[동역학] 좌표계 (Coordinate system) - 1

[동역학] 좌표계 (Coordinate system) - 1

좌표계란?

좌표계와 벡터

동역학을 공부하면 가장 먼저 배우게 되는게 바로 좌표계(Coordinate system)인데요, 일반적으로 쓰는 카테시안(Cartesian) 좌표계부터, 극(Polar) 좌표계, 원통(Cylindrical), 구면(Spherical) 좌표계까지 다양한 좌표계를 이용하여 여러가지 문제를 풀게 됩니다. 동역학에서는 각종 링키지(Linkage)를 다루기 위해 주로 극 좌표계를 많이 쓰고, 열전달에서는 한 점에서 퍼져나가는 열을 다루기 위해 구면 좌표계를, 유체 역학에서는 주로 관내 유동을 많이 다루기 때문에 원통 좌표계를 많이 씁니다.

이렇게 헷갈릴 정도로 다양한 좌표계가 있는데, 그럼 좌표계란 과연 어떤 것일까요? 바로 벡터를 표현하기 위해서인데요, 동역학을 다루려고 하면 다양한 벡터들이 등장합니다. 위치 벡터, 속도 벡터, 가속도 벡터, 각속도 벡터, 각가속도 벡터와 같은 물리량 뿐만 아니라, 힘, 토크, 운동량 등 3차원 공간에서 운동을 분석하는 이상 이러한 벡터들로 물체의 운동을 표현하게 됩니다. 이러한 벡터들은 보통 다음과 같이 표현합니다.

$$x,\vec x,{\pmb{x}},\bar x$$

친절한 많은 책들은 보통 2번째나 3번째 표현 방법을 쓰지만 여기서 우리는 편의상 맨 앞의 표현식을 쓰기로 합시다.

한편, 벡터란 크기와 방향을 가진다고 배운 기억이 나죠? 그런데 이 방향을 특정한 스칼라 값 들로 쪼개서 생각하면 계산이 굉장히 직관적이고 다루기 쉽게 바뀝니다. 예를 들어 볼까요?

좌표계 사용의 예시

위 그림은 비행기의 종축 운동(Longitudinal motion)을 간단하게 나타낸 그림입니다. 종축 운동은 비행기의 이륙과 착륙과 같이 양 옆으로의 회전은 고려하지 않는 2차원 평면상의 운동이라고 생각하시면 편합니다. 위 그림을 보시면 여러가지 힘들이 비행기에 작용하고 있죠? 여기서 비행기가 일정한 고도를 유지하면서 운행하길 바란다면 어떤 식을 세우는게 좋을까요? 모든 힘의 합력을 구해서 그 합력의 방향이 지면에 수평하면 되겠죠? 이것을 어떻게 수식으로 표현할까요?

$$(T + L + D + W) \cdot z = 0$$

위와 같이 표현하면 되겠죠? 여기서 $z$는 지면에 수직한 방향을 가리키는 단위벡터라고 합시다. 흠… 영 보기 좋지 않죠? ㅎㅎ 그럼 다음과 같이 좌표계를 설정한 후에 생각해 봅시다.

그러면 우리는 다음과 같이 각 벡터의 $x$, $z$ 방향 성분만 따로 빼내어 계산할 수 있습니다.

$$T_{x} + L_{x} + D_{x}+ W_{x} = 0 \\ T_{z} + L_{z} + D_{z} + W_{z} = 0$$

이게 훨씬 다루기가 편해 보이네요~! 다음과 같이 쓰기도 편하구요. 아래 식은 예시로 든 것일 뿐이니 자세한 설명은 생략할게요~

$$(T-D)sin\theta + Lcos\theta = W$$

중간 정리

위의 예제에서 우리는 벡터를 2차원 좌표계($x-z$)를 이용하여 나타내었습니다. 만약 3차원 공간이라면 벡터 $r$를 다음과 같이 나타낼 수도 있겠죠.

$$r=r_{x}e_{x}+r_{y}e_{y}+r_{z}e_{z}$$

여기서 $e_{i} (i=x,y,z)$는 3차원 공간상의 특정한 방향을 가리키는 단위벡터이고 $r_i (i=x,y,z)$는 벡터 $r$의 $i$ 방향 성분(Component)라고 생각하시면 됩니다. 이처럼 벡터로 표시되는 물리량을 우리가 정한 방향을 가리키는 성분들의 합으로 표시하고 싶을 때 필요한 것이 바로 좌표계입니다.

하나의 벡터와 여러 개의 좌표계

2차원 공간상에 벡터 $r$이 있다고 생각해 봅시다. 이 벡터를 다음의 좌표계($e_{1}-e_{2}$)에 대해 표현하면 어떻게 될까요?

위 좌표계에서 벡터 $r$은 다음과 같은 식으로 표현이 가능합니다.

$$r = r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}$$

같은 벡터를 아래와 같이 좌표계($e_{3}-e_{4}$)에 대해 표현할수도 있습니다.

위 좌표계에서 벡터 $r$은 이제 다음의 식으로 표현됩니다.

$$r = r_{3}e_{3}+r_{4}e_{4}$$

이렇듯 하나의 벡터는 여러개의 좌표계로 표현할 수 있습니다. 즉, 벡터는 우리가 표현하고자 하는 실제 물리량이고, 좌표계는 이를 계산에 쓰이기 쉽게 몇 개의 성분으로 분리해서 표시해 주는 도구라고 생각하시면 됩니다. 어떤 도구를 쓰더라고 같은 벡터를 나타내는 것이죠.

어떤 좌표계를 써야 하나?

그렇다면 어떤 도구(좌표계)를 써야 할까요? 딱히 정답은 없고 그냥 편한대로 잡으시기만 하면 됩니다! 진짜예요..ㅋㅋ 음.. 사실 여러분이 어떤 분야를 공부하냐에 있어 약간의 약속처럼 특정한 좌표계를 잡기도 합니다. 예를 들어, 비행 역학에서는 주로 비행이의 전방을 $x$ 방향으로 잡고, 우측을 $y$ 방향, 아랫쪽을 $z$ 방향으로 설정합니다.

마치며

이번 포스팅에서는 좌표계란 어떤 것인가에 대해 다뤄 보았습니다. 좌표계를 잘 다루는 것은 운동학(Kinematics)을 다루는 데 있어 필수적이라고 할 수 있으므로 잘 익혀두시길 바랍니다~! ㅎㅎ 그럼 다음 시간에 만나요~