#4-series solution(1.power series method : 두 번째)

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#어디까지왔니?

Power series method (2)

저번 포스팅에서는 쉬운 한 가지 예시를 통해 Power series method를 적용해 봤습니다. 이번 포스팅에서는 그것을 이어서 두 문제를 함께 풀어보도록 할게요!

$$\frac{d^2 y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} +xy=0$$

$-1, x$는 analytic 하다는 것을 알 수 있죠? 그러니까 저번에 했던 기억을 되살려서
$$y=\sum_{m=0} ^{\infty} a_m x^m$$
여기서부터 시작해봅시다!

#1. 한번 미분, 두번 미분

$$\frac{dy}{dx} = \sum_{m=1}^{\infty} a_m m x^{m-1}$$ $$\frac{d^2 y}{dx^2} = \sum_{m=2}^{\infty} a_m m(m-1) x^{m-2}$$
마찬가지로, $m=1, m=2$는 달라졌다는 것 ㅠㅠ 매번 신경써야해요!

#2. 치환

예전에 부렸던 꼼수를 기억해내보면…
$m-1$을 $s$로 치환
$$\frac{dy}{dx} = \sum_{m=1}^{\infty} a_m m x^{m-1} \\ = \sum_{s=0}^{\infty} a_{s+1} (s+1) x^s$$

$m-2$를 $s$로 치환
$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \sum_{m=2}^{\infty} a_m m(m-1) x^{m-2} \\ = \sum_{s=0}^{\infty} a_{s+2} (s+2)(s+1)x^s$$

이제 $x^s$로 통일되었죠?

#3. 대입

이제 원래의 미방에 가져다가 대입해봅시다.
$$\frac{d^2 y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} + xy \\ = \sum_{s=0}^{\infty} a_{s+2} (s+2)(s+1)x^s - \sum_{s=0}^{\infty} a_{s+1} (s+1) x^s+x \sum_{m=0} ^{\infty} a_m x^m$$

#4. 또 치환

그런데 여기서 이전과는 다른 문제가 생깁니다. 바로……
똑같이 $m, s$를 다시 넣고 정리를 하면…
$$= \sum_{s=0}^{\infty} a_{s+2} (s+2)(s+1)x^s - \sum_{s=0}^{\infty} a_{s+1} (s+1) x^s+\sum_{s=0} ^{\infty} a_s x^{s+1}$$
이번에는 $x^s$로 통일이 되지 않습니다. 게다가 $x^0$는 처음 두 항에만 등장하고, 마지막 항에서는 $x^1$부터만 나오게 됩니다.

이런 경우에는, 세 항에서 같은 차수의 $x$가 나오기 전까지는 따로 특수한 취급을 해주어 정리해줍니다. 무슨 말이냐면…
$$x^0 : (2a_2 - a_1 ) x^0$$
은 따로 떼어 정리를 해 준다음 식을 정리해 보겠습니다.
$$= \sum_{s=1}^{\infty} a_{s+2} (s+2)(s+1)x^s - \sum_{s=1} ^{\infty} a_{s+1} (s+1) x^s + \sum_{s=0}^{\infty}a_s x^{s+1}$$
아래에 $s=1$로 바뀐게 보이죠?ㅋㅋㅋ 이제 다시 $x$의 차수를 맞춰주기 위해서 치환을 ㅠㅠ 또ㅠ ㅠㅠ
맨 마지막 항만 $s+1 = t$로 치환, 나머지는 그대로 $s$만 $t$로 바꿔줍시다.
$$= \sum_{t=1}^{\infty} a_{t+2} (t+2)(t+1)x^t - \sum_{t=1} ^{\infty} a_{t+1} (t+1) x^t + \sum_{t=1}^{\infty}a_{t-1} x^t \\ = \sum_{t=1} ^{\infty} (a_{t+2} (t+2)(t+1) - a_{t+1} (t+1) +a_{t-1} ) x^t$$
마찬가지로 $x =0$일수는 없으니,
$$a_{t+2} (t+2)(t+1) - a_{t+1} (t+1) +a_{t-1} = 0$$
이런 결론이 얻어집니다. 주의할 점은, 이 때는 반드시 $t$ 가 1부터 시작한다는 사실…!!

