[유체 역학] Why Dimensional Analysis?

Intro

안녕하세요, BestEng입니다. 요즘은 패널을 통해 4대 역학에 관해 모호한 개념이나 잘 이해가 안가는 부분들에 대한 질문을 받고 있는데요, 지금이 유체 역학 시험기간인지 유체 역학에 대한 질문이 많네요. 오늘은 제가 받은 질문 중 dimensional anlysis는 무엇이며 왜, 어떻게 쓰는지에 대해 알아 보도록 하겠습니다. 간단한 개념이고 문제 또한 그리 어렵진 않지만 참고서(FM White, “Fluid Mechanics”, 7/e)에는 불필요한 설명이 길기 때문에 읽기가 어려운데요, 이번 포스팅에서는 이를 간단하게 설명해 보도록 하겠습니다.

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Dimensional Anaysis

Dimensional analysis는 간단하게 얘기해서 일반적으로 차원이 있는 물리량(Dimensional variable)에 관한 관계식을 무차원 수(Dimensionless variable)들의 관계식으로 바꿔 분석하는 방법입니다.

여기서 말하는 차원이란 일반적인 유체 역학에서는 질량 $M$(Mass), 길이 $L$(Length), 시간 $T$(Time) 그리고 온도 $\Theta$(Temperature)를 말하는데요, 우리가 아는 대부분의 물리량들은 이 차원들로 이루어져 있습니다. 예를 들어, 힘의 차원은 $MLT^{-2}$, 밀도는 $ML^{-3}$이라고 할 수 있겠죠. 이렇게 일반적으로 이렇게 4개 정도의 차원이 모든 물리량의 차원을 이룹니다.

이 4개의 차원들을 적절히 곱해주어 나머지 물리량들의 차원을 없애 주는 과정을 바로 무차원화(non-dimensionalize)라고 합니다. 어떻게 무차원화를 하는지는 유체 역학 교과서에 잘 나와 있습니다. 혹은 위키를 참고 하시면 금방 익힐 수 있습니다 - Wiki: Buckimgham pi theorem

어떻게 무차원화를 하는지보다 우리는 왜 무차원화를 하는지에 대해 살펴보도록 합시다.

Why dimensional analysis?

간단한 시스템을 생각해 봅시다. 여러분은 $1 N$의 힘으로 질량 $2 kg$인 야구공을 던집니다. 공기 저항이 없는 간단한 경우로 가정하고 한 가지 더, 여러분이 뉴턴의 운동 법칙을 모른다고 가정해 봅시다. 이때, 여러분이 야구공의 가속도를 알고 싶다면 어떻게 해야 될까요? 물론 직접 가속도계를 가지고 측정할 수도 있겠지만 여러분은 그럴 여건이 안된다고 합시다. 하지만 도서관을 뒤져 보니 누군가가 모든 질량과 힘에 대해서 전부 실험을 해 놨군요!

Mass ($kg$)	Force ($kg\times m/s^2$)	Acceleration ($m/s^2$)
1	1	1
	1.1	1.1
	1.2	1.2
	…	…
2	1	0.5
	1.1	0.55
	…	…

여기서 질량 $2 kg$와 힘 $1 N$인 경우에 가속도를 찾을 수가 있네요. $0.5 m/s^s$이예요! ……..

만약, 내가 이 표에 없는 질량과 힘 조합을 가지고 있으면 어떡하죠? 내 공이 만약 $100 kg$ 이라면요? 누군가가 모든 경우에 대해 전부 실험하기에는 우리 주변의 현상은 너무나 복잡하답니다. 변수가 위처럼 3개가 아니라 5개면 더 복잡해지겠죠?

그런데 누군가 이런 실험을 합니다.

Force/Mass ($m/s^2$)	Acceleration ($m/s^2$)
0.5	0.5
0.55	0.55
…	…
1	1
1.1	1.1
…	…

이렇게 힘과 질량의 비로 실험을 했더니 결과가 훨씬 간단해 집니다! 여러분이 공을 던지는 힘과 질량의 비는 $1/2 = 0.5$ 이므로 여러분 공의 가속도는 $0.5 m/s^2$이 되겠네요! 이 방식은 실험의 갯수도 획기적으로 줄여줍니다. 또한, 여러분의 공의 질량이 $100 kg$일 때에도 쉽게 구할 수 있죠. 저 표에 따르면 힘 $100 kg \times m/s^2$으로 $100 kg$의 공을 던지면 가속도가 $1 m/s^2$이란걸 쉽게 알 수 있습니다.

무슨 일이 일어난걸까요? 바로 힘과 질량에 중복되어있던 질량 차원을 소거시킨 겁니다. 이것이 바로 차원을 소거시킬때 얻는 이점이죠. 만약 여러분이 마지막 차원들까지 소거시켜 무차원 수 Force/(Mass X Acceleration )를 만든다면 다음과 같은 표로 나타내질 것입니다.

Force/(Mass X Acceleration )
1
1
…
1
1
…

이제 여러분은 힘과 질량을 알 때에 가속도를 바로 구할 수 있게 되었네요. 바로 $a = 1 \times F/m$을 통해서요.

이것이 바로 무차원화의 강점입니다. 실험의 수를 획기적으로 줄여주고, 이를 이용하는 사람이 쉽게 사용할 수 있도록 해주는 것이죠.

공학으로써의 유체 역학

실제로 유체 역학의 경우 너무 복잡하기 때문에 우리는 모든 상황에서 이상적인 방정식을 도출할 수가 없습니다. 대신 알려진 실험 결과를 잘 이용하는 것이 시간적인 측면으로 보나 비용적인 측면으로 보나 훨씬 유리하죠.

보통 학생들이 4대 역학 중에 유체 역학을 많이 어려워 합니다. 방정식의 난이도도 어렵지만 이렇게 실험 결과를 이용하는 방법이 익숙하지 않아서라고 생각되는 데요, 그 이유는 고등학교 과정 혹은 대학교 1학년까지 우리는 이론적으로 유도되고 값을 계산할 수 있는 방법을 많이 배우기 때문에 이에 익숙해져 있기 때문입니다. 4대 역학의 나머지 고체, 열, 동역학들도 꽤나 이론적인 측면이 강하죠. 하지만 유체 역학은 그 난해함 만큼이나 우리가 수식으로, 이론적으로 다 풀어내지 못한 경우가 많답니다.

그러나 이제 시작입니다. 세상에는 이해하진 못하지만 유용하게 써야하는 현상들이 너무나도 많으니까요.

여러분들도 이론적인 접근 뿐만이 아니라 이러한 실험적이고 실제적인 접근 방법이 조금 더 친숙해지기를 바랍니다.

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Conclusion

오늘은 Dimensional Analysis를 왜 하는가에 대해 다뤄 보았는데요, 사실 내용이나 문제 풀이가 어려운 단원은 아닙니다. 하지만 마지막에 언급했듯이 실증적 학문으로써의 공학의 첫 걸음이 기계항공공학부 교육과정에서는 바로 여기부터가 아닌가 싶습니다. 여러분이 이러한 접근 방식에 좀 더 친숙해지기를 바라면서 오늘 포스팅을 마치도록 하겠습니다~!