[유체역학] Reynolds transport theorem과 검사 체적 (2)

복습

# 닫힌 계에서의 RTT

지난 포스팅에서 닫힌 계에서 RTT가 어떻게 표현되고 무슨 의미를 가지는지 알아 보았습니다. 유체 덩어리를 따라 움직이는 닫힌 계에서의 RTT 식을 다시 한 번 보겠습니다.

$$\frac{d}{dt}\left(\int_{\Omega (t)}{\pmb{f}(\pmb{x}, t)dV}\right) = \int_{\Omega (t)}{\frac{\partial \pmb{f}(\pmb{x}, t)}{\partial t} dV} + \int_{\partial\Omega (t)}{\left(\pmb{v}\cdot\pmb{n}\right)\pmb{f}(\pmb{x}, t) dA}$$

여기서 좌변은 유체 덩어리 전체 물리량의 시간 변화율이고 우변은 물리량 자체의 시간 변화율과 유체 덩어리 자체가 움직이면서 생기는 변화량을 더해준 값입니다.

자 여기까지 이해하셨으면 다음으로 넘어가 봐도 좋을 것 같네요~

검사 체적 (Control volume)

자, 이번에 살펴볼 것은 학부 유체역학에서 가장 중요한 개념인 검사 체적(control volume)입니다. 줄여서 C.V.라고 부르기도 하는데요~ 검사 체적이란 무엇일까요~?

# 검사 체적(Control Volume)이란?

먼저 검사 체적의 정의를 알아봅시다. 위키피디아에서는 검사 체적을 다음과 같이 정의합니다.

유체역학과 열역학에서, 검사 체적이란 물리 현상을 수학적 모델로 다루기 위한 추상적인 개념이다. 관성 기준계에서 검사 체적은 고정되어 있거나 유체의 흐름을 통과하며 등속 운동을 한다.

간단히 말해서 우리가 임의로 만드는 가상의 체적이라고 생각하시면 됩니다. 유체는 이 가상의 체적을 통과할 수 있으며 가상의 체적 또한 유체를 통과하며 등속 운동을 할 수 있습니다.

# 검사 체적은 어디에 사용되는가요?

학부 과정에서 유체를 다룰때에는 이 검사 체적이라는 툴을 이용하여 유체의 역학을 분석하게 된답니다. 유체가 흐를 때, 주변의 벽은 얼만큼의 힘을 어디로 받는가, 벽이 고정되어 있을 때, 유속은 얼마나 될 것인가 등 재밌는(?) 문제를 많이 풀게 될텐데요~ 전부 이 검사 체적이라는 개념을 사용하죠. 검사 체적을 이용하여 유체역학의 문제를 푸는 것을 검사 체적 해석(control volume analysis)라고 한답니다.

검사 체적과 RTT의 체적

# 검사 체적과 RTT의 체적은 같은 것인가요?

조금 애매한 질문인데요~ 검사 체적 $C.V.$과 우리가 살펴본 RTT의 체적 $\Omega$는 기본적으로 우리가 임의로 선택할 수 있다는 점에서 비슷하죠? 하지만, 검사 체적 해석에서 사용할 검사 체적과 이 때 필요한 RTT의 체적은 엄연히 다르답니다.

검사 체적 해석에서 검사 체적은 유체가 통과할 수 있는 가상의 체적인 반면, 이때 우리가 사용할 RTT에서의 체적은 유체 덩어리와 함께 움직이는 체적입니다. 물론, RTT의 체적도 우리가 마음대로 잡을 수 있는 체적이므로 검사 체적과 동일하게 잡아도 되지만 결국 아무 의미 없는 식이 도출된답니다.

# 검사 체적과 RTT의 체적을 같게 잡는다면?

예를 들어, 아래 그림과 같이 유체가 흐르는 관의 입구와 출구의 면적이 $A_{in}$과 $A_{out}$으로 다르고, 일정한 밀도 $\rho$의 유체가 일정한 속도 $v_{in}$로 관으로 들어와서 $v_{out}$으로 나간다고 가정해 봅시다. 즉, 비압축성 유체의 관내 정상 상태 유동인 경우입니다.

검사 체적 해석과 RTT

이떄, 검사 체적을 다음과 같이 지면 좌표계에서 고정되어 있고 형태가 변하지 않도록 잡아 봅시다. 이렇게 유체의 흐름을 따라 검사 체적을 잡으면 검사 체적의 옆면(빙 둘러서) 면으로는 유체의 흐름이 없고 평평한 앞, 뒷면($A_{in}$,$A_{out}$)을 통해서만 유체가 흐르게 됩니다. (참고로 일반적인 검사 체적 해석에서는 유체가 흘러오는 쪽을 앞면, 흘러나가는 쪽을 뒷면이라고 한답니다)