#5. 점화식

$$a_{t+2} = \frac{a_{t+1}}{t+2} - \frac{a_{t-1}}{(t+2)(t+1) } ( t \geq1 )$$
이렇게만 정리하면 That’s nono! $x^0$$항을 꼭 기억해야합니다.

$$2a_2 - a_1 =0$$
일단 $a_2 = \frac{1}{2} a_1$를 얻고, 첫 번째 점화식은 쉽게 정리되지 않을 거 같으니까 일단 $$t=1, 2, 3….$를 넣어보겠습니다.

$$t=1 : a_3 = \frac{a_2}{3} - \frac{a_0}{6} = \frac{1}{6} (a_1 - a_0 )$$ $$t=2 : a_4 = \frac{a_3}{4} - \frac{a_1}{12} = \frac{1}{24} (-a_1 - a_0 )$$ $$t=3 : a_5 = \frac{a_4}{5} - \frac{a_2}{20} = -\frac{1}{30} a_1 - \frac{1}{120} a_0$$
급수 표현이 깔끔하게 정리가 되지 않습니다. 그러니까, 한 번 그대로 넣어서 대입을 해봅시다.

#6. 원 함수

$$y=\sum_{m=0} ^{\infty} a_m x^m \\ = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + ..... \\ =a_0 + a_1x + \frac{1}{2} a_1 x^2 +\frac{1}{6} (a_1 - a_0 ) x^3 + \frac{1}{24} (-a_1 - a_0) x^4 +\\ \left( - \frac{1}{30}a_1 - \frac{1}{120} a_0 \right) x^5 + ...$$

이제 최종 표현을 하기 위해, $a_0 , a_1$에 대한 표현으로 정리합시다.

$$y = a_0 \left( 1 - \frac{1}{6} x^3 - \frac{1}{24} x^4 -\frac{1}{120} x^5 + ... \right) + a_1 \left( x+ \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 - \frac{1}{24} x^4 - \frac{1}{30} x^5 + ... \right)$$

#7. 최종 답

이제 저것을 정리해서 답으로 써주면 됩니다!
$$y = a_0 \left( 1 - \frac{1}{6} x^3 - \frac{1}{24} x^4 -\frac{1}{120} x^5 + ... \right) + a_1 \left( x+ \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 - \frac{1}{24} x^4 - \frac{1}{30} x^5 + ... \right)$$

그렇다면, $a_0 , a_1$ 을 구하려면 무엇이 필요할까요? 예전에 말했죠? IVP입니다. 초기조건을 두 가지 주면 $x$에 따라서 $a_0, a_1$을 구할 수 있습니다. 2nd order ODE 는 초기조건이 두개 필요하다고 했던 것, 기억하고 있죠?ㅎㅎ

Power series method (3)

두 번째 예시는 정말 정리가 되지 않는 series solution 의 끝판왕이었습니다 ㅋㅋ 세 번쨰 예시는 조금 편하게 정리되는 걸 준비해봤어요 ㅎㅎㅎ

$$\frac{d^2 y }{dx^2}- 4x\frac{dy}{dx} +(4x^2 - 2) y =0$$
어휴….ㅋㅋㅋ보기만해도 한숨이 나오죠?ㅠㅠ
일단 $$y = \sum_{m=0} ^{\infty} a_m x^m$$ 이렇게 두고 시작해봅시다.

