#어디까지 왔니?
이번 시간에는, 3차 이상의 ODE에 대한 풀이법을 간략하게 나마 소개해보려 합니다. 사실 공대 공부를 해보면서 2차보다 더 차수가 높은 ODE를 풀어본 경험이 없어서……자세히 설명을 하자니 ‘공대를 위한’ 공학수학이라는 포스팅 취지에 크게 맞지 않는 것 같아, 이번에는 간단한 예시 몇 가지를 들어보고, 이렇게 푸는구나~ 라는 감을 잡는 기회로만 삼고 넘어가려고 합니다. #4 에서 볼 series solution을 위한 일종의 준비운동…ㅋㅋㅋㅋ
기본
2nd order ODE 에서 다뤘던 내용을 그대로 가져올 것이기 때문에, 몇 가지 사항을 기억하고 있어야 합니다. 먼저….
1. 해가 linear independent 한지 판단하기 위한 방법 : Wronskian
2. d2ydx2+adydx+by=r(x)꼴의 linear ODE를 푸는 방법
3. x2d2ydx2+axdydx+by=r(x) 꼴의 linear ODE를 푸는 방법
이 세가지에 대한 사항은 반드시 숙지하고 있기를 바랍니다 ^0^ ㅋㅋㅋ
그리고, non-homogeneous ODE를 풀 때, 미정계수법을 사용할 때 적용되었던 규칙들 과 매개변수 변환법을 사용할 때 썼던 W1,W2의 정의 또한 한 번 씩 둘러보고 옵시다. ㅋㅋㅋ 이번 포스팅은 앞에서 했던 것을 똑같이 하는, 계산이 좀 더 더러운 ㅠㅠ 과정 되겠습니다. 화이팅 하면서 몇 가지 예제만 같이 풀어봐요~
#1. 상계수 방정식
d3ydx3+3d2ydx2+3dydx+y=30e−x
1. 일단, homogeneous solution 을 구해봅시다.
d3ydx3+3d2ydx2+3dydx+y=0
이건 상계수 방정식이니까, 해를 y=eλx라고 두고 풀어야겠죠?
특성방정식 : λ3+3λ2+3λ+1=0
이것은 (λ+1)3=0이고, 삼중근을 가집니다. 중근을 가질 경우에는 앞에 x를 붙여서 다른 근을 만드는 것, 기억하시리라 믿을게요 ^0^(차수축소법을 이용하는 것이었죠!) 이건 삼중근일 때도 마찬가지로, 계속해서 x를 붙여주면 끝! 이렇게 y1 y3을 구해보면
y1=e−x,y2=xe−x,y3=x2e−x
이렇게 구해집니다. 따라서 homogeneous solution 은
yh=(c1+c2x+c3x2)e−x
요렇게 구해지겟죠!
2. 그리고 나서, particular solution 을 구해봅시다. e−x는 표에 나와있는 함수니까, 미정계수법을 써서 풀어보겠습니다. ㅎㅎ
yp=Ke−x,dypdx=−Ke−x,d2ypdx2=Ke−x,d3ypdx3=−Ke−x
를 대입하면,
−Ke−x+3Ke−x−3Ke−x+Ke−x=30e−x
어라…그런데 왜 좌변이 0 이 되냐구요? ㅠㅠㅠ
자 homogeneous solution 을 다시 한 번 살펴봅시다.
y1=e−x,y2=xe−x,y3=x2e−x
homogeneous solution 과 똑같은 형태의 해가 표에 주어져 있다면, 거기에 x,x2,x3......을 곱해준다고 했습니다. 그러니까 yp는 Kx3e−x가 되어야 하는 겁니다. 다시 대입해서 풀어보면 K=5를 얻을 수 있을 겁니다. 손으로 한 번 풀어보기 ^0^
3.이제 최종 정답을 구하면,
y=(c1+c2x+c3x2+5x3)e−x
여기에 IVP를 풀면 c1,c2,c3를 구할 수 있겠지만 주어지지 않았으니, 답은 여기까지가 끝!ㅎㅎ
#1-1. 만약에..
만약, 특성방정식이 (λ−1)2(λ−3)=0이렇게 주어져있다면,
두 개의 해밖에 구할 수 없을 겁니다. 이 때도 마찬가지로 중근이 있는 곳에만 x를 곱해서(차수축소법) 해결해줍니다.
y1=ex,y2=xex,y3=e3x
#2. 오일러-코시 방정식
x3d3ydx3−3x2d2ydx2+6xdydx−6y=x4lnx
네 저번에 엄청난 계산량과 적분을 자랑했던. lnx가 돌아왔습니다…..ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 이것도 일단 homogeneous solution 을 구해야겠죠?
1. x3d3ydx3−3x2d2ydx2+6xdydx−6y=0
오일러-코시 방정식이니까, y=xm으로 놓고 풀기 시작해봅니다. 특성방정식은, (m−1)(m−2)(m−3)=0으로 구해질테니 y1,y2,y3을 아래와 같이 구할 수 있을 겁니다.
y1=x,y2=x2,y3=x3
따라서,
yh=c1x+c2x2+c3x3
2. particular solution 은, lnx가 있으니 일단 Wronskian 을 구해서 구하는 걸 선택합니다.
W=|xx2x312x3x2026x|=2x3
W1=|0x2x302x3x2126x|=x4
W2=|x0x3103x2016x|=−2x3
W3=|xx2012x0021|=x2
그러니까, yp=∫yi3∑i=0rWiWdx
라는 공식을 적용해서 전개를 합시다.
yp=x∫x2xlnxdx−x2∫xlnxdx+x3∫12xxlnxdx =16x4(lnx−116)
3. 이제 최종 해를 구하면,
y=c1x+c2x2+c3x3+16x4(lnx−116)
짜잔! 이렇게 최종 해를 구했습니다.
정리
계산이 좀 힘들었죠? higher order 로 갈 수록 중근이 발생할 수 있는 경우도 많다보니……. 좀 더 복잡합니다. 또 계산도 …. Wronskian을 도입하기 시작하면서부터 행렬 식이 복잡해지고…….ㅋㅋㅋㅋㅋ 사실 3차 이상의 ODE를 푸는 일은 그렇게 많지 않을 거니까 ‘이런게 있다!’정도로 해두고 예제 두 문제를 확실히 풀고 넘어갑시다!
다음 포스팅부터는, series solution 구하는 극악의 작업을 함께 해보도록 하겠습니다ㅠㅠ 화이팅! 열심히 따라와봐요~
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