검사 체적

그런데 이떄, RTT의 체적을 검사 체적과 동일하게 잡으면 어떻게 될까요? 이 경우엔 닫힌계가 아니므로 일반적인 RTT 식을 가져와 봅시다.

$$\frac{d}{dt}\left(\int_{\Omega (t)}{\pmb{f}(\pmb{x}, t)dV}\right) = \int_{\Omega (t)}{\frac{\partial \pmb{f}(\pmb{x}, t)}{\partial t} dV} + \int_{\partial\Omega (t)}{\left(\pmb{v^b}\cdot\pmb{n}\right)\pmb{f}(\pmb{x}, t) dA}$$

위 식에서 $\pmb{v^b}$는 RTT 체적 $\Omega$의 경계면 $\partial\Omega$의 속도입니다. 위 첨자 b는 boundary를 의미하죠. 그런데 앞서 RTT 체적을 검사 체적과 동일하게 잡았으므로 이 속도가 0이 됩니다.

$$\pmb{v^b}(\pmb{x}, t)=0$$

이 경우에 RTT 식은 다음과 같이 우변의 항이 하나인 형태로 바뀝니다.

$$\frac{d}{dt}\left(\int_{\Omega (t)}{\pmb{f}(\pmb{x}, t)dV}\right) = \int_{\Omega (t)}{\frac{\partial \pmb{f}(\pmb{x}, t)}{\partial t} dV}$$

이떄, 단위 부피당 물릴량 $\pmb{f}$를 단위 부피당 질량인 밀도라고 생각해 봅시다. 그런데 유체의 밀도가 변하지 않는다고 가정했으므로(실제로 유체가 물인 경우의 대부분은 이 가정을 사용합니다) 다음의 식이 성립합니다.

$$\frac{\partial \pmb{f}(\pmb{x}, t)}{\partial t} = \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0$$

또한, 정상 상태를 가정하고 우리가 고정된 검사 체적(또한 RTT의 체적)을 잡았으므로 RTT 체적 내부 유체의 질량은 항상 일정하다고 볼 수 있습니다. 그러면 다음 식이 성립하게 되죠.

$$\frac{d}{dt}\left(\int_{\Omega (t)}{\pmb{f}(\pmb{x}, t)dV}\right) = 0$$

위 두 식을 RTT 식에 대입하면, 다음과 같이 명백한 항등식이 도출됩니다.

$$0 = 0$$

틀린 식은 아니지만, 실제 검사 체적 해석에서는 아무 쓸모도 없는 식이 되버리는 거죠.

검사 체적 해석과 RTT

그렇다면 어떻게 RTT를 검사 체적 해석에서 유용하게 바꿀 수 있을까요? 힌트는 이번 포스팅의 첫 부분에 있답니다. 바로 닫힌 계에서의 RTT를 사용하는 거죠.

우리의 검사 체적은 아까와 마찬가지로 지면 좌표계에 대해 고정되어 있고 형태가 변하지 않지만 이제 RTT 체적은 유체 덩어리가 되어 움직이며 심지어 형태도 변합니다. 그렇다면 검사 체적 해석에서 RTT 식은 어떻게 바뀌게 될까요?

# 검사 체적 해석에서의 RTT 식

다시 닫힌 계에서의 RTT 식을 가져와 봅시다.

$$\frac{d}{dt}\left(\int_{\Omega (t)}{\pmb{f}(\pmb{x}, t)dV}\right) = \int_{\Omega (t)}{\frac{\partial \pmb{f}(\pmb{x}, t)}{\partial t} dV} + \int_{\partial\Omega (t)}{\left(\pmb{v}\cdot\pmb{n}\right)\pmb{f}(\pmb{x}, t) dA}$$

여기서 이제 검사 체적 해석의 핵심 내용이 나옵니다. 바로, 우변 두 번째 항의 부호가 뒤바뀌는 것이죠. 왜 그럴까요? 시간 $t+\Delta t$에서 RTT 체적에 추가되는 부분이 검사 체적에서는 빠져나가는 부분이 되기 때문입니다. 마찬가지로 시간 $t+\Delta t$에서 RTT 체적에서 빠져나가는 부분이 검사 체적에는 추가됩니다. 이러한 이유로 우변 두 번째 항의 부호가 반대가 되게 됩니다. 그래서 검사 체적 해석에서의 RTT 식은 다음과 같이 바뀌게 되는 것이죠.

$$\frac{d}{dt}\left(\int_{C.V.}{\pmb{f}(\pmb{x}, t)dV}\right) = \int_{C.V.}{\frac{\partial \pmb{f}(\pmb{x}, t)}{\partial t} dV} - \int_{C.S.}{\left(\pmb{v}\cdot\pmb{n}\right)\pmb{f}(\pmb{x}, t) dA}$$

# 검사 체적 해석 예제

검사 체적 해석과 RTT

자, 그럼 이제 위의 예제로 돌아가 봅시다. 마찬가지로 단위 부피당 물릴량 $\pmb{f}$를 단위 부피당 질량인 밀도 $\rho$라고 가정한다면 위 식의 우변 첫 번째 항은 여기서도 0이 됩니다. 여전히 밀도는 시간에 대해서 불변이기 때문이죠.