#1. 한번 미분

$$\frac{dy}{dx} = \sum_{m=1}^{\infty} a_m m x^{m-1}$$
$$\frac{d^2y}{dx^2} = \sum_{m=2}^{\infty} a_m m(m-1) x^{m-2}$$

#2. 치환 ~ 3. 대입 ~4. 또 치환

잠시, 치환을 하러가기 전에, 미분항 앞에 $x, 4x^2$가 붙어있는 것이 보이나요? 이 경우에는 어차피 나중에 한 번 더 치환을 할 테니까, 2번 과정을 뛰어넘어 봅시다.
$$\frac{d^2 y }{dx^2}- 4x\frac{dy}{dx} +(4x^2 - 2) y \\ =\sum_{m=2}^{\infty} a_m m(m-1) x^{m-2}- 4x \sum_{m=1}^{\infty} a_m m x^{m-1}+(4x^2-2)\sum_{m=0} ^{\infty} a_m x^m\\ = \sum_{m=2}^{\infty} a_m m(m-1)x^{m-2} -\sum_{m=1}^{\infty}4a_m m x^m + \sum_{m=0}^{\infty}4a_m x^{m+2} - \sum_{m=0}^{\infty}2a_m x^m$$

다 대입을 해놓고, 잘 보면……
첫째 항 : $x^0$ 부터 시작
둘째 항 : $x^1$ 부터 시작
셋째 항 : $x^2$ 부터 시작
넷째 항 : $x^0$ 부터 시작
한다는 것을 알 수 있습니다. 위에서 했던 것처럼, 그러면 모든 항이 공통적으로 시작하는 차수는 $x^2$부터니까, $x^0, x^1$은 특수한 경우로 빼서 처리를 해주고 나머지로부터 일반항을 구해봅시다.
$$x^0 : (2a_2 -2a_0)x^0$$
$$x^1 : (6a_3 - 4a_1 -2a_1 ) x^1$$
이제 $x^2$부터의 일반항은 이렇게 표현 될겁니다.
$$\sum_{m=4}^{\infty} a_m m(m-1)x^{m-2} -\sum_{m=2}^{\infty}4a_m m x^m + \sum_{m=0}^{\infty}4a_m x^{m+2} - \sum_{m=2}^{\infty}2a_m x^m$$

이제 첫째 항을 치환해줍시다. $m-2 = s$치환!
$$\sum_{s=2}^{\infty} a_{s+2} (s+1)(s+2) x^s$$
둘째항과 넷째항은 $m=s$ 로만 치환하고, 셋째 항은 $m+2 = s$로 치환해줍시다.
$$\sum_{s=2}^{\infty} 4a_{s-2} x^s$$

자 이제…..
$$\sum_{s=2}^{\infty} a_{s+2} (s+1)(s+2)x^s -\sum_{s=2}^{\infty}4a_s s x^s + \sum_{s=2}^{\infty}4a_{s-2} x^s - \sum_{s=2}^{\infty}2a_s x^s \\ = \sum_{s=2}^{\infty} \left( a_{s+2}(s+1)(s+2) - 2a_s (2s+1) + 4a_{s-2} \right) x^s =0$$

#5. 점화식

$$a_{s+2} = \frac{2(2s+1)}{(s+1)(s+2)} a_s - \frac{4}{(s+1)(s+2)} a_{s-2}( s \geq 2)$$ $$a_2 = a_0 , a_3 =a_1$$
됐죠? 그러면 이제 $s=2, 3, 4, 5, 6...$를 넣어봅시다.

$$s=2 : a_4 = \frac{5}{6}a_2 - \frac{1}{3}a_0 = \frac{1}{2} a_0\\ s=3 : a_5 = \frac{7}{10} a_3 - \frac{1}{5} a_1 = \frac{1}{2} a_1 \\ s=4 : a_6 = \frac{3}{5} a_4 - \frac{2}{15}a_2 = \frac{1}{6} a_0 \\ s=5 : a_7 = \frac{11}{21} a_5 - \frac{2}{21} a_3 = \frac{1}{6} a_1 \\ s=6 : a_8 = \frac{13}{28} a_6 - \frac{1}{14} a_4 = \frac{1}{24} a_0 \\ $$
자…뭔가 적절히 감이 잡히시나요?ㅋㅋㅋ 분모에 있는 녀석들이 팩토리얼로 증가하나…싶은 감이 온다면,
$$a_{2s} = \frac{1}{s!} a_0, a_{2s+1} = \frac{1}{s!} a_1 (s \geq 0 )$$
이렇게 두고 다시 저 위의 점화식에 대입해 봅시다. 이 때 짝수와 홀수일 경우를 나눠서 대입을 해봐야 겠죠?ㅎㅎㅎ……….전 나중에 해설할 때 해볼테니까 성립할….거에요! 확인해보세요 꼭 ㅎㅎㅎ

