#1-1st order ODE (2.Exactness - Integrating Factor)

잠깐! $\frac{dy}{dx}$ 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭!

이미지 출처 : Kreyzig 책 표지 ^0^

#어디까지 왔니?

잠깐! $\frac{dy}{dx}$ 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭!

#Review

저번시간에는, 1차 ODE를 푸는 방법중 Exact한 형태로 바로 구할 수 있는 편한 인생…의 경우를 배웠다면(복습!!), 이번 시간에는 고달픈 인생을 살아가는 법을 배운다고 할 수 있겠네요. 식이 Exact 하게 주어지지 않았을 때는, 되게 한다!! 라는 걸 기억하시고 따라오면 되겠습니다. ㅎㅎ

# Exactness test 를 했더니….

저번시간에 예를 든 문제가 기억이 나나요? 에이 그럴리가.. 바로 이 문제였죠.
$$ydx+xdy=0$$
이 미방은 Exactness test 를 먹이니까 둘다 $1$이 나오는 착한 문제였습니다. 그러면 부호를 살짝 바꿔서 나쁜 문제를 만들고자 합니다.
$$ydx-xdy=0$$
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
부호 하나를 바꿨을 뿐인데, $M = y$, $N=-x$를 Exactness test 하면…
$$\frac{\partial M}{\partial y}= 1 ,\frac{\partial N}{\partial x}= -1$$
정말 눈물겨운, non-exact 미방이 되었습니다. ㅎㅎ….

# 되게 하기!

$$ydx-xdy=0$$
살포시, 이 식의 양변에 $\frac {1}{x^2}$를 곱해봅시다.
$$\frac{y}{x^2} dx - \frac{1}{x}dy=0$$
바뀐 이 식에서는, $M = \frac{y}{x^2}$, $N=-\frac{1}{x}$가 됩니다. 여기에 Exactness test를 먹여보면,
$$\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{1}{x^2} ,\frac{\partial N}{\partial x}= \frac{1}{x^2}$$
로, Exact 한 미방이 되었습니다. 참 쉽죠?
이 때 양변에 곱한 바로 그 마법의 식, $\frac {1}{x^2}$을, 적분인자(Integrating Factor)라고 부를겁니다. Exact 하지 않은 식을 Exact 하게 바꿔주는 마법의 factor!
그러니, 바뀐 식에다가 저번 시간의 기억을 더듬어, ‘차근차근 거슬러 올라가는 풀이법’을 써서 풀면 되는거죠! 한 번 연습겸 풀어봅시다. Kreyzig 아저씨가 풀어놓으신 결과를 베껴오면, 답은 $y=cx$ 라는군요^0^ 절대 풀어보기 싫은 건 아닙니다

• Caution! 주의!
  근데, 조심해야합니다. 저 식을 Exact 하게 만들 수 있는 Integrating factor가 $\frac {1}{x^2}$ 밖에 없는 것은 아닙니다. 잘 하는 실수인데요, 지금 당장 양변에 $\frac{1}{xy}$라던가, $\frac{1}{x^2 +y^2}$를 곱해서 적분을 다시 한 번 해봅시다. Integrating factor는 하나만 있는 것이 아닙니다! 가장 적분하기 쉬운 걸 곱하면 되는 거지요 ㅎ.ㅎ

# 되게 하기! : 공식

그러면 그 Integrating Factor 는 천재적인 수학감각으로 찾아야 하냐구요? 당연하죠 물론 그랬다면 전 여기서 포스팅을 하고 있지 못할겁니다 ㅠ.ㅠ 아직도 Integrating factor 찾는다고 연필을 들고 끙끙대고 있겠죠 ㅠㅠㅠ
친절한 수학자들은 손쉽게 Integrating factor 를 찾아낼 수 있는 방법을 공식화 해서 남겨두었습니다. 물론, 이건 모든 Integrating factor를 찾을 수 있는 방법은 아니고, ‘사용하기 간편한’ Integrating factor 를 찾는 방법입닙다. 방금 얘기했듯, 적분인자는 여러개 있을 수도 있습니다.

