본문 바로가기

미분방정식21

#4-series solution(1.power series method : 첫 번째) 이미지 출처#어디까지왔니? 안녕하세요 여러분~ 다시 돌아왔습니다. 지금까지 analytic solution을 모두 해결했습니다. 총 16개의 포스팅에 걸친… 험난하고 긴 여정이었죠?ㅋㅋㅋ 다양한 방법으로 ODE를 풀 수 있게 되셨으리라 믿어 의심치 않습니다~오늘부터는, 예고했듯 series solution으로 ODE의 해를 구하는 방법에 대해 포스팅해볼까 합니다. 이전까지 했던 것 처럼 딱 정확한 해가 떨어질 수도 있고, 아닐 수도 있습니다ㅠㅠ 복불복이죠? 슬프고 힘든…….과정이 되겠습니다…흑일단 본격적인 포스팅에 앞서, 이번 포스팅에서는 series(급수)에 대한 가장 기본적인 이야기를 해보고, 몇 가지 간단한 ODE를 함께 풀어보면서 조금씩 예열을 해보도록 해요~ 급수, series 급수가 뭔지, 한.. 2015. 2. 17.
#2-2nd order ODE(2.non-homogeneous : undetermined coefficient) #어디까지 왔니? 참새와함께하는 기초 공학수학 #2.2 - 2nd order ODE(2. non-homogeneous -1)잠깐! 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭! non-homogeneous 2nd order ODE 오랜만입니다! 지난 시간에 알아보았던, 2nd order ODE가 homogeneous 한 경우에 대해 복습을 그동안 열심히 했다고 믿어요! 아닌가요? 이번 포스팅에서는, non-homogeneous 한 경우에 대해 알아보도록 합니다. 기본 염두에 두고 있을 것은, homogeneous 한 해를 구해야한다는 것입니다. 예를 들어, 아래와 같은 2nd order ODE 가 있다고 합시다. 물론 이 방정식을 만족하는 해(라고 부릅시다)를 구해야합니다만, 그 전에 생각해야 하는 것은 저 식의 우변.. 2015. 1. 4.
#2-2nd order ODE(1.homogeneous : Euler-Cauchy) 이미지 출처#어디까지 왔니? 잠깐! 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭! 2. 오일러-코시(Euler-Cauchy) 방정식 저번 포스팅에 이어, 이번시간에 살펴볼 방정식은 Euler-Cauchy 형태의 방정식입니다. 어떻게 생겼냐면… . 이렇게 생긴 미분방정식을 Euler-Cauchy 방정식이라고 하구요, 이걸 푸는데에 있어 착안한 점은 이렇습니다. 만약, 가 최고차항이 차인 다항식이고, 꼴이라면, 저 식에 대입했을 때 세 항이 모두 차로 정리가 될 거니까, 으로 묶을 수 있겠구나! ㅋㅋ 무슨말이냐구요? 저 윗식에 을 넣어보면, 니까, 이렇게 정리가 될겁니다. 근데, 인건 별 로 의미가 없는 자명해니까, 그걸 제외한 해는 여기서 구해질겁니다. 즉, 에 대한 이차 방정식이 나오게 되는 거죠. 이 것을 auxil.. 2014. 12. 25.
#2-2nd order ODE(1.homogeneous : constant coefficient) 잠깐! dydx 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭! 이미지출처 #어디까지 왔니? 잠깐! 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭! 2nd order ODE 2nd order ODE를 풀기 위해서는, 일단 homogeneous 한 ODE 부터 푼 다음 그 방법을 활용해서 non-homogeneous 한 ODE를 풀어나가야 합니다. 사실, 2nd order ODE 중에서도 풀 수 있는 것들이 한정되어있다보니 ㅠㅠㅠ 딱 두가지 특수한 케이스에 대해서만 살펴보게 됩니다. 1st order 와는 조금 다르죠?ㅠㅠ 그래서 포스팅도 꽤 일찍 끝날 예정입니다 이 분야는…ㅠㅠ 크게 우리가 배울 두 가지 케이스는, 1. 상수계수(상계수), constant coefficient 2. 오일러-코시, Euler-Cauchy 입니다. 각각에 .. 2014. 12. 25.
