# 어디까지 왔니?
# Review
# Review
저번시간에는, 1차 ODE를 푸는 방법 중 변수분리(separating variables)와 치환형 변수분리법을 배웠습니 다. 복습하러가기
# Exactness test 란
저번 시간에 이어 이번에는 Exactness test를 이용하는 방법을 써보고자 합니다. 두 가지 변수를 포함하 는 어떤 함수 에 대한 식이기 때문에 식의 형 태만 보면 ODE로 분류하기가 조금 애매한 면이 있다고 생각할 수 있습니다. 하지만 ODE 식을 간단히 변형해 서 나온 식이니까, PDE가 아닌 ODE입니다 ^0^
이론적인 설명을 먼저 해보겠습니다.
라는 , 아래와 같이 정리되는
와
에 대한 함수가 있다고 할까요?
양변을 미분해버리면, 우변이 0이 되겠네요. 그럼 좌변의 미분 결과는 어떻게 나오느냐…….
chain rule을 아직까지 기억하고 있겠죠 설마?!
가 될겁니다. 함수
에 대한 total derivative 라고 부르는데요, 엄밀한 증명을 원한다면..
네 그럼, 결국 맨 처음에 봤던 식은 양변을 미분하니
이런 모양이 되는 겁니다.
이제,
라고,
라고 바꿔줍시다. 왜
처럼
둘 다에 대한 함수가 되 느냐……..
예를 들어 인 경우에, 로 둘 다 에 대한 함수가 나오 네요!
식을 정리해보면,
이렇게 나오겠죠. 이때……
의 이계도 함수가 연속이면, 이다.
라는 성질
을 이용해보려 합니다. 이계도 함수는 당연히 0…..이니까……..
가 성립을 할겁니다. 즉,
가 성립한다는 사실을 알 수 있죠. 이것이 성립하면 ‘Exact’하다고 말을 하고, 바로 풀 수 있습니다.
너무 이론적인 얘기라서 감이 잘 안오죠? 일단 예를 들어볼게요!
Exact 한가?
⇒ Exact.
이제 Exact 하니까, 거꾸로 풀어줍니다. 쭉~
라고 바꿔줄겁니다. 갑자기 이 로 바뀐건, 우리는 에 대해서만 적분을 해줄거기 때문이죠!
여기서 함부로 적분상수 C를 써주지 않게 조심해야 합니다. 에 대한 함수였던 것을 에 대해서만 적분해줬으니까, 남은 것은 상수가 아닌 에 대한 함수라는거, 잊지 맙시다.
그럼 우리가 모르는건
니까, 사용하지 않은 조건을 써서 구해야 합니다. 그것이 바로
입니다.
구한
를 다시
에 대해 미분했을 때 원하는 식이 나와야 하니까, 다시 그대로 넣어서 미분해줍시다.
식을 비교해보면, =0 이어야 하고, 결국 라는 결론을 얻 을 수 있습니다.
여기서 너무 신난 나머지 답을 끝내면 아니되오!! 반드시 원래 함수 꼴로 고쳐줘야 합니다.
상수는 무시해주면,
라는 식을 얻을 수 있습니다.
# 요약
좀 따라오기가 힘들죠? ㅠㅠ 특수한 경우이기도 하고, 이전에 썼던 지식들이 총 동원되서 낯설거에요. 하 지만 결론적으로는,
꼴의 미방을 보면,
가 성립을 하는지, 즉 Exact한지 부터 판단을 하고, 만약 성립한다면 거꾸로 적분을 해서 원 래 함수
를 찾아나가면 됩니다. 몇 가지 문제 를 통해 익혀봅시다.
Problems 2.1
(1)
(2)
# exact 하지 않으면?
인생이 다 그렇듯
언제나 exact 하지 않은 경우가 존재 하겠죠……..ㅠㅠㅠㅠ
그러면 어떻게 할 것이냐? 안되면 되게 한다!
exact 한 모양새가 만들어지도록 잘조작을 해보면 됩니다. 그 조작의 방법은 다음 포스팅에서 얘기해보도록 합시다!
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