어떻게 하느냐!
Exact 한 미방에서는 $Mdx+Ndy=0$이라고 했으니까, non-Exact 하다는 것을 강조하기 위해서 알파벳만 바꿔서 $Pdx+Qdy=0$이라고 하고 얘기를 시작해보려고 합니다.

첫번째, 우리가 원하는 Integrating factor를 $F$라고 놓고, 양변에 곱합니다.
$$(FP)dx + (FQ)dy=0$$
두번째, 이 식이 Exact 하기 위해서는,
$$\frac{\partial (FP)}{\partial y} = \frac{\partial (FQ)}{\partial x}$$
이 성립해야 합니다.

세번째 : 그럼 $F$라는 함수를 $x,y$에 대해서 각각 한 번씩 미분해줍니다. 아직 우리는 어떤 함수인지 모르니까요!
$$P \frac{ \partial F}{\partial y} + F\frac{ \partial P}{\partial y} = Q \frac{ \partial F}{\partial x} + F \frac{ \partial Q}{\partial x}$$
하하하하 이걸 어쩌죠

얻은 식은 전~~혀 쉽게 풀릴 것 같이 생기질 않았습니다. 무려 PDE가 완성되었네요. 혹을 떼려다 혹 붙인 격이죠. 우리는 이 때, 과감한 assumption 한 가지를 뙇! 합니다.

• $F$를, $x$ 아니면 $y$ 하나에 대한 함수라고 가정.

어떤 식으로 $F$를 구하던 간에, 결과로 얻어지는 미방의 해는 같을 테니, 이왕이면 쉽게 구하자는 마음가짐이 가장 잘 드러난 예라고 할 수 있겠네요 ㅎㅎㅎ 자 그러면 세 번째 부터 다시 시작해 볼까요?

$F$가 $x$에 대한 함수라고 하면

세번째 : 두번째 식을 정리해 줍니다.
$$F\frac{ \partial P}{\partial y} = Q \frac{ \partial F}{\partial x} + F \frac{ \partial Q}{\partial x}$$
네번째 : F는 F끼리! 나머지는 나머지끼리!
$$F( \frac{ \partial P}{\partial y} - \frac{ \partial Q}{\partial x} ) = Q \frac{ \partial F}{\partial x}$$
$$\frac{1}{Q}( \frac{ \partial P}{\partial y} - \frac{ \partial Q}{\partial x} ) = \frac{1}{F} \frac{ \partial F}{\partial x}$$
이 식의 좌변을 통째로 $R$라고 정의합시다. 귀찮으니까^^
$$R = \frac {1}{F} \frac {\partial F}{\partial x}$$
다섯번째 : 이건 separating variables 로 풀 수 있겠네요? $x$에 대해서만 적분해줄거니까, $\partial$을 $d$로 바꿔줍시다.
$$R dx= \frac {1}{F} dF$$
$$\int R dx= \int\frac {1}{F} dF$$
계산의 편의상, 적분상수는 0이라고 가정하고 풀어줍시다.
$$\int R dx = \ln F$$
$$F(x) = \exp(\int R dx)$$

$F$가 $y$에 대한 함수라고 하면

세번째 : 두번째 식을 정리해 줍니다.
$$P \frac{ \partial F}{\partial y} + F\frac{ \partial P}{\partial y} = F \frac{ \partial Q}{\partial x}$$
네번째 : F는 F끼리! 나머지는 나머지끼리!
$$P \frac{ \partial F}{\partial y} = F (\frac{ \partial Q}{\partial x} - \frac{ \partial P}{\partial y} )$$
$$\frac{1}{F} \frac{\partial F}{\partial y } = \frac {1}{P} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})$$
이 식의 우변을 통째로 $R^*$라고 정의합시다. 귀찮으니까^^
$$\frac {1}{F} \frac {\partial F}{\partial y} = R^*$$
다섯번째 : 이건 separating variables 로 풀 수 있겠네요? $y$에 대해서만 적분해줄거니까, $\partial$을 $d$로 바꿔줍시다.
$$\frac {1}{F} dF = R^* dy$$
$$\int \frac {1}{F} dF = \int R^* dy$$
계산의 편의상, 적분상수는 0이라고 가정하고 풀어줍시다.
$$\ln F = \int R^* dy$$
$$F(y) = \exp(\int R^* dy)$$

