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지난 연재물 - 수학 & 통계학/[상미분방정식] 참새와 함께하는 공학수학 - ODE 편

#1-1st order ODE (2.Exactness - Integrating Factor)

by 알 수 없는 사용자 2014. 11. 26.

잠깐! dydxdydx 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭!




이미지 출처 : Kreyzig 책 표지 ^0^

#어디까지 왔니?


잠깐! dydx 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭!

#Review

저번시간에는, 1차 ODE를 푸는 방법중 Exact한 형태로 바로 구할 수 있는 편한 인생…의 경우를 배웠다면(복습!!), 이번 시간에는 고달픈 인생을 살아가는 법을 배운다고 할 수 있겠네요. 식이 Exact 하게 주어지지 않았을 때는, 되게 한다!! 라는 걸 기억하시고 따라오면 되겠습니다. ㅎㅎ

# Exactness test 를 했더니….

저번시간에 예를 든 문제가 기억이 나나요? 에이 그럴리가.. 바로 이 문제였죠.
ydx+xdy=0
이 미방은 Exactness test 를 먹이니까 둘다 1이 나오는 착한 문제였습니다. 그러면 부호를 살짝 바꿔서 나쁜 문제를 만들고자 합니다.
ydxxdy=0
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
부호 하나를 바꿨을 뿐인데, M=y, N=x를 Exactness test 하면…
My=1,Nx=1
정말 눈물겨운, non-exact 미방이 되었습니다. ㅎㅎ….

# 되게 하기!

ydxxdy=0
살포시, 이 식의 양변에 1x2를 곱해봅시다.
yx2dx1xdy=0
바뀐 이 식에서는, M=yx2, N=1x가 됩니다. 여기에 Exactness test를 먹여보면,
My=1x2,Nx=1x2
로, Exact 한 미방이 되었습니다. 참 쉽죠?
이 때 양변에 곱한 바로 그 마법의 식, 1x2을, 적분인자(Integrating Factor)라고 부를겁니다. Exact 하지 않은 식을 Exact 하게 바꿔주는 마법의 factor!
그러니, 바뀐 식에다가 저번 시간의 기억을 더듬어, ‘차근차근 거슬러 올라가는 풀이법’을 써서 풀면 되는거죠! 한 번 연습겸 풀어봅시다. Kreyzig 아저씨가 풀어놓으신 결과를 베껴오면, 답은 y=cx 라는군요^0^ 절대 풀어보기 싫은 건 아닙니다

  • Caution! 주의!
    근데, 조심해야합니다. 저 식을 Exact 하게 만들 수 있는 Integrating factor가 1x2 밖에 없는 것은 아닙니다. 잘 하는 실수인데요, 지금 당장 양변에 1xy라던가, 1x2+y2를 곱해서 적분을 다시 한 번 해봅시다. Integrating factor는 하나만 있는 것이 아닙니다! 가장 적분하기 쉬운 걸 곱하면 되는 거지요 ㅎ.ㅎ

# 되게 하기! : 공식

그러면 그 Integrating Factor 는 천재적인 수학감각으로 찾아야 하냐구요? 당연하죠 물론 그랬다면 전 여기서 포스팅을 하고 있지 못할겁니다 ㅠ.ㅠ 아직도 Integrating factor 찾는다고 연필을 들고 끙끙대고 있겠죠 ㅠㅠㅠ
친절한 수학자들은 손쉽게 Integrating factor 를 찾아낼 수 있는 방법을 공식화 해서 남겨두었습니다. 물론, 이건 모든 Integrating factor를 찾을 수 있는 방법은 아니고, ‘사용하기 간편한’ Integrating factor 를 찾는 방법입닙다. 방금 얘기했듯, 적분인자는 여러개 있을 수도 있습니다.

어떻게 하느냐!
Exact 한 미방에서는 Mdx+Ndy=0이라고 했으니까, non-Exact 하다는 것을 강조하기 위해서 알파벳만 바꿔서 Pdx+Qdy=0이라고 하고 얘기를 시작해보려고 합니다.

첫번째, 우리가 원하는 Integrating factor를 F라고 놓고, 양변에 곱합니다.
(FP)dx+(FQ)dy=0
두번째, 이 식이 Exact 하기 위해서는,
(FP)y=(FQ)x
이 성립해야 합니다.

세번째 : 그럼 F라는 함수를 x,y에 대해서 각각 한 번씩 미분해줍니다. 아직 우리는 어떤 함수인지 모르니까요!
PFy+FPy=QFx+FQx
하하하하 이걸 어쩌죠

얻은 식은 전~~혀 쉽게 풀릴 것 같이 생기질 않았습니다. 무려 PDE가 완성되었네요. 혹을 떼려다 혹 붙인 격이죠. 우리는 이 때, 과감한 assumption 한 가지를 뙇! 합니다.

  • F를, x 아니면 y 하나에 대한 함수라고 가정.

어떤 식으로 F를 구하던 간에, 결과로 얻어지는 미방의 해는 같을 테니, 이왕이면 쉽게 구하자는 마음가짐이 가장 잘 드러난 예라고 할 수 있겠네요 ㅎㅎㅎ 자 그러면 세 번째 부터 다시 시작해 볼까요?

