#1-1st order ODE(Problems 1.1, 1.2 풀이)

잠깐! dydx $\frac {dy}{dx}$ 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭!

 

 

이미지 출처 

잠깐! $\frac {dy}{dx}$ 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭!

# 예제 풀이

이번 포스팅에선, 두 번째 포스팅에서 나왔던 예제를 함께 풀어보는 시간을 가져볼까요?

# Problems 1.1

(1) $$\frac {dy}{dx} = 1+ y^2$$

하나. $x$ 는 $x$ 끼리, $y$ 는 $y$ 끼리 모으기
$$\frac {dy} {1+y^2} = dx$$
둘. 양변을 적분
$$\int \frac {dy} {1+y^2} = \int dx$$
**잊지 않았겠죠? $$\int \frac {dy} {1+y^2} : (y=\tan \theta )치환$$
셋. 적분 결과는…….
$$\arctan y = x + C$$
넷. 깔끔하게 정리하면
$$y = \tan(x+C)$$

(2) $$\frac {dy}{dx} = (x+1)y^2\exp (-x)$$

하나. $x$ 는 $x$ 끼리, $y$ 는 $y$ 끼리 모으기
$$\frac {dy}{y^2} = (x+1) \exp (-x) dx$$
둘. 양변을 적분
$$\int \frac {dy}{y^2} = \int (x+1) \exp (-x) dx$$
**잊지 않았겠죠? $$\int (x+1) \exp (-x) dx =- \int (x+1) \exp (-x) + \int \exp (-x) 부분적분!$$
셋-1. 좌변의 적분 결과는…….
$$- \frac {1}{y}$$
셋-2. 우변의 적분 결과는…….
$$- ( x+2) \exp(-x) + \tilde C$$
넷. 깔끔하게 정리하면
$$y= \frac {\exp (x) }{x+2+ C\exp(x)} ( - \tilde C = C)$$

(3) $$\frac{dy}{dx}= -2xy$$

하나. $x$ 는 $x$ 끼리, $y$ 는 $y$ 끼리 모으기
$$\frac {dy}{y} = -2xdx$$
둘. 양변을 적분
$$\int \frac {dy}{y} = \int -2xdx$$
셋. 적분 결과는…….
$$\ln y = -x^2 +\tilde C$$
넷. 깔끔하게 정리하면
$$y= C\exp (-x^2 ) (C = \exp (\tilde C))$$

# Problems 1.2

(1) $$xy\frac {dy}{dx} +4x^2+y^2= 0 (y=ux)$$
** 이전에 올렸던 풀이에서 오류가 있었네요! ㅠㅠㅠ 확인을 다시 한 번 하고 올렸어야 하는데 죄송합니다… 댓글로 말씀해주셔서 너무 감사드리구요! 2015년 3월 8일부로 수정된 풀이가 올라왔습니다~

하나. 치환하기
$$y= ux , \frac {dy} {dx} = \frac {du}{dx}x + u$$
둘. 대입해서 $u, x$ 의 미방으로 바꾸기
$$x(ux)(\frac {du}{dx} x+u) +4x^2 + (ux)^2 = 0$$
둘-1. 정리하면
$$u x^3\frac {du}{dx} + u^2 x^2 + 4x^2 + u^2 x^2 =0$$
둘-2. 양변을 $x^2$ 로 나누고 정리
$$ux \frac {du}{dx}=- 2u^2 - 4$$
셋. $u,x$ 끼리 모으기
$$( - \frac{u}{2u^2 +4}) du = \frac {1}{x}dx$$
넷. 적분
$$\int ( - \frac{u}{2u^2 +4}) du = \int \frac{1}{x}dx$$
**잊지 않았겠죠? $$\int- \frac {u} {2u^2 +4} du = -\frac{1}{4} \ln (2u^2 +4)$$
$$-\frac{1}{4} \ln (2u^2 +4) = \ln x+ \tilde{ C' }= \ln C'x$$
다섯. 정리……..를 하기가 힘들어 보이지만…….
$$(2u^2 + 4 )^{- 1/4} = C'x$$
$$2u^2 + 4 = Cx^{-4} , 2u^2 = Cx^ {-4} -4$$
여섯. $u= \frac {y} {x}$ 대입
$$2 \frac{y^2}{x^2} = Cx^{-4} -4$$
앙변에 $x^4$ 를 곱하고, 조..금만 보기좋게 수 정합시다!
$$4x^4 + 2x^2 y^2 =C$$

(2) $$\frac {dy}{dx}-(4x-y+1)^2 =0 (u=4x-y)$$

하나. 치환하기
$$4x-y+1= u+1 , \frac {dy}{dx} = 4- \frac{du}{dx}$$
둘. 대입해서 $u, x$ 의 미방으로 바꾸기
$$(4-\frac{du}{dx} ) - (u+1)^2=-0$$
둘-1. 정리하면
$$4-(u+1)^2 = \frac{du}{dx}$$
둘-2. 좌변을 조금 더 정리하면
$$-(u^2+2u-3) = \frac{du}{dx}$$
셋. $u, x$ 끼리 모으기
$$-dx = \frac {du} {u^2+2u-3} = \frac {du}{(u-1)(u+3)}$$
넷. 적분
$$\int -dx = \int \frac {du}{(u-1) (u+3)}$$
** 잊지 않았죠? 부분분수 분리!
$$\int \frac {du}{(u-1)(u+3)} = \frac {1}{4} \int (\frac{1}{u-1} -\frac{1}{u+3}) du$$
따라서,
$$-x+\tilde C =\frac {1}{4} \ln (\frac{u-1}{u+3})$$
다섯. 정리
$$\exp( 4(-x+ \tilde C)) = \frac {u- 1}{u+3}$$
$$C\exp(-4x) = \frac {u-1}{u+3} (\exp (4\tilde C) = C)$$
여섯. $u=4x-y$ 대입
$$C\exp(-4x) = \frac {4x-y-1}{4x-y+3}$$

(3) $$x\frac{dy}{dx}+y^2= xy^2 (u= \frac{1}{y})$$

하나. 치환하기
$$y= \frac {1}{u} , \frac {dy}{dx} = - \frac{1}{u^2} \frac{du}{dx}$$
둘. 대입해서 $u, x$ 의 미방으로 바꾸기
$$x ( - \frac{1}{u^2} \frac {du}{dx} ) + ( \frac {1} {u^2} ) = x (\frac {1} { u^2} )$$
둘-1. 양변에 $u^2$ 를 곱하고
$$-x \frac{du}{dx} +1 = x$$
셋. $u, x$ 끼리 모으기
$$du = \frac{1-x} {x} dx = (\frac {1} {x} -1) dx$$
넷. 적분
$$\int du = \int (\frac {1} {x} - 1 ) dx$$
$$u= \ln x -x +\tilde C$$
다섯. 정리
$$u= \ln \frac{Cx}{\exp (x)} ( \exp (\tilde C) = C)$$
여섯. $u= \frac {1} {y}$ 대입
$$\frac{1}{y} = \ln \frac{Cx}{\exp (x) }$$