복붙한거 아니라고!!!!!
$x,y$ 중 어떤 것의 함수로 할 것이냐는, 여러분들이 보고 결정을 하는 겁니다. 처음에 $x$에 대한 함수라고 정하고 풀었는데 운좋게 맞을 수도 있고, $x$에 대한 함수라고 정하면 이상한 계산이 나와서 $y$에 대한 함수라고 바꾸니까 잘 풀리는 문제들도 많습니다. 빠른 계산력을 통해서 빨리빨리 ‘이 함수가 유용할까?’를 판단하는 연습이 중요하다고 할 수 있겠네요 ㅎㅎ

그러면 아까의 그 문제
$$ydx-xdy=0$$
에 똑같은 방법을 적용해 봅시다. Integrating factor 가 $x$에 대한 함수라면, $F= \frac{1}{x^2}$가 나올테고, $y$에 대한 함수라면, $F= \frac{1}{y^2}$가 나올거에요. Do it Yourself!! ^0^

# Exact form 요약

폭풍과도 같았던 Exactness test 에 대한 이야기였습니다. 사실 눈썰미가 있는 분들이라면 이미 눈치를 챘을지도 모르겠네요. 맨 처음에, separating variables 수업을 할 때 들었던 예시와, 방금 들었던 non-exact 한 미방의 예는 똑같은 문제입니다. 볼까요?
$$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$$
$$ydx-xdy=0$$
똑……같음이 느껴지나요? ㅋㅋㅋ 알고나니까 화가 나죠? 가장 간단하다고 했던 이 모양을, 굳이 복잡하게 Exactness test 까지 써서, integrating factor까지 열심히 구하면서 풀었나….
네 그렇습니다. 바로 그걸 느꼈으면 하는 마음이었어요. 교재에서 미방을 풀 때, 너무 ‘단원’에 집착해서 쉽게 풀 수 있는 문제를 괜히 어렵게 풀고 있는 것은 아닌지, 한 번쯤은 ‘가장 간단하게 풀 수 있는’ 방법을 펜을 들기 전에 잠…시 고민하는 시간이 필요할 것 같아요.

어쨌든, Exact form 에 대한 이야기는 아래와 같이 압축됩니다.
1. $u(x,y)=C$꼴의 함수가 있고
2. total derivative 를 취한 형태 $Mdx + Ndy$로 고쳤는데
3. $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$라면, Exact한 미방이니까 차근차근 올라가면서 풀고
4. 그렇지 않으면 Integrating factor를 구해서 풀고
5. 최종 답은 $u(x,y)=C$꼴로 나타낸 후 보기 좋게 변형

참 쉽죠? ㅋㅋㅋ
이제 문제를 통해 익혀봅시다. 다음 포스팅은 2.1, 2.2를 한꺼번에 푸는 포스팅이 되겠군요!

# Problems 2.2

(1) Integrating factor 가 $F(x,y) = cos(x+y)$ 일때,
$$ydx + (y + tan(x+y) ) dy=0$$
(2)
$$(x^2 + y^2 ) dx - 2xydy=0$$
(3) Integrating factor 가 $F(x,y) = e^{x+y}$ 일 때,
$$e^{-y} dx + e^{-x} (-e^{-y} +1 ) dy = 0$$

# 다음 시간에는

이제까지는, 특수한 꼴로 나타낼 수 있는 일차 ODE들을 살펴보았습니다. 다음시간에는 일반적인 선형 일차 미방의 해를 구하는 정형화된 방법을 손에 익혀보도록 할겁니다. ODE의 풀이법만 지금까지 서너가지를 배운 것 같은데, 또 일반화된 방법이라니, 머리가 터질 것 같죠?ㅠㅠ 화이팅 해보아요……@.@ 다음번 이론 포스팅에서 뵙겠습니다 뿅!