[유체역학] Reynolds transport theorem과 검사 체적 (1)

# RTT란?

RTT는 대학교 2학년 과정의 유체역학을 공부하면 가장 먼저 보게 되는 정리로 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있습니다.

시간에 따라 형태가 변하는 계(System) 내의 물리량에 관한 정리

연속체의 역학을 다룰 때 매우 유용한 정리로 유체역학, 고체역학 등의 해석에 주로 이용되죠.

# RTT와 검사 체적 해석

유체역학에서는 RTT를 주로 검사 체적(Control Volume)을 다룰 때 사용하게 되는데요~ 실제 RTT의 개념과 검사 체적 해석 시 사용하는 개념이 조금 다릅니다.

지금부터 그 차이점에 대해 자세하게 알아 보겠습니다.

# RTT의 일반적인 표현식

우선, RTT의 기본 식에 대해 알아 보겠습니다.

$$\frac{d}{dt}\left(\int_{\Omega (t)}{\pmb{f}(\pmb{x}, t)dV}\right) = \int_{\Omega (t)}{\frac{\partial \pmb{f}(\pmb{x}, t)}{\partial t} dV} + \int_{\partial\Omega (t)}{\left(\pmb{v^b}\cdot\pmb{n}\right)\pmb{f}(\pmb{x}, t) dA}$$

여기서 $\pmb{f}(\pmb{x}, t)$는 계 내의 물리량, $\pmb{v^b}=\pmb{v^b}(\pmb{x}, t)$는 위치 $\pmb{x}$에서의 경계면의 속도이며($b$는 boundary를 의미합니다) $\pmb{n}=\pmb{n}(\pmb{x}, t)$는 위치 $\pmb{x}$에서의 곡면 $\partial\Omega (t)$의 법선 벡터입니다.

위 식의 유도는 Wikipedia: Reynolds trandport theorem에 보시면 자세히 나오는데 유체역학이 아닌 일반적인 RTT의 유도라 조금 복잡한 표현이 나올 수 있습니다ㅠㅠ

우리가 원하는 것은 일반적인 RTT의 복잡한 유도가 아니라 어떻게 이것을 유체역학에서 쓸 수 있고 쉽게 이해할 수 있느냐 이므로 너무 걱정하지 않으셔도 됩니다~! ㅎㅎ

우선 이 개념을 적용하기 위하여 계(System)에 대해서 조금 더 알아보도록 하죠~

# 열린 계에서의 RTT

주의하셔야 할 점은 일반적인 RTT 식에서 $\Omega (t)$는 시간 $t$일 때, 우리가 보고자 하는 계를 의미한다는 것입니다. 여기서의 계는 열린 계(Open System)로써 에너지와 물질이 드나들 수 있는 계입니다.

열린 계(Open system) 출처: Wikipedia: Open System

다시 말해서, 일반적인 개념으로써의 RTT는 계 내의 어떤 물질을 가지고 얘기하는 것이 아니라는 말이죠. 임의로 잡은 공간 상의 한 영역이라고 생각하시면 될 것 같습니다.

일반적인 RTT는 계가 연속적으로 움직이고, 그 계 내의 물리량이 연속적이기만 한다면 항상 성립하는 식입니다. 연속적이라는 단서는 미분이 필요하기 때문에 붙은 것이죠.

그렇다면 이를 어떻게 유체역학에서의 검사 체적 해석에 사용할까요?

# 닫힌 계에서의 RTT

일반적인 RTT에서 정의하는 $\Omega (t)$는 열린 계로 에너지와 물질이 자유로이 드나들 수 있다고 했습니다. 그렇다면 만약 이를 닫힌 계(Closed System), 즉 에너지는 드나들 수 있지만 물질은 그렇지 못한 계로 한정 지으면 어떻게 될까요?

유체역학에서 유체의 한 덩어리(Parcel)만을 계로 잡을 때가 이 경우에 해당합니다. 이 한 덩어리의 유체는 충분히 연속적이며 연속적으로 움직인다고 가정할 수 있겠죠~ 그래서 위의 RTT 정리의 조건을 잘 만족합니다.

이렇게 유체의 한 덩어리를 RTT에서의 $\Omega(t)$로 잡으면 경계면 $\partial\Omega(t)$ 위의 위치 $\pmb{x}$에서의 속도 $\pmb{v^b}(\pmb{x}, t)$가 결국 그 위치에서 물질의 속도 $\pmb{v}(\pmb{x}, t)$가 됩니다. 계의 경계면이 바로 물질의 경계면이 되기 때문이죠. 즉, 다음 식이 성립하게 됩니다.

$$\pmb{v^b}(\pmb{x}, t)=\pmb{v}(\pmb{x}, t)$$

그러면 이제 일반적인 RTT 식은 다음과 같은 유체 덩어리에서의 RTT 식으로 바뀌게 됩니다.

$$\frac{d}{dt}\left(\int_{\Omega (t)}{\pmb{f}(\pmb{x}, t)dV}\right) = \int_{\Omega (t)}{\frac{\partial \pmb{f}(\pmb{x}, t)}{\partial t} dV} + \int_{\partial\Omega (t)}{\left(\pmb{v}\cdot\pmb{n}\right)\pmb{f}(\pmb{x}, t) dA}$$

검사 체적으로의 적용으로 넘어가기 전에 위 식을 조금만 더 음미해 보도록 합시다.

