#3.higher order ODE

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#어디까지 왔니?

이번 시간에는, 3차 이상의 ODE에 대한 풀이법을 간략하게 나마 소개해보려 합니다. 사실 공대 공부를 해보면서 2차보다 더 차수가 높은 ODE를 풀어본 경험이 없어서……자세히 설명을 하자니 ‘공대를 위한’ 공학수학이라는 포스팅 취지에 크게 맞지 않는 것 같아, 이번에는 간단한 예시 몇 가지를 들어보고, 이렇게 푸는구나~ 라는 감을 잡는 기회로만 삼고 넘어가려고 합니다. #4 에서 볼 series solution을 위한 일종의 준비운동…ㅋㅋㅋㅋ

기본

2nd order ODE 에서 다뤘던 내용을 그대로 가져올 것이기 때문에, 몇 가지 사항을 기억하고 있어야 합니다. 먼저….
1. 해가 linear independent 한지 판단하기 위한 방법 : Wronskian
2. $\frac{d^2 y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = r(x)$꼴의 linear ODE를 푸는 방법
3. $x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + ax\frac{dy}{dx} + by = r(x)$ 꼴의 linear ODE를 푸는 방법

이 세가지에 대한 사항은 반드시 숙지하고 있기를 바랍니다 ^0^ ㅋㅋㅋ

그리고, non-homogeneous ODE를 풀 때, 미정계수법을 사용할 때 적용되었던 규칙들 과 매개변수 변환법을 사용할 때 썼던 $W_1, W_2$의 정의 또한 한 번 씩 둘러보고 옵시다. ㅋㅋㅋ 이번 포스팅은 앞에서 했던 것을 똑같이 하는, 계산이 좀 더 더러운 ㅠㅠ 과정 되겠습니다. 화이팅 하면서 몇 가지 예제만 같이 풀어봐요~

#1. 상계수 방정식

$$\frac{d^3y}{dx^3} + 3\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + y = 30 e^{-x}$$
1. 일단, homogeneous solution 을 구해봅시다.
$$\frac{d^3y}{dx^3} + 3\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + y =0$$
이건 상계수 방정식이니까, 해를 $y = e^{\lambda x}$라고 두고 풀어야겠죠?
특성방정식 : $\lambda ^3 + 3\lambda^2 + 3\lambda + 1=0$
이것은 $(\lambda +1)^3=0$이고, 삼중근을 가집니다. 중근을 가질 경우에는 앞에 $x$를 붙여서 다른 근을 만드는 것, 기억하시리라 믿을게요 ^0^(차수축소법을 이용하는 것이었죠!) 이건 삼중근일 때도 마찬가지로, 계속해서 $x$를 붙여주면 끝! 이렇게 $y_1 ~y_3$을 구해보면
$$y_1 = e{-x} , y_2 = x e^{-x} , y_3 = x^2e^{-x}$$
이렇게 구해집니다. 따라서 homogeneous solution 은
$$y_h = (c_1 + c_2 x + c_3 x^2 )e^{-x}$$
요렇게 구해지겟죠!

2. 그리고 나서, particular solution 을 구해봅시다. $e^{-x}$는 표에 나와있는 함수니까, 미정계수법을 써서 풀어보겠습니다. ㅎㅎ

$$y_p = Ke^{-x} , \frac{d y_p}{dx} = -Ke^{-x} , \frac{d^2 y_p}{dx^2} = Ke^{-x} , \frac{d^3 y_p}{dx^3} = -Ke^{-x}$$
를 대입하면,
$$-Ke^{-x} + 3Ke^{-x} - 3Ke^{-x} + Ke^{-x} = 30 e^{-x}$$
어라…그런데 왜 좌변이 0 이 되냐구요? ㅠㅠㅠ
자 homogeneous solution 을 다시 한 번 살펴봅시다.
$$y_1 = e{-x} , y_2 = x e^{-x} , y_3 = x^2e^{-x}$$
homogeneous solution 과 똑같은 형태의 해가 표에 주어져 있다면, 거기에 $x, x^2 , x^3......$을 곱해준다고 했습니다. 그러니까 $y_p$는 $Kx^3e^{-x}$가 되어야 하는 겁니다. 다시 대입해서 풀어보면 $K=5$를 얻을 수 있을 겁니다. 손으로 한 번 풀어보기 ^0^

3.이제 최종 정답을 구하면,
$$y= (c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + 5x^3)e^{-x}$$
여기에 IVP를 풀면 $c_1, c_2 , c_3$를 구할 수 있겠지만 주어지지 않았으니, 답은 여기까지가 끝!ㅎㅎ

#1-1. 만약에..

