#어디까지 왔니?
이번 시간에는, 3차 이상의 ODE에 대한 풀이법을 간략하게 나마 소개해보려 합니다. 사실 공대 공부를 해보면서 2차보다 더 차수가 높은 ODE를 풀어본 경험이 없어서……자세히 설명을 하자니 ‘공대를 위한’ 공학수학이라는 포스팅 취지에 크게 맞지 않는 것 같아, 이번에는 간단한 예시 몇 가지를 들어보고, 이렇게 푸는구나~ 라는 감을 잡는 기회로만 삼고 넘어가려고 합니다. #4 에서 볼 series solution을 위한 일종의 준비운동…ㅋㅋㅋㅋ
기본
2nd order ODE 에서 다뤘던 내용을 그대로 가져올 것이기 때문에, 몇 가지 사항을 기억하고 있어야 합니다. 먼저….
1. 해가 linear independent 한지 판단하기 위한 방법 : Wronskian
2. 꼴의 linear ODE를 푸는 방법
3. 꼴의 linear ODE를 푸는 방법
이 세가지에 대한 사항은 반드시 숙지하고 있기를 바랍니다 ^0^ ㅋㅋㅋ
그리고, non-homogeneous ODE를 풀 때, 미정계수법을 사용할 때 적용되었던 규칙들 과 매개변수 변환법을 사용할 때 썼던 의 정의 또한 한 번 씩 둘러보고 옵시다. ㅋㅋㅋ 이번 포스팅은 앞에서 했던 것을 똑같이 하는, 계산이 좀 더 더러운 ㅠㅠ 과정 되겠습니다. 화이팅 하면서 몇 가지 예제만 같이 풀어봐요~
#1. 상계수 방정식
1. 일단, homogeneous solution 을 구해봅시다.
이건 상계수 방정식이니까, 해를 라고 두고 풀어야겠죠?
특성방정식 :
이것은 이고, 삼중근을 가집니다. 중근을 가질 경우에는 앞에 를 붙여서 다른 근을 만드는 것, 기억하시리라 믿을게요 ^0^(차수축소법을 이용하는 것이었죠!) 이건 삼중근일 때도 마찬가지로, 계속해서 를 붙여주면 끝! 이렇게 을 구해보면
이렇게 구해집니다. 따라서 homogeneous solution 은
요렇게 구해지겟죠!
2. 그리고 나서, particular solution 을 구해봅시다. 는 표에 나와있는 함수니까, 미정계수법을 써서 풀어보겠습니다. ㅎㅎ
를 대입하면,
어라…그런데 왜 좌변이 0 이 되냐구요? ㅠㅠㅠ
자 homogeneous solution 을 다시 한 번 살펴봅시다.
homogeneous solution 과 똑같은 형태의 해가 표에 주어져 있다면, 거기에 을 곱해준다고 했습니다. 그러니까 는 가 되어야 하는 겁니다. 다시 대입해서 풀어보면 를 얻을 수 있을 겁니다. 손으로 한 번 풀어보기 ^0^
3.이제 최종 정답을 구하면,
여기에 IVP를 풀면 를 구할 수 있겠지만 주어지지 않았으니, 답은 여기까지가 끝!ㅎㅎ
#1-1. 만약에..
만약, 특성방정식이 이렇게 주어져있다면,
두 개의 해밖에 구할 수 없을 겁니다. 이 때도 마찬가지로 중근이 있는 곳에만 를 곱해서(차수축소법) 해결해줍니다.
#2. 오일러-코시 방정식
네 저번에 엄청난 계산량과 적분을 자랑했던. 가 돌아왔습니다…..ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 이것도 일단 homogeneous solution 을 구해야겠죠?
1.
오일러-코시 방정식이니까, 으로 놓고 풀기 시작해봅니다. 특성방정식은, 으로 구해질테니 을 아래와 같이 구할 수 있을 겁니다.
따라서,
2. particular solution 은, 가 있으니 일단 Wronskian 을 구해서 구하는 걸 선택합니다.
그러니까,
라는 공식을 적용해서 전개를 합시다.
3. 이제 최종 해를 구하면,
짜잔! 이렇게 최종 해를 구했습니다.
정리
계산이 좀 힘들었죠? higher order 로 갈 수록 중근이 발생할 수 있는 경우도 많다보니……. 좀 더 복잡합니다. 또 계산도 …. Wronskian을 도입하기 시작하면서부터 행렬 식이 복잡해지고…….ㅋㅋㅋㅋㅋ 사실 3차 이상의 ODE를 푸는 일은 그렇게 많지 않을 거니까 ‘이런게 있다!’정도로 해두고 예제 두 문제를 확실히 풀고 넘어갑시다!
다음 포스팅부터는, series solution 구하는 극악의 작업을 함께 해보도록 하겠습니다ㅠㅠ 화이팅! 열심히 따라와봐요~
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