우선 좌변은 어떤 의미를 가질까요? 바로 유체 덩어리가 가지는 단위 부피당 물리량 $\pmb{f}(\pmb{x}, t)$을 유체 덩어리 전체에 대하여 적분 한 값의 시간 변화율입니다.

예를 들어서 $\pmb{f}(\pmb{x}, t)$가 단위 부피당 질량 즉, 밀도 $\rho$라고 한다면, 좌변은 유체 덩어리의 전체 질량의 시간 변화율이 되겠죠. 그런데, 닫힌계는 물질이 드나들지 못하므로 일반적으로 유체 덩어리 질량의 시간 변화율은 0이라고 할 수 있겠죠. 이는 연속체 역학의 중요한 원리 중 하나인 continuity를 유도하는데 사용된답니다.

그렇다면 우변은 어떤 의미를 가질까요? 우변의 첫 번째 항은 단위 부피당 물리량 자체의 시간 변화율 $\partial\pmb{f}(\pmb{x}, t)/\partial t$을 전체에 부피에 대해 적분한 식입니다. 단위 부피당 물리량이 시간에 따라 변한다면 전체 부피의 물리량도 시간에 따라 변하겠죠?

우변의 두 번째 항은 좌표계에 대한 이해가 조금 필요한데요~ 기본적으로 RTT는 지면에 고정된 좌표계에서 서술되는 식입니다. 즉, 시간 $t$, 위치 $\pmb{x}$에서의 단위 부피당 물리량 $\pmb{f}(\pmb{x}, t)$을 정의할 때, 위치 $\pmb{x}$가 바로 지면에 고정된 좌표계에서의 벡터라는 의미입니다. 이것이 어떤 차이를 가져올까요?

일반적으로 전체 물리량의 변화는 각 지점에서의 물리량 변화를 전체 부피로 적분하면 되지 않을까? 라고 생각하기 쉽습니다. 다음과 같이 말이죠!

$$\frac{d}{dt}\left(\int_{\Omega (t)}{\pmb{f}(\pmb{x}, t)dV}\right) = \int_{\Omega (t)}{\frac{\partial \pmb{f}(\pmb{x}, t)}{\partial t} dV}$$

위 식은 틀린 식은 아니지만 하나의 조건이 필요합니다. 바로 전체 부피가 지면에 대해 고정되어 있다는 조건 말이죠! 만약, 그렇지 않다면 다시 말해, 전체 부피가 움직이는 중이라면(실제로 대부분의 유체역학은 움직이는 유체를 다룹니다) 어떻게 될까요?

시간 $t$의 $\pmb{f}(\pmb{x}, t)$는 $\Omega(t)$에 포함될지 몰라도, 시간 $t+\Delta t$의 $\pmb{f}(\pmb{x}, t+\Delta t)$는 $\Omega(t+\Delta t)$에 포함되지 않을지도 모릅니다!

이와 같은 이유로 $\Omega(t)$가 차지하는 부피와 $\Omega(t+\Delta t)$가 차지하는 부피가 공간 상에서 나타내는 차이를 보정해줘야 하겠죠. 그 역할을 바로 위 식의 우변 두 번째 항이 하는 겁니다. 아래의 식을 보시죠.

$$\int_{\partial\Omega (t)}{\left(\pmb{v}\cdot\pmb{n}\right) dA}$$

위 식을 잘 보면 부피의 시간에 대한 변화율 단위를 가지는 것을 알 수 있는데요~ $\pmb{v}$는 부피 표면위의 점에서 유체 요소의 속도를 의미하고, $\pmb{n}dA$ 는 그 점에서의 면 벡터를 의미하므로 둘을 내적한 값이 0보다 크면 $\pmb{v}$가 $\Omega(t)$의 바깥을 향하고, 0보다 작으면 $\pmb{v}$가 $\Omega(t)$의 안쪽을 향하겠죠. 즉, $\partial\Omega(t)$유체 요소가 $\Omega(t)$의 바깥을 향하면 더해주고 안쪽을 향하면 빼겠다는 말입니다.

$\Omega(t)$와 $\Omega(t+\Delta t)$

이해를 돕기 위해 위의 그림을 그려보았는데요, 사각형의 박스가 각각 $\Omega(t)$와 $\Omega(t+\Delta t)$를 의미합니다. 주황색 부분이 바로 우리가 보고자 하는 영역이죠.

이처럼 공간 상에서 변하는 부분을 고려해주면 최종적으로 유체 덩어리의 RTT 식이 완성된답니다~!

# 마치며

이번 시간에는 일반적인 RTT(열린 계)와 유체 한 덩어리에서의 RTT(닫힌 계)를 알아 보았습니다. 다음 시간에는 이를 어떻게 검사 체적에 적용하는지 알아 보도록 하겠습니다~!ㅎㅎ

질문 있으시면 댓글 달아 주시기 바랍니다~! 감사합니다 ㅎㅎ