그러면 우변의 두 번째 항은 어떻게 될까요? 적분이 RTT 체적의 표면인 $\partial\Omega(t)$에 대한 면적분이므로 각각의 면에 대해 생각을 해 봅시다.

먼저, 유체가 검사 체적으로 흘러 들어오는 앞면 $A_{in}$에 대해서 생각을 해 보면, 표면의 속도(즉, 유체의 속도)는 RTT 체적 안 쪽을 향하므로 앞면의 면벡터 $\pmb{n}dA$와의 내적이 음수가 됩니다. 이는 다음과 같이 표현됩니다.

$$\int_{A_{in}}{\left(\pmb{v}\cdot\pmb{n}\right)\rho dA} = - \rho A_{in} v_{in}$$

마찬가지로 유체가 검사 체적 밖으로 흘러 나가는 윗면 $A_{out}$에 대해서는 다음과 같이 쓸 수 있겠습니다. 차이점은 유체가 밖으로 흘러나가므로 내적이 양수가 된다는 것이죠.

$$\int_{A_{out}}{\left(\pmb{v}\cdot\pmb{n}\right)\rho dA} = \rho A_{out} v_{out}$$

그런데 옆면 $A_{side}$의 경우에는 어떻게 될까요? 우리가 잡은 RTT 체적에서 옆면은 관 벽에 밀착되어 있습니다. 유체가 그렇게 흐르기 때문이죠! 다시 말해서 이 옆면으로는 유체가 빠져나가거나 들어올 수가 없습니다. 그렇기 때문에 옆면에서의 $\pmb{v}$는 0이 되죠.

따라서 전체 RTT 식을 이제 다음과 같이 쓸 수 있게 되었습니다.

$$\frac{d}{dt}\left(\int_{\Omega (t)}{\rho dV}\right) = \rho A_{in} v_{in} - \rho A_{out} v_{out}$$

# 질량 보존의 법칙

여기서 좌변의 괄호안 값은 무엇일까요? 네, 바로 우리가 잡은 유체 덩어리의 질량입니다. 일반적으로 닫힌 계에서 유체 한 덩어리의 질량이 시간에 따라 바뀔 수는 없겠죠? 바로 질량 보존의 법칙 떄문에 말이죠. 그러므로 이제는 다음과 같이 최종적으로 위 예제에서의 RTT 식을 정리할 수가 있게 되었습니다.

$$0 = \rho A_{in} v_{in} - \rho A_{out} v_{out}$$

이게 바로 그 유명한 continuity equation입니다. RTT와 질량 보존의 법칙을 이용해서 유도되는 식이죠. 이 포스트에서는 이 continuity equation에 대해 더는 자세히 다루지 않겠습니다. 이 포스트는 RTT에 관한 포스트이니까요~

# 왜 검사 체적 해석인가?

그런데 위 식을 유도하는 중에 과연 검사 체적의 개념이 어디에 사용되었을까요? 얼핏 보면 RTT 밖에 안 쓴 것 같은데 말이죠.

바로 처음의 유체 덩어리를 얼만큼으로 정할 것이냐~ 하는 데에서 검사 체적의 개념이 사용되었답니다. RTT 체적으로 잡는 이 유체 덩어리는 사실 우리가 보고자 하는 순간 검사 체적에 포함되는 유체 덩어리를 가리킵니다. 조금의 시간이 흐르면 검사 체적 내에는 이와 다른 다른 유체 덩어리가 들어오겠지만 RTT 체적은 처음의 그 유체 덩어리를 계속 따라가는 것이죠.

만약 검사 체적을 다르게 잡는 다면, RTT 체적으로 잡는 유체 덩어리 또한 다르게 잡히겠죠? 그래서 검사 체적을 어떻게 잡는가가 중요하답니다.

예를 들어서 관내 유동의 경우에 관의 입구와 출구에 대해 알아보고 싶다~ 하면 검사 체적을 이 둘이 딱 검사 표면(검사 체적의 표면)이 되도록 잡아야겠죠?

검사 체적을 어떻게 잡는가~하는 것은 유체 역학을 계속해서 공부하면서 문제를 많이 풀다보면 감이 잡힌답니다 ㅎㅎ

마치며

네, 두 포스트에 걸쳐서 RTT란 무엇이며 검사 체적 해석과 어떤 관계에 대해 알아 보았습니다. 이 두 개념은 학부 유체 역학을 배우는 데 있어 기초가 되는 중요한 개념이므로 잘 이해하시길 바랍니다.

역시나 궁금하신 점은 댓글로 남겨주시면 감사 드리겠습니다 ㅎㅎ