#1-1st order ODE(1.Separating variables)

 

잠깐! dydx

$ \frac {dy}{dx} $

왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭!

 

 

이미지 출처 

# 어디까지 왔니?

 

# 변수야 놀자!

네 그럼 본격적인 미분방정식 풀이를 시작해 봅시다!
미분방정식을 줄여서 미방이라고 앞으로 부를건데요, 미방은 변수의 개수에 따라 ODE, PDE의 두 가지로 나눌 수 있습니다. ODE(Ordinary Differential Equation)는 어떤 함수를 하나의 변수만으로 미분하는 미방을 말하고, PDE(Partial Differential Equation)는 어떤 함수를 여러개의 변수로 미분하는 미방을 말합니다. 예를 들면 아래와 같겠죠?

• ODE의 예
  $$\frac{df}{dx} =0$$
  $$\frac{d^2 f}{dt^2} + \frac{df}{dt} =0$$
• PDE의 예
  $$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} =0$$
  $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial u}{\partial x}$$

앞으로 계속 ODE, PDE라고 쓸 거고, 미방교재에서도 많이 쓰이는 말이니까 용어는 머릿속에 넣어두는게 좋을 것 같아요~.~
첫 번째 포스팅의 ‘#미분방정식 기호 익히기’ 에서 말했듯이, 저는 앞으로 ODE에서는

$\frac{df}{dx}$

를, PDE에서는

$\frac{\partial f}{\partial x}$

을 쓸거에요! 다들 기억하고 있죠? ^0^

 

우리 엔지니어들이 최종적으로 풀고자 하는 미방은, 슬프게도 다변수함수에 대한 미방인 경우가

전부

대부분이에요. 다변수함수에 대한 미방을 풀기 위해서는, 초기의 미방을 제일 먼저 단일변수함수에 대한 미방을 여러개로 나누게 됩니다. 이렇게 나뉘어진 단일변수함수를 풀게 되면, 최종적인 해를 구할 수 있습니다. 그러니 우리가 먼저 해야하는 것은 단일변수함수의 풀이법을 익히는 것이겠지요!

# ODE 풀기 계획

앞으로 우리가 PDE를 풀기 위해 배울 ODE 미분방정식 풀이의 흐름은 아래와 같습니다.

1. Analytic Solution 을 구하는 방법
   1차 ODE
   2차 ODE
2. Numerical Solution 을 구하는 방법
   Series method
   Legendre equation
   Frobenius method
   Bessel equation
3. Laplace transform 을 이용하는 방법
   
   
   

# ODE 용어 정리

ODE에 대하여, 아래의 용어는 정의해두고 사용합니다. 머릿속에 넣고 따라와야해요~

• ODE의 차수
  미방의 최고차 항이 몇 번 미분되어 있는지를 의미합니다. 예를 들어 $\frac{df}{dx}=0$ 이런 것은 1차 ODE이고, $\frac{d^2 f}{dx^2}=0$ 이런 것은 2차 ODE라고 부르는 거죠. 다항식의 차수 따지듯이 하면 되는 거니까, 어렵지 않은 겁니다.
  
  
• 선형(linear) 1차 ODE
  $\frac {dy}{dx} + p(x) y = r(x)$ 꼴로 정리될 수 있는 미방. 일반적으로, 선형 1차 ODE는 모두 해를 구할 수 있습니다.
  
  
• 동차(homogeneous) ODE
  선형 1차 ODE 중에서, $y$ 가 포함되지 않은 항인 $r(x)$ 가 0이면 동차(homogeneous), 0이 아니면 비동차(nonhomogeneous) 미방이라고 합니다. 이것은 2, 3, 4…차에서도 동일한 개념으로 사용됩니다.
  
