Vector Calculus 01. Sequence & Series

수열과 급수

안녕하세요 EsJay입니다. 지난 들어가는 글을 쓰고 정신 없이 기말고사 하나를 치고 오니까 어느새 또 한 주가 훌쩍 지났네요. 점점 더 추워지는 요즘, 따뜻한 불씨를 모아 건강히 이겨낼 수 있기를 바랍니다 :) 글을 읽어주시는 여러분은 이제부터 저와 함께 벡터 미적분학에 발을 살짝쿵 담가보자구요.

오늘부터 살펴보게 될 부분은 바로 테일러 정리(Taylor's theorem)로 가기 위한 연결고리들 중 가장 첫 번째 단계인 수열(sequence)과 급수(series)입니다. 아마 다음과 같은 3부 구성으로 여러분들에게 내용을 소개드릴 듯 싶은데요,

수열과 급수 ▶ 멱급수 ▶ 테일러 급수

엄밀하게 말하자면 앞으로 저희가 당분간 공부하게 될 부분은 벡터 미적분학의 영역에 속하지는 않아요. 여기에서 다루게 될 수열은 실수 수열(real sequence), 즉 고등학교에서 수도 없이 배웠던 수열과 똑같거든요.

Definition 1.1. 실수 수열 (Real sequence)

실수의 배열로 이루어진 수열 $(a_n)$ 은 다음과 같은 형태로 나타난다;

다음과 같은 함수  $f(n)$ 에 대하여, $$f　: 　\Bbb{N}　→　\Bbb{R}$$ 수열 $(a_n)$ 의 각 성분 $a_i$ 는 $$a_1 := f(1)　,　a_2 := f(2)　,　a_3:=f(3)　,　\dots$$ 의 꼴로 표시된다.1

즉, 우리는 방향은 없고 크기만 가지고 있는 스칼라에 대해 좀 더 살펴볼 것입니다. 들어가는 글에서도 강조했지만, 이렇게 스칼라에 기반을 둔 개념을 배운 뒤에, 나중에 언젠가 여기에 방향을 얹어주기만 하면 그게 바로 벡터 미적분학의 내용이 될 거에요. 그 때는 벡터 수열, 벡터 급수가 되겠죠? 아직은 먼 이야기이니 잠시 생각을 접어두도록 합시다. 일단은 스칼라에 집중해 봐요. 이를테면 다음과 같은 수열 말이죠.

$$\left( \frac{1}{2^n} \right)　=　\frac{1} {2}　\frac{1} {4}　\frac{1} {8}　\dots$$

이러한 수열은 무한히 오른쪽으로 간다면, 어떤 수에 수렴하게 될까요? 또는 이 수열들을 차례로 더해나가다보면, 그 값은 무한대가 될까요, 아니면 또 어떤 수에 수렴하게 될까요? 이번 아티클에서는 수열의 극한과 수렴, 그리고 수열을 차례로 더해서 만들어지는 급수의 극한과 수렴에 대해 알아봅니다.

결론을 먼저 말씀드리자면, 이러한 급수의 극한과 수렴은 궁극적으로 일반적인 미분가능함수의 다항근사(polynomial approximation)에 사용됩니다. 그리고 이 다항근사는 복잡한 함수를 계산하는데 오랜 시간을 들이기보다는, 이를 근사하여 빠르게 계산하는 게 더 중요한 공학 분야에서 정말 자주 사용되는 이론이죠. 자, 그럼 첫 발을 내디뎌 봅시다.

“ 수렴하는 수열, 수렴하는 급수

위에 예시로 든 수열 $\left( {1}/{2^n} \right)$ 은 0의 극한을 갖게 될 것입니다.

수열이 수렴한다는 말은 어떤 뜻일까요? 임의의 수열 $(a_n)$ 에 대하여, $n → \infty$ 인 경우를 생각해봅시다. 이 때 $(a_n)$ 이 어떤 실수 $l$ 에 한없이 가까워진다면, 즉

$$\lim_{n → \infty} a_n = l$$

이라면, 우리는 수열 $(a_n)$ 을 수렴한다고 합니다. 그리고 $l$ 은 수열의 극한이 되겠죠. 이제 만약 두 수열 $(a_n), (b_n)$ 이 각각 수렴한다면, 두 수열의 합 수열, 곱 수열, 그리고 각 수열의 실수배 수열은 모두 다음과 같이 수렴하게 됩니다(극한 법칙).