Fx에 대한 함수라고 하면

세번째 : 두번째 식을 정리해 줍니다.
FPy=QFx+FQx
네번째 : F는 F끼리! 나머지는 나머지끼리!
F(PyQx)=QFx
1Q(PyQx)=1FFx
이 식의 좌변을 통째로 R라고 정의합시다. 귀찮으니까^^
R=1FFx
다섯번째 : 이건 separating variables 로 풀 수 있겠네요? x에 대해서만 적분해줄거니까, d로 바꿔줍시다.
Rdx=1FdF
Rdx=1FdF
계산의 편의상, 적분상수는 0이라고 가정하고 풀어줍시다.
Rdx=lnF
F(x)=exp(Rdx)

Fy에 대한 함수라고 하면

세번째 : 두번째 식을 정리해 줍니다.
PFy+FPy=FQx
네번째 : F는 F끼리! 나머지는 나머지끼리!
PFy=F(QxPy)
1FFy=1P(QxPy)
이 식의 우변을 통째로 R라고 정의합시다. 귀찮으니까^^
1FFy=R
다섯번째 : 이건 separating variables 로 풀 수 있겠네요? y에 대해서만 적분해줄거니까, d로 바꿔줍시다.
1FdF=Rdy
1FdF=Rdy
계산의 편의상, 적분상수는 0이라고 가정하고 풀어줍시다.
lnF=Rdy
F(y)=exp(Rdy)

복붙한거 아니라고!!!!!
x,y 중 어떤 것의 함수로 할 것이냐는, 여러분들이 보고 결정을 하는 겁니다. 처음에 x에 대한 함수라고 정하고 풀었는데 운좋게 맞을 수도 있고, x에 대한 함수라고 정하면 이상한 계산이 나와서 y에 대한 함수라고 바꾸니까 잘 풀리는 문제들도 많습니다. 빠른 계산력을 통해서 빨리빨리 ‘이 함수가 유용할까?’를 판단하는 연습이 중요하다고 할 수 있겠네요 ㅎㅎ

그러면 아까의 그 문제
ydxxdy=0
에 똑같은 방법을 적용해 봅시다. Integrating factor 가 x에 대한 함수라면, F=1x2가 나올테고, y에 대한 함수라면, F=1y2가 나올거에요. Do it Yourself!! ^0^

# Exact form 요약

폭풍과도 같았던 Exactness test 에 대한 이야기였습니다. 사실 눈썰미가 있는 분들이라면 이미 눈치를 챘을지도 모르겠네요. 맨 처음에, separating variables 수업을 할 때 들었던 예시와, 방금 들었던 non-exact 한 미방의 예는 똑같은 문제입니다. 볼까요?
dydx=yx
ydxxdy=0
똑……같음이 느껴지나요? ㅋㅋㅋ 알고나니까 화가 나죠? 가장 간단하다고 했던 이 모양을, 굳이 복잡하게 Exactness test 까지 써서, integrating factor까지 열심히 구하면서 풀었나….
네 그렇습니다. 바로 그걸 느꼈으면 하는 마음이었어요. 교재에서 미방을 풀 때, 너무 ‘단원’에 집착해서 쉽게 풀 수 있는 문제를 괜히 어렵게 풀고 있는 것은 아닌지, 한 번쯤은 ‘가장 간단하게 풀 수 있는’ 방법을 펜을 들기 전에 잠…시 고민하는 시간이 필요할 것 같아요.

어쨌든, Exact form 에 대한 이야기는 아래와 같이 압축됩니다.
1. u(x,y)=C꼴의 함수가 있고
2. total derivative 를 취한 형태 Mdx+Ndy로 고쳤는데
3. My=Nx라면, Exact한 미방이니까 차근차근 올라가면서 풀고
4. 그렇지 않으면 Integrating factor를 구해서 풀고
5. 최종 답은 u(x,y)=C꼴로 나타낸 후 보기 좋게 변형

참 쉽죠? ㅋㅋㅋ
이제 문제를 통해 익혀봅시다. 다음 포스팅은 2.1, 2.2를 한꺼번에 푸는 포스팅이 되겠군요!

# Problems 2.2

(1) Integrating factor 가 F(x,y)=cos(x+y) 일때,
ydx+(y+tan(x+y))dy=0
(2)
(x2+y2)dx2xydy=0
(3) Integrating factor 가 F(x,y)=ex+y 일 때,
eydx+ex(ey+1)dy=0

# 다음 시간에는

이제까지는, 특수한 꼴로 나타낼 수 있는 일차 ODE들을 살펴보았습니다. 다음시간에는 일반적인 선형 일차 미방의 해를 구하는 정형화된 방법을 손에 익혀보도록 할겁니다. ODE의 풀이법만 지금까지 서너가지를 배운 것 같은데, 또 일반화된 방법이라니, 머리가 터질 것 같죠?ㅠㅠ 화이팅 해보아요……@.@ 다음번 이론 포스팅에서 뵙겠습니다 뿅!

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