  
  

# 1차 ODE 풀기 - 변수분리 (separating variables)

1차 ODE의 풀이는, separating variables 즉 변수분리가 가능한 것

그러니까 가장 간단한 것

부터 시작하게 됩니다. 푸는 사람 입장에서는 풀기가 굉장히 간단하기 때문에, 정말 좋은 미방입니다 ^0^ 풀이 과정은 딱 두 step입니다.

1. 분리를 하고
2. 적분을 하는

딱 두 단계! 참 쉽죠?예를 들어볼까요 ?

 

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$$

 

이런 미방이 있다고 해봅시다. 좌변에는

$\frac{dy}{dx}$

가 있어서 미분을 한다고 알려주고 있고, 우변에는 미분한 결과식인

$\frac{y}{x}$

를 제시하고 있네요. 그런데 우변을 잘 살펴보니까,

$x, y$

를 따로따로 분리할 수 있는 형태입니다. 만약

$\frac{y}{x-y}$

처럼,

$x, y$

가 함께 들어있는 항이 있었다면 분리가 불가능하겠죠. 그러니 문자별로 따로 모은 다음 양변을 적분해주면 끝!

 

하나.

$x$ 는 $x$ 끼리, $y$ 는 $y$ 끼리 모읍니다. $$\frac {1}{y}dy = \frac{1}{x}dx$$
둘. 양변을 적분해줍니다. $$\int \frac{1}{y}dy = \int \frac {1}{x}dx$$
셋. 결과는……. $$\ln y = \ln x +\tilde C$$
넷. 깔끔하게 정리하면 $$y= cx : (c=\exp(\tilde C))$$

 

이런식의 풀이법이 변수분리법을 이용한 풀이이고, 가장 간단하고 아름다운 풀이법입니다. 하지만 몇 가지 주의할 점은,
1. 적분상수

$C$

를 빼먹지 말자.
2. 0인 경우를 빼먹지 말자.
의 두가지 정도를 짚고 넘어갈 수 있겠네요. 적분상수

$C$

는 아직 다루지 않겠지만, ‘초기값문제’가 주어지는 경우 반드시 필요합니다. 이건 나중 포스팅에서 얘기해봅시다^^(올린 후에 링크를 걸겠습니다!)
또, 0 인경우를 빼먹지 말자는 것은 사실 원래의 미방에서

$x$

가 분모에 가있기 때문에, 수학적으로는 0이 될 수 없습니다. 하지만,

$x$

가 0이면, 풀이과정의 넷. 에서 알 수 있듯

$y$

도 0 됩니다 . 그냥 처음의 미방에서도 자명한 해인거죠. 우리 엔지니어들은

$y=0$

같이 실제적으로 의미가 없는 해에는 관심이 없기 때문에, 그렇게 크게 신경쓰지 않아도 될 것 같아요!

 

(+잡담 : 하지만 교수님이 이런걸 중요하게 여기시는 분이시라면…….’자명한 해이다’라고 명시해주는 과정을 빼먹지 않는 연습을 하는게 좋을 것 같…)

보통 변수분리가 가능한 경우는, 한눈에 들어오기 때문에 식별하기가 쉽습니다. 몇가지 예제를 통해 익혀볼까요?

Problems 1.1
(1)

$$\frac {dy}{dx} = 1+ y^2$$
(2) $$\frac {dy}{dx} = (x+1)y^2\exp(-x)$$
(3) $$\frac{dy}{dx}= -2xy$$

 

다음 포스팅 시작할 때 함께 풀어 봐요^^

# 1차 ODE 풀기 - 변수분리(separating variables) : 치환하기

딱 한눈에 보이는 형태가 아니더라도, 적당한 꼴로 치환을 하면 변수분리가 가능해지는 것들이 많이 있습니다. 이런 것들은 보통 문제에서 어떻게 치환을 하라고 알려주지만, 그렇지 않은 경우 순전히 감을 믿고 (……;;;) 여러가지 시도를 해보는 방법밖에 없을 것 같네요….ㅠㅠㅠㅠㅠ

(+잡담 : 저는 시험때 교수님이

$x^{\frac{1} {2}}$

를 치환하는 문제를 내셔서 상당히 고생했던 기억이 있어요 ㅠㅠ 그때의 멘붕을 생각하면 지금도…..ㅠㅜㅠㅜ)

 

예를 들어,

 

$$2xy\frac {dy}{dx} = y^2 - x^2$$

 

이 미방은 이상태로 변수 분리가 불가능합니다. 하지만, 적절한

(항상 적당한, 적절한 이라는 말이 우리의 발목을 잡...)