#6. 원함수

이제 다시 대입을 해보면,
$$y = \sum_{m=0} ^{\infty} a_m x^m \\ = a_0 \left( 1 + x^2 + \frac{1}{2!} x^4 + \frac{1}{3!} x^6 + .... \right) + a_1 \left( x+ x^3 + \frac{1}{2!} x^5 +\frac{1}{3!} x^7 + ... \right)$$
이제 잘…..보면….
$$e^x = 1+ x+ \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + ....$$
라는 점에 착안,
$$e^{x^2} = 1+ x^2+ \frac{1}{2!} x^4 + \frac{1}{3!} x^6 + .... \\ xe^{x^2} = x+ x^3 + \frac{1}{2!} x^5 + \frac{1}{3!} x^7 + ...$$
을 얻을 수 있습니다. 그러니까…….

#7. 최종 답

$$y = a_0 e^{x^2} + a_1 x e^{x^2}$$
라는 최종 형태의 답을 얻었습니다.

마무리

자, 절대 쉬운 과정은 아니었습니다. 지금까지는 어떤 함수를 테일러전개(또는 맥클러린 전개)만 하느것이었는데, 이제는 전개형태를 보고 함수를 알아차려야 하는, 역을 해야합니다. 그리고 언제나 함수로 깔끔하게 정리가 되느냐 하면, 두 번째 문제처럼 그렇지 않은 경우도 있습니다.

대체 왜 이런 힘겨운 일을 하냐구요?

예를 들어 두 번째 문제와 같은 ODE가 얻어졌다고 합시다. 해는 아까구한것 처럼,
$$y = a_0 \left( 1 - \frac{1}{6} x^3 - \frac{1}{24} x^4 -\frac{1}{120} x^5 + ... \right) + a_1 \left( x+ \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 - \frac{1}{24} x^4 - \frac{1}{30} x^5 + ... \right)$$

이런 상태에서, 만약 $x=0.0001$정도로 작은 상태에서의 $y$ 값을 구해야한다고 생각해봅시다. $x$가 작을수록 차수가 올라가는 항은 무시할 수 있으니까,$x^2$까지만 고려하면
$$y=a_0 + a_1 (x+ \frac{1}{2}x^2)$$
이렇게 함수를 근사 할 수 있다는 얘기죠!! 직접적인 해를 구하지 못하는 경우, 공대생은 근사를 하여 대략적인 값을 얻어야만!! 합니다. 그것이 공학의 중요한 소양이기도 하구요….정확한 해를 구하지 않더라도 아무것도 하지 않는 것 보다는, 근사하여 대략적으로라도 뭔가를 구하는 노력을 하는게 중요하다는 거죠!

자, 7가지의 과정을 돌이켜봅시다. $y$를 급수형태로 표현하고, 알지 못하는 계수$a_m$을 점화식을 통해 구하는 거였죠? 치환하고 대입하는 과정에서 어떻게 하면 조금이라도 더 편하게, 빠르게 할 수 있는건지는 끊임없는 연습을 통해 감을 잡아야 합니다 ㅠ 안타깝네요…..더불어나의 포스팅도 헬로....

다음 시간에는, 많은 분야에서 보게 될 Legendre’s equation에 대해 말해보고자 합니다. 오늘과 똑같이 풀겠지만, 워낙 유명하고 연구가 많이 된 분야다 보니 할 얘기가 많습니다 ㅠㅠ 그러면, 그때까지 두 문제만 풀면서 손에 익혀봐요 ^0^

#Problem 4.1

1. $$\frac{d^2 y}{dx^2} + 4x \frac{dy}{dx} +2y=0 , y(0) = 1 , \frac{dy}{dx} _{x=0} =1$$
2. $$\frac{d^2 y}{dx^2} + (1+x^2 ) y =0$$