때 계의 에너지는$U=-\mu \cdot B$가 됩니다. 이 자기모멘트가 자성과 관련된 현상의 원인이라 생각할 수 있습니다.

다시 말하자면 물질이 자성을 갖는 경우 그 자성은 자기모멘트에 기인했다고 볼 수 있는 것이죠. 물질을 이루는 원자 M이 있다면 M 원자 내의 여러 전자가 있을테고 그 중 전자 1개만 바라보더라도 전자 자체가 갖는 스핀 각운동량과 원자 궤도 상 공전에 의한 궤도 각운동량이 있을 것입니다. 전하를 띠는 입자가 각운동량을 갖게 된다면 이로 인해 자기모멘트가 발생하게 되므로 원자 M을 이루는 전자 또한 자기모멘트를 형성하게 되겠죠. 일반적으로 자기모멘트와 각운동량의 관계는 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

$$\mu =-\gamma \frac{e}{2m_e}J$$

J는 총 각운동량으로서, 원자 내 전자의 궤도 각운동량과 스핀 각운동량의 합이라 생각할 수 있습니다.

사실 각운동량이라는 개념도 양자역학으로 넘어가게 되면 의미가 다소 달라집니다. 우리는 각운동량이 '회전’과 관련지어 생각하지만 양자역학에서는 음…보존되는 물리량 중 하나로만 취급하는 것 같습니다. 각운동량과 함께 자기 모멘트도 양자역학에서는 달리 정의됩니다. 원자에 자기장을 가하게 되었을 때 갖게 되는 자기 퍼텐셜 에너지에 대해 일종의 비례 상수로 취급되는 것이죠. 물론 거시적인 scale로 확장을 하면 결국 고전적인 관점에서 다루는 각운동량과 자기 모멘트와 의미가 통하게 되기에 더 다루지는 않겠습니다.

각운동량과 자기모멘트를 연관지어주는 자기회전비율 $\gamma$ 은 스핀 각운동량의 경우 $\gamma =-\frac{e}{m_e}$ 이며 궤도 각운동량의 경우에는 $\gamma =-\frac{e}{2m_e}$로 알려져 있습니다. 이 자기회전비율을 측정하는 방법으로는 라비의 분자 빔 장치 실험이 있는데 이에 대해서는 나중에 또 간단하게 글을 올려 다루어보도록 하겠습니다.

전자 뿐만 아니라 원자핵 또한 스핀을 고려해볼 수 있겠습니다만…원자핵의 경우 질량만 해도 약 1800배 이상인지라 자기회전비율이 양성자 1개의 경우 $\frac{1}{1800}$만큼 작기 때문에 핵에 의한 영향은 전자에 의한 영향에 비해 미미하다고 볼 수 있습니다. 물론 그렇다고 항상 무시할 수 있다는 말은 아닙니다. 그러나 적어도 이 파트에서만큼은 전자의 영향만을 고려해보자는 것이죠.

자성의 종류와 원리

자 그렇다면 전자의 스핀과 궤도 각운동량에 의해 발생하는 자기모멘트가 어떻게 자성에 영향을 미치게 될까요? 우선 자성의 종류에 대해서부터 알아보도록 합시다 .

교과서를 보면 자성은 크게 3가지로 분류하게 됩니다. 그리고 그 3가지는

1. 반자성(Diamagnetism)
2. 상자성(Paramagnetism)
3. 강자성(Ferromagnetism)

로 나뉘게 되지요.

사실 이들은 자화율(Susceptibility) 에 따라 구분 될 수 있습니다. 자화율은 외부의 자기장에 따른 물질의 자화밀도의 변화율이라 생각하시면 되겠습니다. 자화율이 양의 값을 갖는다면 물질에 자기장이 작용했을 때 자기장 방향으로 자기 모멘트가 형성되고, 반대로 음의 값을 갖는다면 자기장의 반대방향으로 자기모멘트가 형성된다고 할 수 있습니다.

