#4-series solution(1.power series method : 첫 번째)

이미지 출처

#어디까지왔니?

안녕하세요 여러분~ 다시 돌아왔습니다. 

지금까지 analytic solution을 모두 해결했습니다. 총 16개의 포스팅에 걸친… 험난하고 긴 여정이었죠?ㅋㅋㅋ 다양한 방법으로 ODE를 풀 수 있게 되셨으리라 믿어 의심치 않습니다~

오늘부터는, 예고했듯 series solution으로 ODE의 해를 구하는 방법에 대해 포스팅해볼까 합니다. 이전까지 했던 것 처럼 딱 정확한 해가 떨어질 수도 있고, 아닐 수도 있습니다ㅠㅠ 복불복이죠? 슬프고 힘든…….과정이 되겠습니다…흑

일단 본격적인 포스팅에 앞서, 이번 포스팅에서는 series(급수)에 대한 가장 기본적인 이야기를 해보고, 몇 가지 간단한 ODE를 함께 풀어보면서 조금씩 예열을 해보도록 해요~

급수, series

급수가 뭔지, 한 번쯤 들어봤을 거라 믿습니다. ㅋㅋ 기본적으로 급수는, 수열들의 각 항의 합을 의미합니다. 여러분들이 한번 쯤 들어봤을 법한 테일러급수, 맥클로린 급수는 무한 급수의 일종으로, 수열을 끝없이 더한 것을 의미하죠. 우리가 4번째 주제의 포스팅에서 다룰 것은 주로 무한급수를 가지고 하는 이야기들입니다.

$$\sum_{m=0}^{\infty} a_m (x-x_0)^m$$

이런꼴이 기본이 되는 무한급수에서, 중요했던 것은 수렴반지름 radius of convergence 였습니다. 위의 무한급수가 수렴해서 어떤 값을 가질 때, 우리는 무한급수가 $x=x_0$에서 수렴한다고 말을했고, 그 때의 수렴 반경을 구했던 기억이 날….에요 그렇죠?ㅎㅎㅎㅎ

물론 급수의 가장 중요한 사항이 수렴여부와, 수렴한다면 수렴반경을 구하는 것입니다. 하지만 우리는 그것에 대한 자세한 논의는 생략하고, 미분방정식을 푸눈데에 필요한 가장 중요한 지식만 짚고 넘어가보고자 합니다.

• 어떤 함수 $f(x)$가 점 $x=x_0$을 포함하는 어떤 구간에서 $$f(x) = \sum_{m=0}^{\infty} a_m (x-x_0)^m$$
  꼴로 표현이 가능하다면, $f(x)$는 $x=x_0$에서 해석적 analytic 이라고 합니다.

앞으로 많은 경우에 있어서, 가장 간단한 $x_0= 0$ 인 경우를 다룰 것입니다. 그러니까 제일 처음으로 미분방정식의 해를 잡을 때,
$$f(x) = \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m$$
요것 부터 시작할거다!라는 거죠.

그럼 이 방법으로 모든 미분방정식을 풀 수 있느냐….
아직은 선형인 미분방정식만을 목표로 할겁니다. 저번에 일차 선형 미분방정식은 모두 해를 구할 수 있다고 한 거 기억나나요? 따라서, 우리는 일차 미방에 대해서는 이런 귀찮은 일을 할 필요가 없고, 이차 미방에 대한 것을 중점적으로 다루게 될겁니다.
선형 linear인 2차 ODE의 형태는
$$\frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} +q(x) y = r(x)$$
이러했고, 여기서 몇 가지 조건이 붙습니다.

• 2차 ODE $$\frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} +q(x) y = r(x)$$
  에 대해, p(x), q(x), r(x) 가 모두 $x=x_0$에서 해석적 analytic 해야 한다.

우리는 $x=0$인 경우를 따지기로 했으니까, 결국(간단히 말하자면…) 미분항 앞에 붙는 함수들이 모두 $0$에서 analytic 해야 한다는 것, 다시말하자면 급수표현이 가능해야한다!(무한급수일필요는 없겠죠 당연히 ^0^) 는 의미입니다. 더 엄밀한 얘기는 이곳에서…

series solution 을 얻는 방법

1. 첫 번째로, 위에서 말했던 방법인 Power series method 입니다.
   $$\frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} +q(x) y = r(x)$$

   에서, $p(x) , q(x), r(x)$가 $x=0$에서 analytic 하다면 power series solution 은 아래와 같이 표현 가능하다.
   $$y= \sum_{m=0}^\infty a_m x^m$$

2. 두 번째로, Frobenius method 가 있습니다. 이 방법은 분명 $p(x), q(x)$가 analytic 하지 않음에도 해를 구할 수 있는 특수한 경우인데요, $b(x). c(x)$가 $x=0$에서 analytic하다면
   $$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{b(x)}{x} \frac{dy}{dx} + \frac{c(x)}{x^2} y = 0$$
   의 series solution은 아래와 같이 표현 가능하다.
   $$y= x^r \sum_{m=0}^\infty a_m x^m$$

2번의 구체적인 증명은 생략한채로 넘어가겠습니다. 자세한건 미분방정식 책을 참고하세요….이런 무책임한...

