#1-1st order ODE(3.general form)

잠깐! $\frac {\partial y}{\partial x}$ 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭!

# 드!디!어!

드디어, 이번 포스팅에서 1차 ODE에 대한 얘기를 끝낼 수 있을 것 같아 기분이 좋습니다. ㅎㅎㅎㅎ 사실 제가 2차 ODE 이야기까지 끝내고 Bessel, Legendre…같은 이야기를 빨리해야 다른 STEM 회원들이 링크를 걸어줄텐데…하는 바램이….ㅎㅎㅎㅎ^0^ 기말고사 기간이 지난 후에 포스팅에 박차를 가하도록 하겠습니다. 창밖에 눈이 내려서 기분이 좋아서 그런가, 글이 좀 들뜨네요 ^0^

지금까지 1차 ODE를 푸는 방법을 몇 가지 소개 했습니다.
첫번째, Separating variables
가장 쉬웠던 바로 그것

두번째, Exactness test
편한 인생
그리고 불편한 현실

사실, #3포스팅 까지는 linear ODE라는 것을 정의만 해두고, 어떤 미방의 형태를 linear 하게 정리하지는 않았습니다. 다시 기억을 되살려보자면,

• 1차 Linear ODE
  $$\frac{dy}{dx}+p(x)y=r(x)$$
  꼴로 정리될 수 있는 1차 미방
  이 때, $r(x)=0$이면 homogeneous, $r(x) = 0$이 아니면 non-homogeneous 미방이라고 부른다.

고 했던 기억이 어렴풋이 나죠? ㅋㅋㅋ 그런데, homogeneous한 1차 linear ODE를 잘 보면
$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$$
굉장히 익숙하지 않나요?
맞아요. 보자마자 Separating Variables를 하고 싶은 욕구가 마구마구 솟구칠겁니다. 이런 변태자식...
그럼 잠깐 살펴보고 갑시다!

# Homogeneous 1차 linear ODE

$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$$
ㅋㅋ 옛날 생각 나죠?

하나. $x$는 $x$끼리, $y$는 $y$끼리 모읍니다.
$$\frac{1}{y} dy = -p(x)dx$$
둘. 양변을 적분해줍니다.
$$\int \frac{1}{y}dy = -\int p(x) dx$$
셋. 결과는…
$$\ln y = - \int p(x) dx+ \tilde C$$
조금 더 정리하면
$$y= C \exp(-\int p(x) dx)( e^\tilde C = C)$$

네 그렇습니다. 참 쉽죠? ㅋㅋ Homogeneous 1차 linear ODE는 매우 쉽게 풀 수 있습니다. 이건 예제 없이 그냥 넘어갈게요~

# non-Homogeneous 하면?

그럼 이제 $r(x)$가 0이 아닌 경우를 따져주면 되겠네요! 역시나 쉬운 작업은 아닙니다.

$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=r(x)$$
가장 중요한 아이디어는, 양변에 적당한 무언가를 곱해서, 좌변이 통째로 무언가의 미분형태가 되면 좌변을 적분해버릴수 있지 않겠느냐는 겁니다. ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 무슨말이냐구요? 간단한 예를 하나 들어보겠습니다.
$$\frac {dy}{dx} + y=x$$
정말 간단한 식인데도, 우리는 아무일도 할 수 없습니다. 굳이 하려면..
$$(x-y) dx- dy =0$$
이렇게 바꿔서 Exactness test 를 먹여봤는데, non-Exact 하네요. 그러면 Integrating factor 를 찾는 고단한 작업을 할것이냐…
아니죠! 좀 더 편하고 간단한 방법을 찾고 싶은 겁니다. 양변에 $e^x$를 곱해볼까요?
$$e^x \frac {dy}{dx} + e^x y=xe^x$$
좌변이 어떻게 되었느냐! : 통째로 미분 가능하도록 바뀌었죠?
$$\frac{d}{dx} (e^x y)$$
의 형태가 되었네요 ㅎㅎㅎ 즉 저 식은
$$\frac{d}{dx} (e^x y) = xe^x$$
이렇게 바뀌는 것이고, 양변을 적분해주면 $y$를 손쉽게 얻는 겁니다.

이 때의 $e^x$도 역시 직관이 아닌, 체계화된 방법으로 구할 수 있습니다. 좌변이 통째로 미분 가능하기 위한 Integrating factor를 찾아 곱해주면 됩니다.

$$\frac {dy}{dx} + p(x) y = r(x)$$
의 식에서, 양변에 Integrating factor $F$를 곱해주게 되면(이 때, $F$는 $x$만의 함수라고 둡니다.!)
$$F \frac {dy}{dx} + Fp(x) y = Fr(x)$$
이 되고, 이 때 우리가 원하는 것은 좌변이 통째로 무언가의 미분형이 되는 것입니다. 즉,
$$\frac{d}{dx} (Fy) = F \frac{dy}{dx} + y \frac{dF}{dx}$$
이 식과 좌변이 같아졌으면 좋겠다는 거죠. $F \frac{dy}{dx}$는 공통적으로 포함되어 있으니까, 나머지 항끼리만 같으면 됩니다. 정리하면,
$$Fp(x) y = y \frac{dF}{dx}$$
즉,
$$Fp(x) = \frac{dF}{dx}$$
이제 이 식은 Separating variables 방법으로 쉽게 풀 수 있습니다 . 풀어보면
$$F = \exp( \int p(x) dx)$$
로 얻어진다는 것을 알 수 있겠죠?
즉, 양변에 $\exp( \int p(x) dx)$의 계산을 통해 얻어진 Integrating Factor를 곱하는 것이 핵심이 되겠습니다.

그 다음도 계속 풀어볼게요~
$$\frac {d}{dx} (Fy) = Fr(x)$$
적분하면
$$Fy = \int Fr(x) dx+C$$
따라서,
$$y= \frac{1}{F} (\int Fr(x) dx + C )$$
여기에 $F = \exp( \int p(x) dx)$를 대입하면 최종식을 얻을 수 있습니다.
그런데 절! 대! 로! 이 식을 암기하지마세요. 이건 암기하면 더 헷갈리는 식인데다가, Integrating factor를 찾아나가는 과정이 중요한거지 결과를 암기해버리면 미방을 풀때 앞으로 계속해서 헤맬 가능성이 높습니다. 그러니까 제발, 결과를 문자로 표현한건, 이러하다~~~~라는걸 보여드리기 위한거고, 과정자체에 대한 이해와 익숙해지는 연습이 필요합니다. 거듭 당부해요!

두 문제만 예제로 풀어봅시다 ㅎㅎ

Problems 3.1
1. $$\frac{dy}{dx} + y = \sin x$$
2. $$\frac {dy}{dx} + y \tan x = \sin 2x$$

# 맺는 말 + 다음주 예고

이번 포스팅에서는 separating variables도 아니고, Exactness test 도 아닌 가장 일반적인 linear ODE를 푸는 방법을 알아보았습니다. 이렇게, 1차 ODE에 대한 얘기를 마치고, 다음 포스팅에서는 미처 꺼내지 못한, 범주화 시키기가 애매했던 번외편을 가지고 정말 마무리를 지어보려 합니다. 1차 ODE를 푸는 것은 2차 ODE를 풀기위한 기본이 되니까, 확실히 익혀 두고 2nd order ODE를 맞이해보도록 해요~

번외편에서 다룰 내용은,
- linear 하지도 않은데 풀 수 있는 1차 ODE
- 초기값 문제

의 두 가지 내용입니다. 그럼 다음 포스팅에서~