우리는 자화율이 음수인 경우에 반자성이라 할 수 있으며, 자화율이 양수인 경우에는 상자성이나 강자성으로 분류 될 수 있다고 기억하시면 되겠습니다.

예외적으로, 강자성은 반자성이나 상자성과 다르게 외부의 자기장이 존재하지 않더라도 물질 내부에 자화전류가 존재해 영구적인 자화 현상이 특징이라고 할 수 있습니다.

#1. 반자성과 상자성

우선 반자성과 상자성에 대해 같이 보도록 합시다.

반자성(Diamagnetism) 은 외부에서 가해지는 자기장에 대해 밀려나는 성질입니다. 외부에서 자기장이 가해지면 물질 내에서 유도되는 반대 방향의 자기장에 의해 물질을 통과하는 자기장의 세기가 감소하게 되죠. 간단한 상황으로 양성자-전자 쌍을 취급해봅시다.

고전적으로 보았을 때 전자가 핵 주변으로 궤도 운동을 하고 있을 때, 원 궤도 면에 수직하게 외부 자기장이 입사하는 상황을 생각해봅시다. 시간 $t=0$에서는 외부 자기장이 0이었으나 $t=\Delta t$ 에서는 $B=B_0$였다면, 자속의 변화량은 $\Delta {\Phi }_B=B_0\pi r^2$이 됩니다. 패러데이 법칙에 의해서 자속의 증가를 방해하는 방향으로 유도전기장이 발생하게 되므로, 원 궤도를 운동하는 전자와 반대되는 방향으로 유도전기장이 발생하게 될 것입니다.
$$2\pi rE\Delta t=-\pi r^2{B}_0$$
결과적으로 유도전기장에 의해 전자는 가속하게 되며 이로 인한 자기모멘트의 변화량은
$$\Delta \mu =-\frac{e^2{r}^2}{4m_e}{B}_0$$
이 됩니다.

실제 전자는 오비탈이라 부르는 원자 내의 확률적인 전자 구름의 형태로 취급되므로 저런 원형 궤도의 반경을 수정할 필요가 있습니다. 전자의 오비탈을 안다면 원자에서부터 전자까지의 거리의 제곱 평균$⟨{\rho }^2⟩$을 도입하여 단위부피당 물질 내 원자의 개수 N과 함께 다음의 자화율을 구할 수 있습니다.

$$\chi =\frac{\partial M}{\partial H}$$
자기장의 세기가 약하다면 $B={\mu }_0(H+M)$에서 근사적으로 $B\approx {\mu }_{0}H$로 취급할 수 있고 이에 따라

$$\chi =-m{u}_{0}N\frac{e^2}{6m}⟨{\rho }^2⟩$$

위와 같이 자화율이 음의 값을 갖는다는 것을 확인해볼 수 있습니다.

다소 고전적인 논의를 통해 외부에서 인가되는 자기장에 의해 자기모멘트가 감소하는 것을 설명해 보았습니다. 일반적으로 대부분의 물질은 스핀과 궤도 각운동량에 의한 자기모멘트가 평균적으로 모두 상쇄된 상태라 볼 수 있습니다. 그래서 자기모멘트의 평균이 0인 상태에서 자기장이 가해지면 이러한 패러데이 법칙에 의해 외부 자기장과 반대의 자기모멘트가 형성되는 것이죠.

상자성(Paramagnetism) 은 반대로 외부에서 가해지는 자기장에 대해 끌리는 성질입니다. 정확히는 자기장의 세기가 큰 영역으로 힘을 받는다는 것이죠.

만일 원자 내 스핀, 궤도 자기 모멘트가 완전히 상쇄되지 않고 자기모멘트를 갖게 되면, 자기모멘트는 자기장에 대해 같은 방향으로 나열 되고자 합니다. 간단하게 설명하자면, 임의의 자기모멘트 <span cla