만약, 특성방정식이 $(\lambda-1)^2(\lambda-3) =0$이렇게 주어져있다면,
두 개의 해밖에 구할 수 없을 겁니다. 이 때도 마찬가지로 중근이 있는 곳에만 $x$를 곱해서(차수축소법) 해결해줍니다.
$y_1 = e^x , y_2 = xe^x , y_3 = e^3x$

#2. 오일러-코시 방정식

$$x^3\frac{d^3y}{dx^3} -3x^2\frac{d^2y}{dx^2} + 6x\frac{dy}{dx} -6 y = x^4 \ln x$$

네 저번에 엄청난 계산량과 적분을 자랑했던. $\ln x$가 돌아왔습니다…..ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 이것도 일단 homogeneous solution 을 구해야겠죠?
1. $$x^3\frac{d^3y}{dx^3} -3x^2\frac{d^2y}{dx^2} + 6x\frac{dy}{dx} -6 y = 0$$
오일러-코시 방정식이니까, $y=x^m$으로 놓고 풀기 시작해봅니다. 특성방정식은, $(m-1)(m-2)(m-3)=0$으로 구해질테니 $y_1 , y_2, y_3$을 아래와 같이 구할 수 있을 겁니다.
$$y_1 = x , y_2 = x^2 , y_3 = x^3$$
따라서,
$$y_h = c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3$$

2. particular solution 은, $\ln x$가 있으니 일단 Wronskian 을 구해서 구하는 걸 선택합니다.
$$W = \begin{vmatrix} x & x^2 & x^3 \\ 1 & 2x & 3x^2 \\ 0 & 2 & 6x \end{vmatrix} = 2x^3$$

$$W_1 = \begin{vmatrix} 0 & x^2 & x^3 \\ 0 & 2x & 3x^2 \\ 1 & 2 & 6x \end{vmatrix} = x^4$$

$$W_2 = \begin{vmatrix} x & 0 & x^3 \\ 1 & 0 & 3x^2 \\ 0 & 1 & 6x \end{vmatrix} = -2x^3$$

$$W_3 = \begin{vmatrix} x & x^2 & 0 \\ 1 & 2x & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = x^2$$

그러니까, $$y_p = \int y_i \sum ^3 _{i=0} r \frac{W_i}{W} dx$$
라는 공식을 적용해서 전개를 합시다.
$$y_p = x \int \frac{x}{2} x \ln x dx - x^2 \int x \ln x dx + x^3 \int \frac{1}{2x} x\ln x dx \ =\frac{1}{6} x^4 (\ln x - \frac{11}{6} )$$

3. 이제 최종 해를 구하면,
$$y = c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 +\frac{1}{6} x^4 (\ln x - \frac{11}{6} )$$

짜잔! 이렇게 최종 해를 구했습니다.

정리

계산이 좀 힘들었죠? higher order 로 갈 수록 중근이 발생할 수 있는 경우도 많다보니……. 좀 더 복잡합니다. 또 계산도 …. Wronskian을 도입하기 시작하면서부터 행렬 식이 복잡해지고…….ㅋㅋㅋㅋㅋ 사실 3차 이상의 ODE를 푸는 일은 그렇게 많지 않을 거니까 ‘이런게 있다!’정도로 해두고 예제 두 문제를 확실히 풀고 넘어갑시다!

다음 포스팅부터는, series solution 구하는 극악의 작업을 함께 해보도록 하겠습니다ㅠㅠ 화이팅! 열심히 따라와봐요~