[동역학] Coordinate Systems

[동역학] Kinematics and Dynamics

Introduction

잡담

안녕하세요, BestEng입니다. 정말 오랜만에 글을 쓰는데, 공우 6기로 새로 들어온 우리 2기 집필진들이 왕성한 집필 활동을 하는 걸 보니 감회가 새롭네요ㅎㅎ
저는 정기적이진 못하더라도 종종 이렇게 몇 가지 주제에 대해 글을 쓰려고 합니다. 집필 초반 유체역학에 대해 연재할 때, 많은 분들이 응원의 댓글을 달아 주셨는데, 너무 오랫동안 못썼네요 ㅠㅠ

목표

지금부터는 유체역학을 잠시 접어두고, 한동안 동역학에 대해 집필을 하려고 합니다. 역학에서 가장 기본이 되는 운동학과 동역학의 구분에 대해 이번 포스팅에서는 다루도록 하고, 이어서 다음 포스팅에 운동학 중 좌표계에 대해 다루도록 하겠습니다.

Kinematics vs. Dynamics

Definitions

기계공학과에서 배우는 역학(Mechanics)은 크게 두 부분으로 나뉩니다. 바로, 운동학(Kinematics)과 동역학(Dynamics)이죠. 운동학은 쉽게 말해서, 물체가 왜 운동하는지에 대한 생각을 배제하고 운동 자체를 다루는 학문입니다. 반면, 동역학은 운동을 일으키는 힘이나 토크 등에 대한 분석과 이것들이 어떤 운동을 일으키는지 다루는 학문입니다.

Kinematics

Figure 1. 톱니 바퀴의 운동학

위의 그림을 보면 세 개이 톱니바퀴가 있는데요, 만약 우리가 첫 번째 톱니바퀴의 각속도 $\omega_{1}$와 각가속도 $\alpha_{1}$를 알 때, 세 번째 톱니바퀴의 각속도 $\omega_{3}$와 각가속도 $\alpha_{3}$는 무엇일까요? 이러한 질문에 답해주는 것이 바로 운동학입니다. 이는 굳이 힘이나 토크의 개념을 도입하지 않고서도 몇 가지 제한조건(Constraints)들로부터 알 수 있습니다. 여기서 제한조건은 톱니는 서로 미끄러지지 않고 맞물려 돌아간다는 것이겠죠.

Dynamics

Figure 2. 톱니바퀴로 구동되는 자동차

반면, 위 그림과 같이 Figure 1의 톱니바퀴들이 자동차를 구동하는데 쓰인다고 생각해 봅시다. 이 경우에는 자동차의 바퀴가 몇 RPM(Revolution per minute)이 되는가도 중요하지만, 바퀴가 어느 정도의 힘을 내는가도 중요해집니다. 무거운 자동차를 구동시킬 수 있느냐에 대한 문제이니까요. 엔진이 내는 토크가 바퀴에서의 힘을 결정하는데 이때, 결정적인 영향을 미치는게 이 톱니바퀴들이죠. 이 톱니바퀴들은 보통 자동차에 기어 박스(Gear box) 형태로 들어가 있고, 마치 지렛대와 같이 바퀴에 전달되는 힘과 바퀴 RPM을 결정 짓습니다. 이 부분이 궁금하신 분은 아래 블로그에 잘 설명되어 있네요.
(http://www.robotshop.com/blog/en/how-do-i-interpret-dc-motor-specifications-3657)

이렇듯, 힘에 대한 고려를 하여서 힘 자체를 분석하거나 이로 인한 운동을 분석하는 것을 동역학이라고 합니다.

Why We Study Kinematics?

위의 설명대로라면, 사실 우리는 동역학만 공부하면 다 하는거 아냐? 라고 생각할 수 있습니다. 아래의 식을 한 번 봅시다.
$$\begin{equation} \label{eq:myeqs1} F = ma \end{equation}$$

위 식은 우리가 잘 아는 Newton의 방정식이죠? 식의 왼쪽에 힘이 들어가 있고 오른쪽엔 운동을 나타내는 식이 들어가 있네요. 즉, 식 $\ref{eq:myeqs1}$는 동역학 방정식입니다. 그러나 일반적으로는 이러한 동역학 방정식만 가지고는 물체의 운동을 쉽게 떠올릴 수 없습니다.
만약, 위 식에서 힘이 일정하다면 어떨까요? 질량 $m$의 물체는 등 가속도 운동을 하겠죠. 즉, 속도가 일정하게 변하는 운동을 할 것이란 것을 유추할 수 있습니다. 아까는 물체의 운동을 쉽게 떠올릴 수 없다고 했는데, 이 경우는 쉽게 떠오르죠? 이는 여러분의 머릿속에 다음과 같은 관계식이 아주 잘 정립되어 있기 때문입니다.
$$\begin{alignat}{2} \label{eq:myeqs2} a = \frac{dv}{dt} \\ \label{eq:myeqs3} v = \frac{dx}{dt} \end{alignat}$$
위의 식 $\ref{eq:myeqs2}$와 식 $\ref{eq:myeqs3}$이 바로 Newton 방정식에서의 운동학 방정식입니다. 이 식들로부터 우리는 물체가 어떤 가속도를 가질 때, 어떠한 속도와 위치를 가질 지 계산해낼 수 있는거죠.

Motions?

우리가 실제로 관심있는 값들은 바로 물체의 속도와 위치인 경우가 많기 때문에 이를 구하는 과정은 매우 중요합니다. 사실 어떤 점 물체의 운동이란 것은 시간에 따른 위치만 알면 되지만 역학적으로 작용하는 힘들 중 속도에 관계된 것들이 많고, 나중에 배우겠지만 운동을 나타낼 때 속도와 위치 둘 다 변수로 취급하면 문제가 꽤 간단해지기 때문에 관습적으로 속도와 위치를 같이 생각합니다.
다시 원래 얘기로 넘어가서, 왜 속도와 위치가 중요할까요? 자동차를 예로 들어봅시다. 자동차를 주차 공간에 주차시키고 싶다면, 이 때 필요한 것은 자동차의 위치(및 자세)입니다. 만약 속도 제한에 걸리지 않으면서 빠른 시간 내에 목적지에 도달하고 싶다면 속도를 조절해야 겠죠. 이렇듯 실제 역학 문제에 있어 가속도 보다는 속도와 위치가 중요한 경우가 많습니다.
따라서 우리는 가속도로부터 속도와 위치를 계산해 낼 수 있어야 하고, 이를 가능하게 하는 것이 바로 운동학 방정식들인 것이죠.

Conclusion

이제 운동학과 동역학의 차이, 그 중에서도 운동학 방정식의 중요성에 대해 조금 감을 잡으셨나요? 궁금한 점은 항상 그랬듯이 댓글로 달아주시면 감사하겠습니다~
그럼 다음 포스팅부터는 좌표계에서 시작해서 회전 변환, 오일러 각, 비관성 좌표계 등에 대한 이야기를 해보도록 하겠습니다.