$$\lim_{n → \infty} \left(a_n + b_n \right) = \lim_{n → \infty} a_n + \lim_{n → \infty} b_n$$ $$\lim_{n → \infty} \left(a_n \cdot b_n \right) = \lim_{n → \infty} a_n \cdot \lim_{n → \infty} b_n$$ $$\lim_{n → \infty} \left(ta_n \right) = t\lim_{n → \infty} a_n 　(t \in ℝ)$$

급수(series)는 어떤 것일까요? 급수도 결국 수열의 일종입니다. 수열을 처음부터 차례차례로 더해나가는 것이 곧 급수이기 때문이죠. 정확한 정의를 살펴봅시다.

Definition 1.2. 급수 (Series)

주어진 수열 $(a_n)$ 에 대하여, 다음과 같은 새로운 수열을 생각할 수 있다. $$(s_n) = \left( \sum_{i=1}^n a_i \right)$$ 즉, 수열의 $n$ 번째 항 (= $s_n$)이 $(a_n)$의 첫 번째부터 $n$ 번째 항까지의 부분합 ( = $\sum_{i=1}^n a_i$ )으로 만들어지는 위와 같은 수열 $(s_n)$을 수열 $(a_n)$에 대한 급수라고 한다.

앞으로, 수열 $(a_n)$에 대한 급수를 나타내는 기호는 $\sum a_n$ 으로 둔다.

이를테면 $\left( {1}/{2^n} \right)$ 의 급수는

$$\sum \frac{1}{2^n} 　=　\frac{1}{2} 　\frac{3}{4} 　 \frac {7}{8} 　 \dots$$

가 된다는 거죠. 여기서 강조해드릴 것은 급수도 결국 하나의 수열이다는 점입니다. 따라서 급수도 극한, 수렴성을 따질 수 있겠죠? 그런데 급수는 종종 그것이 정확히 어떤 극한으로 수렴하느냐보다, 그냥 그것이 수렴한다는 자체를 중요하게 따질 때도 많습니다. 이 때는 다음과 같은 표기법을 차용하도록 하죠. 앞으로 자주 보게 될 표기입니다.

$\sum a_n$ 이 수렴한다.    ↔    $\sum a_n < \infty$

자연스럽게 $\sum a_n$ 이 발산한다는 것은 $\sum a_n = \infty$ 로 적게 될 것입니다.

위에 예시로 든 급수 $\sum {1}/{2^n}$ 은 1의 극한을 갖게 될 것입니다.

“ 급수의 다섯 가지 수렴 판정법

세상에는 수많은 급수가 있을 것입니다. 아니, 사실 정확하게 말하면 여러분이 그냥 아무 숫자나 골라잡아서 순서대로 배치하면 그게 바로 수열이 될 것이고, 그걸 차례차례로 더하면 급수가 되겠죠. 급수의 종류는 무한합니다. 우리가 관심을 갖는 부분은 그 중에서 수렴하는 급수를 찾아내는 것입니다. 왜 찾아야 할까요? 이유도 모르고 찾는 것보다는 일단 이유를 알고 시작하는게 낫겠죠.

“급수의 수렴성 파악은 향후 다항 근사의 가능 여부를 정하는 데 결정적인 역할을 한다”

네. 앞으로 배우게 될 미분가능함수에 대한 다항 근사는 만능이 아닐 때가 있습니다. 그런 경우에는 근사가 가능한지를 알아내어야 하고, 이 때 급수의 수렴 판정법이 사용됩니다. 아직 명확히 이해할 수 없겠지만, 지금의 공부는 추진력을 얻기 위한 준비 단계임을 염두에 두자구요. (준비 단계지만 여러분이 볼 중간고사 문제에서는 종종 보스급 난이도의 수렴 판정법 문제가 나올 때도… ㅋ)

주로 다루게 될 수렴 판정법은 다음의 다섯 가지입니다.

• 일반항판정법(the n-th term test)2
• 비교판정법(comparison test)
• 멱근판정법(root test)
• 비율판정법(ratio test)
• 적분판정법(integral test)

Theorem 1.1. 일반항판정법 (The n-th term test)

급수 $\sum a_n$ 이 수렴한다면, 즉 $\sum a_n < \infty$이면 $$\lim_{n→\infty} = 0$$ 이다. 다시 말해, 이것의 대우 명제로서 $\lim_{n→\infty} \not= 0$ 이거나 $\lim_{n→\infty}$ 이 발산한다면, $$\sum a_n = \infty$$ 이다.