#2-2nd order ODE (0.basic) #어디까지 왔니? 참새와함께하는 기초 공학수학 #7 - 2nd order ODE (0. 기본 지식) 2nd order ODE 를 시작하며…… 네 드디어, 1차 ODE를 끝내고 2차 ODE를 풀게 되었습니다. 1차 ODE 에서 푸는 기술들은 ODE를 푸는데에 있어 정말 기본중의 기본이니까, 나중을 위해서라도 1차 ODE를 탄탄히 다져 놓는 것이 중요할 것 같네요 ㅎㅎㅎ 이번시간에는 2차 ODE를 푸는 데에 있어, 가장 기본이 되는 몇 가지 원론적인 이야기들을 해보려 합니다. 다음시간부터는 실질적인 풀이 방법에 대해 다룰거구요! 시작해 볼까요?ㅋㅋ basic skills 0. 해가 몇 개일까? 일반적으로, 2nd order ODE의 해는 2개 입니다. 심지어 1개밖에 나오지 않으면 억지로 1개를 더 찾기 위.. 2014. 12. 21.
#1-1st order ODE (4.못다한 이야기들) 잠깐! ∂y∂x 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭!! 이미지 출처 #어디까지 왔니? 잠깐! 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭!! # 번외 1. Bernoulli equation 1차 ODE에 대한, 뭐라 분류하기 뭐해서 아직 하지 못했던 이야기들 중 하나인, Bernoulli equation 에 대한 이야기를 간략히 해보려고 합니다. 저번시간에 linear, 선형 ODE에 대한 이야기를 했었어요. 그런데 아래의 식은 말입니다, 분명 형태로만 보면 non-linear 한 모양인데, 풀 수 있는 방정식입니다. 요놈의 이름이 바로 Bernoulli equation이에요. 유체역학을 공부하시는 분이라면 많이 들어봤을 이름이죠? ㅋㅋㅋ 참 여러분야에 걸쳐서 괴롭히네요... 어떻게 푸느냐면 말입니다, 를 준비하고, 양변을.. 2014. 12. 13.
#1-1st order ODE(3.general form) 잠깐! ∂y∂x 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭! # 드!디!어! 드디어, 이번 포스팅에서 1차 ODE에 대한 얘기를 끝낼 수 있을 것 같아 기분이 좋습니다. ㅎㅎㅎㅎ 사실 제가 2차 ODE 이야기까지 끝내고 Bessel, Legendre…같은 이야기를 빨리해야 다른 STEM 회원들이 링크를 걸어줄텐데…하는 바램이….ㅎㅎㅎㅎ^0^ 기말고사 기간이 지난 후에 포스팅에 박차를 가하도록 하겠습니다. 창밖에 눈이 내려서 기분이 좋아서 그런가, 글이 좀 들뜨네요 ^0^ 지금까지 1차 ODE를 푸는 방법을 몇 가지 소개 했습니다. 첫번째, Separating variables 가장 쉬웠던 바로 그것 두번째, Exactness test 편한 인생 그리고 불편한 현실 사실, #3포스팅 까지는 linear ODE라는 것.. 2014. 12. 3.
#1-1st order ODE (2.Exactness - Integrating Factor) 잠깐! dydx 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭! 이미지 출처 : Kreyzig 책 표지 ^0^#어디까지 왔니? 잠깐! 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭! #Review 저번시간에는, 1차 ODE를 푸는 방법중 Exact한 형태로 바로 구할 수 있는 편한 인생…의 경우를 배웠다면(복습!!), 이번 시간에는 고달픈 인생을 살아가는 법을 배운다고 할 수 있겠네요. 식이 Exact 하게 주어지지 않았을 때는, 되게 한다!! 라는 걸 기억하시고 따라오면 되겠습니다. ㅎㅎ # Exactness test 를 했더니…. 저번시간에 예를 든 문제가 기억이 나나요? 에이 그럴리가.. 바로 이 문제였죠. 이 미방은 Exactness test 를 먹이니까 둘다 이 나오는 착한 문제였습니다. 그러면 부호를 살짝 바꿔서 나쁜 문.. 2014. 11. 26.
#1-1st order ODE (2.Exactness) 잠깐! dydx 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭! 이미지 출처 # 어디까지 왔니? # Review 잠깐! 왼쪽 수식이 깨져 보인다면 클릭! # Review 저번시간에는, 1차 ODE를 푸는 방법 중 변수분리(separating variables)와 치환형 변수분리법을 배웠습니 다. 복습하러가기 # Exactness test 란 저번 시간에 이어 이번에는 Exactness test를 이용하는 방법을 써보고자 합니다. 두 가지 변수를 포함하 는 어떤 함수 에 대한 식이기 때문에 식의 형 태만 보면 ODE로 분류하기가 조금 애매한 면이 있다고 생각할 수 있습니다. 하지만 ODE 식을 간단히 변형해 서 나온 식이니까, PDE가 아닌 ODE입니다 ^0^ 이론적인 설명을 먼저 해보겠습니다. 라는 , 아래와 같이 정.. 2014. 11. 15.

티스토리툴바