#0 - INTRO

# 안녕 여러분!

안녕하세요! 이번에 STEMentor에서, 기초 공학수학에 대한 포스팅을 하게된 STEM 5기이자 서울대학교 화학생물공학부 12학번 재학중인 차승우 라고 해요~ 참새라는 필명으로 활동하게 될것 같네요 ^0^

3학년에 올라오고 점점 심화된 과목들을 배우다 보니, 매일같이 미분방정식을 세우고 풀고 화나고 의 연속이에요. 2학년때 공학수학에서 미분 방정식 풀이에 대해 열심히 공부하기는 했지만, 적재적소에 딱! 사용하기란 참 어렵더라구요. 언제 어디서 쓰인다는 조언을 해주시는 분들도 많지 않다보니 공부는 하는데 그냥 목적없이 배우니까, 효율도 오르지 않던 기억이 나네요.

이렇다 보니 공부는 해놨는데 막상 써야할 때 생각은 나지 않는 일들이 비일비재해서, 제가 조금이나마 도움을 드릴 수 있을까 하는 마음에 시작하게 되었습니다. 옆 동네에서는 10학번 김승현아저씨형의 열전달 포스팅이 올라올거고, 거기서도 많은 미분방정식이 쓰일거에요. 나중에 올라올 수많은 포스팅에서도 수많은 미분방정식들을 풀면서 멘붕하게 될테니, 그때마다 모르는 것이 있으면 많이 참고 해주시면 감사하겠습니다^0^

# 당부사항

먼저! 이번 포스팅을 시작하기에 앞서 여러분들과 함께 약속하고 싶은것이 있어요 ㅎㅎ

• 오타지적을 포함한 여러 가지 질문들은 모두 환영합니다! 컴퓨터로 글을 쓰다보니 식이 틀리는 일이 간혹 발생하더라구요 ㅋㅋ 한 번씩 식 유도도 해보면서, 혹시나! 틀린 사항이 있거나, 아니면 이해가 안되는 사항이 있으면 질문은 언제든지 환영입니다!
• 이 포스팅은, 어디까지나 ‘기초’ 공학수학이고, 특히 제가 화학공학과 관련된 미분방정식을 많이 풀다보니 수학적으로 미분방정식의 세세한 부분까지 다루지는 않고 있습니다ㅠㅠ 앞으로도 계속 이야기 하겠지만, 전 공학도가 정말로 꼭 알아야할 핵심적인 미분방정식 이론과 풀이, 그리고 그 예시를 들 것입니다. 자세한 미분방정식의 개론이라던가, 각종 함수들의 다양한 응용이라던가…..는 이 포스팅의 목표가 아니니 과감히 생략할 예정이에요~.~
• 마지막으로, 수학은 눈으로만 봐서는 따라가기 힘든 부분이 많습니다. 최대한 자세하게 포스팅을 할 예정이지만, 그것을 보고 여러분이 한번쯤은 손으로 쓰면서 따라오는 것이 필요할거에요.

여기까지. Intro를 마치고, 본격적으로 미분방정식에 대한 포스팅을 시작해 보겠습니다!

# 미분방정식, 어디쓰이나?

몇 가지 유명한 미분방정식을 한번 살펴 볼까요? 물론 아래에 있는 식들을 이해하려고 할 필요는 없습니다. 원치않는다면 skip 해도 좋아요^0^

• 유체역학에서
  한 번 쯤은 거쳐가야할 유체역학의 꽃, 바로 Navier-Stokes equation은 유체의 유동을 종합적으로 표현해주는 식입니다. (여기로 가서 더 자세한 사항을 알아봅시다.) $x$ 축 방향에 대한 식만 적어보자면…….

  $$\rho \left( \frac {\partial u_x}{\partial t} + u_x \frac {\partial u_x}{\partial x} + u_y \frac {\partial u_x}{\partial y} + u_z \frac {\partial u_x}{\partial z} \right)=-\frac {\partial p}{\partial x}+\mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +\frac {\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + \rho g_x$$

• 열전달에서
  steady-state의 열전달을 나타내는 기본 이라기엔 너무 가혹한 equation인 Laplace equation은 아래와 같습니다. (마찬가지로, 여기로 가서 더 자세한 사항을 알아봅시다!)

  $$\frac {\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} =0$$

• 양자역학에서
  슈뢰딩거 아저씨가 도입한 파동함수는, 아래와 같은 미분방정식을 만족한다고 합니다. 자세한건 여기에서 배워봅시다 ㅎㅎ
  $$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac {\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + U(x) \Psi$$

벌써부터 지치나요? ㅎㅎ…. 공학도라면 매일같이 보게될 식들일겁니다. 전공바꾸러 가지마요 자연의 여러 현상들을 표현하기 위해서는, 이처럼 다양한 형태의 미분방정식이 필수적입니다. 이것을 풀어서 해를 구하면, 자연현상이 함수식으로 깔끔하게 표현되겠죠! 그러면 더 많은 지식을 얻을 수 있을 것이고, 훨씬 더 자유롭게 활용할 수 있을 것입니다. 보통, 우리는 자연현상을 모델링 할 때 아래와 같은 세 단계를 거치게 됩니다.

1. 자연 현상에 대한 미분방정식을 세운다.
2. 미분방정식을 푼다.
3. 함수로 표현된 자연현상을 다른 모델링에 사용한다.

사실 1을 세우더라도, 2를 하는 것이 어려운 경우가 대부분이기 때문에 아직도 명쾌하게 표현하지 못하는 자연현상이 많고, 그것을 푸는 것이 우리 공대생들의 임무라고 할 수 있겠습니다 ㅠㅠ

# 미분방정식 기호 익히기

앞으로 계속해서 사용할 기호에 대해서, 먼저 약속을 해두고 가려고 합니다.
$\frac {\partial f}{\partial t} ,\frac {\partial f}{\partial x}$ 등과 같은 기호를 정말 많이 접하게 될겁니다. 또, 고등학교때는 미분기호로 $\frac {df}{dx}, \frac{df}{dt}$ 를 사용하기도 했었죠? $f$ 라는 함수를 ‘미분한다’는 점에서는 똑같은 의미를 가집니다. 사실 사용할 때는 엄격하게 분리하지는 않지만, 저는 둘을 구분하여 사용하려고 합니다. 정의가 이렇다는 것이 아니라, 어디까지나 제가 이렇게 쓰겠다는 거니까 혼동하지 마세요^^

• $\frac {\partial f}{\partial x}$ 을 사용하는 경우는 주어진 $f$ 라는 함수가 다변수 함수일 때로 한정하고, $\frac {df}{dx}$ 는 $f$ 라는 함수가 단일변수 함수 일 때로 한정하여 사용한다.

# 앞으로!

이제 다음주 부터는 본격적으로 미분방정식들을 풀기 시작할것입니다. 이번 포스팅에서는 ‘아 미분방정식이 이래서 필요하구나!’정도의 느낌삘을 받으실 수 있었길 바래요. 그럼 다음주 부터 본격적인 ,참새의 기초 공학수학, 시작합니다!