#1-1st order ODE (2.Exactness)

잠깐! dydx $\frac {dy}{dx}$ 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭!

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# 어디까지 왔니?

 

 

# Review

잠깐! $\frac {dy}{dx}$ 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭!

# Review

저번시간에는, 1차 ODE를 푸는 방법 중 변수분리(separating variables)와 치환형 변수분리법을 배웠습니 다. 복습하러가기

# Exactness test 란

저번 시간에 이어 이번에는 Exactness test를 이용하는 방법을 써보고자 합니다. 두 가지 변수를 포함하 는 어떤 함수 $u$ 에 대한 식이기 때문에 식의 형 태만 보면 ODE로 분류하기가 조금 애매한 면이 있다고 생각할 수 있습니다. 하지만 ODE 식을 간단히 변형해 서 나온 식이니까, PDE가 아닌 ODE입니다 ^0^

이론적인 설명을 먼저 해보겠습니다. $u$ 라는 , 아래와 같이 정리되는 $x$ 와 $y$ 에 대한 함수가 있다고 할까요?
$$u(x,y)=c(c는 상수)$$
양변을 미분해버리면, 우변이 0이 되겠네요. 그럼 좌변의 미분 결과는 어떻게 나오느냐…….

chain rule을 아직까지 기억하고 있겠죠 설마?!

$$du= \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy$$
가 될겁니다. 함수 $u$ 에 대한 total derivative 라고 부르는데요, 엄밀한 증명을 원한다면..
네 그럼, 결국 맨 처음에 봤던 식은 양변을 미분하니

$$\frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy =0$$
이런 모양이 되는 겁니다.
이제, $\frac {\partial u}{\partial x} = M(x,y)$ 라고, $\frac {\partial u}{\partial y} = N (x,y)$ 라고 바꿔줍시다. 왜 $M(x,y), N(x,y)$ 처럼 $x, y$ 둘 다에 대한 함수가 되 느냐……..

예를 들어 $u=\sin x \sin y$ 인 경우에, $\frac {\partial u}{\partial x}=\cos x \sin y$ 로 $x,y$ 둘 다 에 대한 함수가 나오 네요!

식을 정리해보면,
$$M(x,y)dx + N(x,y)dy =0$$
이렇게 나오겠죠. 이때……

$u(x,y)$ 의 이계도 함수가 연속이면, $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} =\frac {\partial^2 u}{\partial y \partial x}$ 이다.
라는 성질

을 이용해보려 합니다. 이계도 함수는 당연히 0…..이니까……..
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} =\frac{\partial M}{\partial y}$$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}=\frac{\partial N}{\partial x}$$

가 성립을 할겁니다. 즉,

$$\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}$$
가 성립한다는 사실을 알 수 있죠. 이것이 성립하면 ‘Exact’하다고 말을 하고, 바로 풀 수 있습니다.

너무 이론적인 얘기라서 감이 잘 안오죠? 일단 예를 들어볼게요!

$$ydx +xdy = 0$$
Exact 한가?
$$M=y, N= x$$
$$\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}=1.$$
⇒ Exact.

이제 Exact 하니까, 거꾸로 풀어줍니다. 쭉~

$$\frac {\partial u} {\partial x} = M(x,y)= y$$
$$du= ydx$$

라고 바꿔줄겁니다. 갑자기 $\partial$ 이 $d$ 로 바뀐건, 우리는 $x$ 에 대해서만 적분을 해줄거기 때문이죠!

$$\int du = \int y dx$$
$$u= xy+k(y)$$

여기서 함부로 적분상수 C를 써주지 않게 조심해야 합니다. $x, y$ 에 대한 함수였던 것을 $x$ 에 대해서만 적분해줬으니까, 남은 것은 상수가 아닌 $y$ 에 대한 함수라는거, 잊지 맙시다.

그럼 우리가 모르는건 $k(y)$ 니까, 사용하지 않은 조건을 써서 구해야 합니다. 그것이 바로
$$\frac {\partial u}{\partial y} = N (x,y)= x$$
입니다.
구한 $u$ 를 다시 $y$ 에 대해 미분했을 때 원하는 식이 나와야 하니까, 다시 그대로 넣어서 미분해줍시다.

$$u=xy+k(y)$$
$$\frac {\partial u}{\partial y} = x+ \frac{dk}{dy} = x$$

식을 비교해보면, $\frac{dk}{dy}$ =0 이어야 하고, 결국 $k=\tilde C(상수)$ 라는 결론을 얻 을 수 있습니다.

여기서 너무 신난 나머지 답을 끝내면 아니되오!! 반드시 원래 함수 $u(x,y)=C$ 꼴로 고쳐줘야 합니다.

$$u(x,y) = xy + \tilde C = C$$
상수는 무시해주면,
$$xy =C$$
라는 식을 얻을 수 있습니다.

# 요약

좀 따라오기가 힘들죠? ㅠㅠ 특수한 경우이기도 하고, 이전에 썼던 지식들이 총 동원되서 낯설거에요. 하 지만 결론적으로는,

$$M(x,y) dx + N(x,y) dy =0$$
$$\frac {\partial u}{\partial x} = M (x,y)$$
$$\frac {\partial u}{\partial y} = N (x,y)$$

꼴의 미방을 보면,

$$\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}$$
가 성립을 하는지, 즉 Exact한지 부터 판단을 하고, 만약 성립한다면 거꾸로 적분을 해서 원 래 함수 $u$ 를 찾아나가면 됩니다. 몇 가지 문제 를 통해 익혀봅시다.

Problems 2.1
(1)
$$\cos(x+y) dx + (3y^2 +2y+\cos(x+y)) dy=0$$
(2)
$$2x \tan y dx + \sec^2 y dy =0$$

# exact 하지 않으면?

인생이 다 그렇듯

언제나 exact 하지 않은 경우가 존재 하겠죠……..ㅠㅠㅠㅠ
그러면 어떻게 할 것이냐? 안되면 되게 한다!
exact 한 모양새가 만들어지도록 잘조작을 해보면 됩니다. 그 조작의 방법은 다음 포스팅에서 얘기해보도록 합시다!