$s_n := \sum_{k=1}^n a_k$ 라고 하자. 그러면 $s_n - s_{n-1} = a_n$ 이다.

한 편, 급수 $\sum a_n$ 이 $l$ 로 수렴한다고 하면,
$$\lim_{n → \infty} a_n = \lim_{n → \infty} \left(s_n - s_{n-1} \right)$$ $$= \lim_{n → \infty} s_n - \lim_{n → \infty} s_{n-1} = l - l = 0$$ 이다. □

엄밀히 말해, 일반항판정법은 급수의 수렴을 판정할 수 없습니다. 우리가 이것을 판정법이라 부르는 이유는 대우 명제를 통해 상당히 많은 급수(= 급수를 이루는 수열이 0으로 수렴하지 않는 것)가 발산함을 알 수 있고, 그들을 고려 대상에서 추려낼 수 있게 해주기 때문입니다.

Theorem 1.2. 비교판정법 (Comparison test)

$\forall n \in ℕ ,$ 　 $0 \leq a_n \leq b_n$ 이 성립한다면,

$1.　\sum b_n < \infty　→　\sum a_n < \infty$

$2.　\sum a_n = \infty　→　\sum b_n = \infty$

이다.

실수의 완비성(Completeness)을 이용하여 증명 가능하다. □

비교판정법을 이용해서 어떤 급수의 수렴 혹은 발산을 파악하고 싶다면, 이미 수렴이나 발산 여부를 아는 급수를 비교대상으로 삼아야겠죠. 그러한 급수를 만드는 대표적인 수열의 예는 다음과 같습니다.

수렴 : $\left( \frac{1} {n^k} \right)$ ($k > 1$) / 발산 : $\left( \frac{1} {n^k} \right)$ ($k \leq 1$)

Theorem 1.3. 멱근판정법 (Root test)

음이 아닌 실수로 이루어진 수열 $(a_n)$에 대해,　$\lim_{n → \infty} \sqrt [n]{a_n}$ 이 존재하고 그 값이 $r$이라면,

$1.　r < 1　→　\sum a_n < \infty$

$2.　r > 1　→　\sum a_n = \infty$

이다.

1에 대해 증명하면 2는 그 과정이 유사하므로, 1에 대해서만 증명한다.
$\lim_{n → \infty} \sqrt[n]{a_n} = r < 1$ 이라면, 충분히 큰 $\;N\;(\gg 1)$ 에 대해
$$\forall n \geq N \;\; , \;\;\sqrt[n]{a_n} \lt r_0 \lt 1 　↔　a_n \lt {r_0}^n \lt 1$$ 인 상수 $r_0$를 잡을 수 있다. 그러면
$$\sum_{n=N}^{\infty} a_n < \sum_{n=N}^{\infty} {r_0}^n = \frac{{r_0}^n}{1-r_0} \lt \infty$$ 이다(∵ 비교판정법). 한 편, 유한한 개수의 합 $\sum_{n=1}^{N-1} a_n$은 유한한 값이므로 위의 수렴 결과에 더하여도
수렴 판정에는 영향을 미치지 않는다. □

멱근판정법을 통해 수렴을 판정해볼 만한 급수들은 대개 다음과 같은 형태입니다.
$$\sum {(a_n)}^n$$ 이러한 급수에 대한 일반항의 멱근은 $a_n$이며, 따라서 비교적 간단한 극한 형태인 $\lim_{n→\infty} a_n$의 값을 확인해보면 됩니다. 만약 수렴 값이 1이라면 막다른 길입니다. 당장 문제를 때려치셔야 다른 판정법을 찾아보셔야 할 겁니다.