치환을 한다면……..

하나. 치환하기

$$y=ux , \frac{dy}{dx}= \frac{du}{dx}x + u$$
둘. 대입해서 $u$ , $x$ 의 미방으로 바꾸기 $$2xy \frac {dy}{dx} = y^2 - x^2$$
$$2x(ux)(\frac{du}{dx}x+u) = (ux)^2 - x^2$$
둘-1. 정리하면 $$2ux^3 \frac {du}{dx} +2u^2 x^2 = u^2 x^2 - x^2$$
$$2ux^3 \frac {du}{dx}+ u^2 x^2 +x^2 =0$$
둘-2.양변을 $x^2$ 으로 나누고
$$2ux \frac {du}{dx}=-u^2-1$$
셋. $u$ , $x$ 끼리 모으기
$$\frac {2u}{u^2+1} du = -\frac{1}{x} dx$$
넷. 적분
$$\int \frac {2u}{u^2+1} du = -\int\frac{1}{x} dx$$
$$\ln (u^2+1) = -\ln x + \tilde C$$
다섯. 정리
$$u^2+1 = \frac {C}{x} : ( C = \exp \tilde C)$$
여섯. $u = \frac{y}{x}$ 대입
$$\frac{y^2 +x^2 }{x^2} = \frac {C}{x}$$
따라서, 최종 정리된 식은 $$x^2 + y^2 = Cx$$

 

조금 복잡해 졌죠? 위의 과정에서 혼동하지 말아야 할 것이,

$u= \frac{y}{x}$

는 상수가 아니라는 것! 그래서 미분 결과도

$\frac{dy}{dx}= \frac{du}{dx}x + u$

요렇게 나왔던거에요. 어쨌든, 적절한 변형과 치환을 통해 변수 분리가 불가능할 것 같던 미방을 변수 분리가 가능하게 바꾸는 신기한 작업이었습니다! 이것도 몇 가지 예제를 통해 알아볼까요? 여기서는 어떤 치환을 해야하는지 명시해 두었습니다^^

 

Problems 1.2
(1)

$$xy\frac {dy}{dx} +4x^2+y^2= 0 (y=ux)$$
(2) $$\frac {dy}{dx}-(4x-y+1)^2 =0 (u=4x-y)$$
(3) $$x\frac{dy}{dx}+y^2= xy^2 (u= \frac{1}{y})$$

 

#다음시간에는…….

이제까지 배운 1차 ODE의 풀이법은, 변수분리(separating variables)와 치환형 변수분리 법입니다. 이 두가지 방법에서는 선형이냐, 비선형이냐가 그렇게 중요하지 않았기 때문에 크게 다루지 않았어요.
다음시간에는 Exactness test 를 이용해서 해결할 수 있는 두 가지 종류의 미방 풀이법에 대해 이야기 해보려 합니다. 이 방법까지 포함한 네 가지 방법들은 사실 선형/비선형이 그닥 중요하지 않고, 특히 비선형으로 함수가 주어진 경우 함수 자체를 통째로 적분하기가 어려울 때 굉장히 유용하게 쓸 수 있는 특수한 case라고 할 수 있겠네요.
그러고 나서는, 일차 선형 미방을 풀 수 있는 일반적인 방법까지 다뤄보려고 합니다! 문제 풀이는 다음시간에 올리도록 하구요, 다음주에 봐요 ^0^