[유체 역학] Material(substantial) derivative란?

출처: Wikiversity: Fluid Mechanics for MAP/Fluid Dynamics

이번 포스팅에서는 제가 질문 받은 내용에 대해 간략하게 설명하려고 합니다. 유체 역학에서 본격적으로 미분 방정식을 다룰 때 등장하는 material derivative에 대한 내용인데요, 이것의 수학적 정의와 물리적 의미를 중심으로 설명하도록 하겠습니다.

Material derivative

일반적으로 유체 역학에서 Material derivative는 유체의 어떤 물리량이 벡터 장을 형성할 떄, 그 물리량의 total time derivative를 의미합니다.

# Total time derivative

Total time deivative는 시간과 공간의 함수 $f(x, y, z, t)$에 대하여 수학적으로 다음과 같이 표현됩니다.

$$\frac{d}{dt}\Big(f(x,y,z,t)\Big)=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}$$

좌변이 total time derivative를 나타내고 우변은 시간에 대한 편미분을 나타냅니다. 편미분 방정식에 대해 더 궁금하다면 이 카테고리를 참고하세요~

Acceleration field of a fluid

이제 위 식이 가지는 물리적 의미를 살펴볼 텐데요, 직관적인 이해를 돕기 위해 시간과 공간의 함수가 바로 속도라고 가정해 봅시다. 속도는 벡터 함수이지만 위 식은 그대로 성립하게 됩니다. 공간 전체에 걸쳐서 각 위치와 시간에 대해 속도 벡터 $\pmb{v}(x, y, z, t)$를 정의하면 이 속도 벡터를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$\pmb{v}(x, y, z, t) = \pmb{i}u(x, y, z, t)+\pmb{j}v(x, y, z, t)+\pmb{k}w(x, y, z, t)$$

여기서 $u$, $v$, $w$는 각각 $x$, $y$, $z$ 축 방향의 속도 성분입니다. 이제 이 속도 벡터에 대해 total time derivative를 취하면 다음과 같이 표현됩니다.

$$\frac{d}{dt}\Big(\pmb{v}(x,y,z,t)\Big)=\frac{\partial \pmb{v}}{\partial t}+\frac{\partial \pmb{v}}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \pmb{v}}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial \pmb{v}}{\partial z}\frac{dz}{dt}$$

위 식에서 좌변은 무엇일까요? 네, 바로 속도의 시간에 대한 미분, 가속도 벡터죠. 공간상의 위치 $(x, y, z)$에서 시간 $t$ 일 때의 가속도 벡터를 나타냅니다. 이 공간이 전부 유체로 차 있다면 바로 유체의 가속도 벡터 장(acceleration field of a fluid)을 의미합니다. 이를 다음과 같이 정리해서 쓸 수 있습니다.

$$\frac{d}{dt}\Big(\pmb{v}(x,y,z,t)\Big)=\frac{\partial \pmb{v}}{\partial t}+u\frac{\partial \pmb{v}}{\partial x}+v\frac{\partial \pmb{v}}{\partial y}+w\frac{\partial \pmb{v}}{\partial z}$$

# Local acceleration

위 식에서 우변 첫 번째 항은 어떤 물리적 의미를 가질까요? 바로 고정된 위치 $(x, y, z)$에서의 시간에 따른 속도의 변화를 의미합니다. 예를 들어 가속도를 측정할 수 있는 장비(pitot tube 등)를 공간 상의 임의의 위치에 고정시켜 놓고 시간의 흐름에 따라 가속도를 측정하면 바로 이 값이 되겠죠. 이를 local acceleration이라고 합니다.

# Convective acceleration

그렇다면 우변의 두 번째 항은 무엇일까요? Local acceleration이 어떤 위치에서 속도의 크기 변화만을 계산한다면, 두 번째 항은 그 위치 주변에서 속도의 방향 변화를 계산하는 convective acceleration입니다. 쉽게 비유하자면, 등속 원운동하는 물체의 구심 가속도와 비슷하다고 할 수 있겠네요. 다시 말해서 속도 벡터에 대한 전체 total time derivative는 그 지점에서의 속도의 변화율에 그 주변에서의 속도 변화율을 합한 값이 됩니다.

# Why?

그렇다면 왜 그 지점이 아니라 주변에서의 속도 변화율도 보는 것일까요? 다변수 함수의 완전 미분의 정의로 속도 벡터 장의 total time derivative가 수학적으로 저렇게 표현된다는 것은 알겠는데 이것이 어떤 물리적 의미를 가질까요? 바로 유체 내에서의 total time derivative는 한 유체 입자를 따라가면서 속도의 변화를 계산한 것이기 때문입니다. 유체 입자는 속도 벡터를 따라서 (정확히는 streamline) 공간 속을 움직입니다. 어떤 지점에서 속도의 변화율이 있어도 그 유체 입자의 속도는 변화하지만 그 주변 공간에서 속도 벡터의 방향이나 크기가 변해도 유체 입자의 속도가 변화하게 되는 것이죠. 이처럼 유체 입자를 따라가면서 계산하기 때문에 total time derivative를 material derivative 혹은 substantial derivative라고 한답니다.

참고로 local derivative처럼 한 위치에서 입자의 물리량 변화를 살펴보는 것을 Eulerian 방법이라고 하고, material derivative처럼 입자를 따라가면서 물리량 변화를 보는 것을 Lagrangian 방법이라고 한답니다.

일반적인 material derivative

일반적으로 유체는 연속적이라고 가정하므로 유체가 차 있는 공간에서는 미분을 정의할 수 있고 일반적인 material derivative를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \pmb{v}\cdot\pmb{\nabla}$$

미분 연산자만 나타낸 것으로 위에서 예로 들었던 속도 벡터의 경우에는 다음과 같이 위 연산자를 사용할 수 있습니다.

$$\frac{d\pmb{v}}{dt} = \frac{\partial \pmb{v}}{\partial t} + \pmb{v}\cdot\pmb{\nabla}\pmb{v}$$

마치며

이번 포스팅에서는 유체 역학에서 미분 방정식을 다룰 때 기본이 되는 material derivative에 대해서 살펴 보았습니다. 학부 유체 역학 수준에서는 이에 대해 좀 더 엄밀한 증명을 필요로 하지는 않으나 혹시 더 알아보고 싶으시다면 Wiki: Material derivative를 참고하시면 좋을 것 같습니다.