Theorem 1.4. 비율판정법 (Ratio test)

양수로 이루어진 수열 $(a_n)$ 및 그 급수 $\sum a_n$, 그리고 실수 $\;0 \lt r \lt 1\;$에 대하여,

$\text{1-1.}　 \forall n \;,\; a_{n+1}/a_n \leq r　→　\sum a_n \lt \infty$

$\text{1-2.}　 \forall n \;,\; a_{n+1}/a_n \geq 1　→　\sum a_n = \infty$

이다. 혹은 비율에 대해 극한을 취하였을 때 그 극한이 존재한다면

$\text{2-1.}　 \lim_{n→\infty} \frac {a_{n+1}}{a_n} \gt 1　→　\sum a_n = \infty$

$\text{2-2.}　 \lim_{n→\infty} \frac {a_{n+1}}{a_n} \lt 1　→　\sum a_n \lt \infty$

1-1.　$a_n \leq ra_{n-1} \leq r^2 a_{n-2} \leq \cdots \leq r^{n-1}a_1$.

수열 $b_n = a_1 r^{n-1}$을 생각해보면,
$$\sum b_n = \frac {a_1}{1-r} \lt \infty$$ 이고, 따라서 비교판정법에 의해 $\sum a_n$은 수렴한다.

1-2. 　$a_n \geq a_{n-1} \geq a_{n-2} \geq \cdots \geq a_1 \gt 0$

따라서 주어진 수열의 극한 또한 $a_1$보다 크고, 또 그것이 0보다 크므로
일반항판정법에 의해 $\sum a_n$은 발산한다. □

극한을 계산한 비율판정법의 경우, 충분히 큰 $\;n \gg 1\;$ 을 생각하면 똑같이 증명을 진행할 수 있다. □

인접한 두 일반항 사이의 비율 관계가 뚜렷한 급수의 경우, 비율판정법을 고려해볼만 합니다. 예를 들자면 급수의 일반항 내에 다음과 같은 형태가 존재하는 경우이죠.

• 팩토리얼(factorial)이 들어가 있는 경우.　예. $\;\sum \frac{2^{2n}}{(2n)!}\;$ 등
• $n$이 지수의 형태로 들어가 있는 경우.　예. $\;\sum \frac{3^{n} n!}{n^n}\;$ 등
• 점화식으로 형성되는 수열의 경우.　예. 피보나치 수열 등

Theorem 1.5. 적분판정법 (Integral test)

$f\;\;:\;\;[1, \infty)\;\;\;→\;\;\;ℝ$　 이 연속이고, 항상 양이며, 감소함수일 때, 다음의 수열 $(a_n)$을 생각하자.
$$a_n = f(n)$$ 그러면,
$$\sum a_n \lt \infty \;\;\;\;↔\;\;\;\; \int_{1}^{\infty} f(x)dx \;:=\;\lim_{b → \infty} \int_{1}^{b} f(x)dx \lt \infty$$ 이 성립한다.

함수 $f$ 의 조건으로 인해,    $$\forall \;k\;\;\in\;ℕ\;\;,\;\;f(k)\ge f(x) \ge f(k+1)\;\;(k \le x \le k+1 )$$ $$→ f(k)=\int_k^{k+1}f(k)dx \ge \int_k^{k+1}f(x)dx \ge \int_k^{k+1}f(k+1)dx \;= f(k+1)$$ 이 성립하고, 이를   $k = 1 , 2 , 3, \cdots , b$ 에 대해 적용하여 모두 더하면 $$\sum_{k=1}^{b-1} f(k) \ge \int_1^b f(x)dx \ge \sum_{k=1}^{b-1} f(k+1) \;.$$ 이 때 $b$는 임의의 자연수이므로, 이 부등식을 비교판정법에 대입하여 생각하면 정리가 증명된다. □

적분판정법은 급수를 이루는 일반항이 마치 다항함수, 지수함수, 로그함수와 같이 여러분이 미적분학에서 배운 적분을 손쉽게 할 수 있는 함수의 형태로 나타나는 경우 사용하면 편리하겠죠. 또한, 두 조건은 필요충분조건임에 주목을 하여 주세요. 

“ 교대급수와 절대수렴

위에서 본 여러가지 급수의 수렴 판정법의 특징은, 그것을 이루는 일반항이 대개 음수가 아니라는 점입니다. 만약 매 번 부호가 반대로 바뀌는 그런 수열이 있다면 어떨까요? 그 수열로부터 만들어지는 급수를 교대급수라고 칭합니다.