1번 방법의 풀이는 르장드르방정식Legendre’s Equation 을 푸는 데에 사용될 거고, 2번 방법의 풀이는 베셀방정식Bessel’s Equation 을 푸는 데에 사용이 될 겁니다. 앞으로 차근차근~ 함께 풀어나가 보는거로 ^0^

Power series method (1)

이 방법으로 풀기 시작하려니까, 막상 막막해집니다. 어디서 부터 어떻게 손을 대야할지 1도 모르겠어요 ㅠㅠㅠ
자…차근차근 함께 문제를 풀어봅시다 ㅋㅋㅋ

일단 해가 눈에 보이는 간단한 일차 ODE를 풀어보도록 할까요?

$$\frac{dy}{dx}-y=0$$
우리는 이미 이 ODE의 해가 $y=e^x$라는 걸 알고 있습니다. Power series method로 풀어도 같은 결과인지 확인해봅시다.
$-1$은 자명하게 analytic이니까, 자연스럽게
$$y= \sum_{m=0}^\infty a_m x^m$$ 여기서 부터 시작!

#1. 한번 미분

$$\frac{dy}{dx}= \sum_{m=1}^\infty a_m m x^{m-1}$$

자 뭔가 바뀐게 보이나요?! 그렇습니다 시그마 기호 아래에 붙은 $m=0$이 $m=1$로 달라져 있죠ㅠㅠ $x$의 차수만 $m$에서 $m-1$이 되는 것이 아니라, 시작하는 $m$도 달라진다는 것을 조심해야합니다.

#2. 치환

한항한항 일일이 비교를 해봐야 할 것처럼 생겼지만, 한 가지 꼼수를 부려봅시다.
미분한 급수의 $m-1$을 $s$로 치환한다면,
$$\frac{dy}{dx}= \sum_{s=0}^\infty a_{s+1}(s+1) x^{s}$$
이렇게 될겁니다. 이제 한결 계산이 편해지겠죠?

#3. 대입

이제, 급수로 표현된 것을 원래의 미방에 가져다가 대입합니다.

$$\frac{dy}{dx}-y \\ = \sum_{s=0}^\infty a_{s+1}(s+1) x^{s} - \sum_{m=0}^\infty a_m x^m$$

#4. 또 치환

어차피 $m, s$는 큰 뜻이 없는 그냥 문자니까 둘다 $s$로 바꿔버립시다.
$$= \sum_{s=0}^\infty a_{s+1}(s+1) x^{s} - \sum_{s=0}^\infty a_s x^s \\ = \sum_{s=0}^\infty(a_{s+1}(s+1) - a_s)x^s =0$$

이제 $x=0$이면 자명해로 큰 의미가 없어지니, 결국 $$a_{s+1}(s+1) - a_s = 0$$
이라는 결론을 얻게 됩니다.

#5. 점화식

저 식을 잘 정리하면
$$a_{s+1} = \frac{1}{s+1} a_s$$
라는 점화식을 얻게 됩니다. 뭔지 알겠나요? ㅎㅎㅎㅎ
$$s = 0 : a_1 = a_0 \\ s= 1 : a_2 = \frac{1}{2}a_1 =\frac{1}{2!} a_0 \\ s=2 : a_3 = \frac{1}{3} a_2 = \frac{1}{3!} a_0$$

네 그렇습니다 ㅋㅋ 저렇게 생긴 점화식을 보면 직감적으로 와야하는….. 팩토리얼꼴의 항을 눈치채야해요 ㅠㅠ

#6. 원 함수

저걸 원래의 $y$에 다시 집어넣어보면,
$$y= \sum_{m=0}^\infty a_m x^m \\= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 ... \\ =a_0 + a_0 x + \frac{1}{2!} a_0 x^2 + \frac{1}{3!} a_0 x^3 ... \\ = a_0 (1+ x+ \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + ...)$$
이렇게 정리를 할 수 있을텐데 말이죠…
이게 끝이 아니다!

왠지 익숙한 괄호안의 저 형태, 기억나시나요?
$$e^x = 1+ x+ \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 +...$$
네 그렇습니다. 저 형태는 $e^x$를 $x=0$에서 테일러 전개 시킨 결과…….죠?ㅋㅋㅋㅋ

#7. 최종 답

그러니까, $y=a_0 e^x$라고 최종 답을 써주면 됩니다.

7단계의 과정 중에서, 2단계와 5단계의 과정이 가장 핵심이라고 말할 수 있겠네요. 적절하게 치환하고 묶는 과정을 거친다음, 5단계에서 점화식을 구하고 규칙을 찾고…!
하지만 명심해둘것은, 항상 7단계처럼 답이 딱! 하고 깔끔한 함수로 떨어지지는 않을 수도 있다는 겁니다. 그냥 그대로 뒤에 쩜쩜쩜…..이 붙은 형태로 남겨져있을 수도 있죠.

어떻게 푸는지 대충 감이 왔나요? 저 문제를 다시한번 손으로 풀어보고, 다음 포스팅에서 두 문제만 더 같이 풀어보도록 해요 ㅋㅋ