Definition 1.3. 교대급수 (Alternating series)

모든 항의 부호가 동일한 수열 $(a_n)$에 대하여, 다음과 같은 형태로 나타나는 급수를 교대급수라고 한다. $$\sum(-1)^{n+1} a_n \;\;\;{\rm{OR}}\;\;\;\sum (-1)^{n} a_n$$

교대급수의 예는 다음과 같습니다.
$$1-\frac1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + \cdots = \sum \frac {(-1)^{n+1}} {n}$$ $$-1+ 4 - 9 + 16 - \cdots = \sum (-1)^{n} \;n^2$$

이러한 형태로 나타나는 교대급수는 어떻게 수렴을 판별할 수 있을까요? 다음의 두 가지 정리는 교대급수의 수렴에 관한 대표적인 정리들입니다.

Theorem 1.6. 교대급수의 수렴 판정법(Alternating series test for converging)

양의 실수로 이루어진 수열 $(a_n)$에 대해 만들어지는 교대급수 $\;\sum(-1)^{n+1}a_n\;$을 생각하자. 이것이 수렴할 조건은 다음 조건을 모두 만족할 때이다. $$(1)\;\;\forall\;n \;\in\;ℕ\;\;,\;\;a_n \ge a_{n+1}\;\;\;{\rm AND}\;\;\;(2)\;\;\lim_{n → \infty} a_n = 0$$

실수의 완비성을 이용하여 증명 가능하다. □

Theorem 1.7. 절대수렴(Absolute Convergence)

임의의 급수 $\sum a_n$에 대해, 절댓값 $|a_n|$에 대한 급수 $\sum |a_n|$가 수렴(=절대 수렴)한다면, 이는 기존 급수 $\sum a_n$의 수렴을 보장한다.

$\alpha_n := \frac 1 2 (|a_n| + a_n)\;$ , 그리고 $\beta_n := \frac 1 2 (|a_n| - a_n)\;$으로 두자.
그러면 $a_n = \alpha_n - \beta_n\;$ ,  $|a_n| = \alpha_n + \beta_n\;$가 된다.
한 편, 정의에 의해 모든 자연수 $n$에 대해 $0 \le \alpha_n \;,\; \beta_n \le |a_n|$이 성립하므로, 비교판정법에 의해 $$\sum |a_n| \lt \infty \;\;→\;\; \sum \alpha_n \;,\; \sum \beta_n \lt \infty$$ $$∴ \sum a_n = \sum (\alpha_n - \beta_n) = \sum \alpha_n - \sum \beta_n \lt \infty . □$$

• Sample Problem 1.1.
  위의 Theorem 1.7.의 역은 성립하지 않음을 보이시오.

정리의 역이 성립하지 않음을 보일 수 있는 대표적인 반례는 다음의 교대급수이다. $$\sum \frac{(-1)^{n+1}} {n} = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \cdots$$ 이는 Theorem 1.6.에 의해 수렴한다. 그러나 이것의 절대 수렴 급수 $$\sum \left|\frac{(-1)^{n+1}} {n} \right| = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots$$ 즉 조화급수는 적분판정법에서 $$\int_1^{\infty}\frac1 x dx = \left[ \ln x\right]_1^{\infty} → \infty$$ 을 통해 발산함이 확인된다. □

벡터미적분학에 관한 연재지만, 뭔가 벡터미적분학스럽지 않은(...) 첫 번째 아티클을 이렇게 마칩니다. 그렇지만 결국 궁극적으로 테일러 정리와, 이를 통한 다항함수 근사를 배우기 위해 사용되는 중요한 개념들이니, 알차게 이해해보시길 바라요!! 아 참, 공학에서 다항함수 근사를 잘 써먹는 이유를 하나 빠트린 듯 한데, 다항함수야 말로 복잡한 계산 없이 척척 적분이 가능한 가장 간단한 함수이기 때문이기도 합니다. (이 쯤 되면 충분히 왜 이걸 배우는 지 이해했으려나요..?)

이제 벡터미적분학의 첫 디딤돌에 발을 내딛었습니다. 다음 아티클에서는 더욱 공부하는 여러분들의 멘탈을 타격할 강력한 급수, 멱급수(power series)를 살펴보기로 하죠.

1. 앞으로 어떤 수학적인 개념을 수식으로 정의하는 경우에는 등호의 앞에 콜론(:)을 붙인 $:=$ 을 사용하도록 할 거에요. 평소에 생각할 때는 그냥 등호랑 똑같다고 보아도 됩니다. ↩
2. 사실 일반항판정법은 그것의 대우 명제로서 발산 판정법이라 이야기하는게 더 맞을지도 모릅니다. ↩