하나 : 물질전달 개념정리 (3) - 연습문제 풀이 및 실전 준비

# 연습문제 풀이

안녕하세요? 저번 포스팅에서 제가 연습문제 하나를 마지막에 올렸죠? 다 풀어보셨나요? 처음에 문제를 보면 ‘내가 개념을 공부한 게 맞나?’ 하는 생각이 들 수도 있어요. 응용은 또 다른 연습이거든요. 많은 연습을 통해 익히는거에요. 그럼 어떻게 푸는지 같이 살펴 볼게요.

Q. 압력 $1.5 \times 10^5 Pa$ , 온도 300K의 어떤 기체 혼합물이 부피%로 $H_2$ (수소) $=20$ %, $O_2$ (산소) $=40$ %, $H_2O$ (물) $=40$ %를 포함하고 있다. 각 성분의 절대속도가 각각 -10m/s, -2m/s, 12m/s일 때 수소의 몰 플럭스 $N_{H_2}$ 과 몰 평균속도( $v^*$ )에 대한 몰 확산 플럭스( $J$ )를 구하시오. (이동현상 경시대회 1회 8번)

경시대회 문제라고 써져있어서 어려울 거라 지레짐작 했을 수도 있어요. 하지만 그렇게 어려운 문제는 아니니까 지금이라도 도전해 보세요.

 

 

제가 문제를 푸는 과정은 항상 같아요. 문제를 먼저 이해하기 위해 주어진 값들을 정리하고, 사용할 수 있을 것 같은 식들을 적어요. 그 다음에 머리 속에 들어있는 개념을 이용해서 식들을 논리적으로 나열하고 계산기로 답을 내는 거죠. 그래서 이 문제를 풀 때에도 먼저 주어진 온도, 압력, 부피비, 각 성분의 절대속도를 적었죠. 그리고 나서 구하라고 한 몰 확산 플럭스, 몰 플럭스에 대해서 식을 써봤어요. 그런데 몰 평균속도, 몰 확산 플럭스, 몰 플럭스 순으로 풀어야 된다고 생각했어요. 그래서 순서대로 쫘쫘쫙 풀었습니다. 혹시 이해 안되시면 댓글 남겨주세요~!

# 실전 준비

자, 이제 어느 정도 개념 정리는 끝났어요. 남은 건 문제에 나와있는 조건들을 이해하고 이들을 이용해서 식을 세운 후, 미분방정식을 푸는 것이죠! 학부 과정에서 다룰 수 있는 물질전달 문제는 사실 한계가 있어요. 손으로 풀 수 있는 경우가 극히 드물기 때문에 단순한 몇 가지 유형만 다루거든요. 그래서 좀 공부를 하시다 보면 ‘왜 이렇게 문제들이 다 거기서 거기일까?’ 하는 생각이 들 수도 있어요. 이렇다 보니 반드시 머리 속에 잘 담아두어야 할 몇 가지 식과 문제 풀이 방식이 있습니다. 이번 포스팅에서는 1차원 문제 풀이를 위한 식과 화학반응의 유무에 따른 문제유형 및 미분방정식을 풀기 위한 경계조건(Boundary Condition)에 대해 알아볼게요.

1D Binary diffusion

이전 포스팅에서도 설명 드린 적 있지만 다시 한 번 짚고 넘어갈게요. 왜냐하면 그만큼 많이 쓰이고 중요하거든요! 1차원 물질전달이라함은 모든 물질이 한 방향으로만 움직인다는 거에요. 잉크를 물에 떨어트렸는데, 신기하게도 확산이 중력 방향의 일직선으로만 된다! 그럼 1차원 물질전달인거죠. 하지만 실제는 그렇지 않겠죠? 즉, 실생활에서는 그렇게 쉽게 찾아볼 수 있는 경우는 아니지만, 문제를 쉽게 풀기위해서 여러 가지 가정을 통해 1차원 물질전달 문제로 만들 수 있어요. 이런 논의는 직접 문제를 풀어보면서 익히도록 하죠.

1차원 물질전달 문제라면 이제부터 바로 칠판에 적힌 식을 떠올리도록 해요. 식을 세울 때 기초가 되는 것이 Combined molar flux ( $N$ )라고 한 거 기억나시죠? (molar 말고 mass도 가능해요!) 확산 플럭스와 대류 플럭스를 더해서 나타낸 몰 플럭스였죠. 몰 확산 플럭스는 Fick’s 1st law 의 형태로 나타냈고, 몰 대류 플럭스는 $C_A v^*$ 또는 몰 플럭스( $N$ )의 합으로 나타낼 수 있다는 것까지 알고 계셔야 해요. 아직 감은 안 오겠지만, 일단 $N_{Az}$ 를 외우세요. “ $N$ 은 확산과 대류 플럭스를 한 번에 표현한 것이고, 그 식은 칠판에 써 있는 것처럼 된다!”X 10 정말 중요합니다!!!

문제 유형

문제 유형은 크게 화학반응의 유무로 나뉘는데요. 화학반응이 없는 경우에는 바로 다음 시간에 나오는 풀이법을 사용하면 되지만, 화학반응이 있는 경우에는 조금 달라져요. A가 확산이나 대류로도 움직이지만, 반응을 통해서 더 많아지거나 아예 없어질수도 있거든요. 이를 고려해야겠죠? 반응은 크게 두 가지로 나뉘는데요. 바로 homogeneous 반응과 heterogeneous 반응입니다. 용액에서 반응을 진행시킨다면, 전자는 용액 전체에서 물질들의 충돌에 의해 반응이 일어나는 경우이고, 후자는 용액 전체가 아닌 특정 물질(보통 촉매) 표면에서만 반응이 일어나는 경우에요.

따라서 물질전달 문제를 풀 때, homegeneous 반응의 경우에는 식 자체에 반응에 의해 부피 당 사라지거나 생성되는 속도 (반응속도) 항을 추가하고요. heterogeneous 반응에서는 표면에서 반응속도가 곧 그 표면에서의 물질의 플럭스와 같다는 경계조건으로 설정하면 돼요. 아직 경계조건이니, 식이니 무슨 말인지 모를텐데, 이는 차차 문제를 풀다보면 자연스럽게 익힐 수 있을 거니까 너무 걱정하지 마세요.

경계조건(Boundary Condition)의 유형

우리가 세울 식은 미분방정식이 대부분이에요. 미분방정식을 풀면 적분상수가 생기고 이를 정하려면 반드시 경계조건이 필요한 거 아시죠? (아니라면 참새와 함께하는 공학수학 참고해주세요.) 그래서 문제의 조건을 잘 읽고, 이를 경계조건으로 활용하는 능력이 필요해요.

위의 칠판을 보면 여러 가지 B.C 의 유형들이 나와있는데요. 첫 번째는 특정 표면이나 계면(ex. 기체와 액체 계면)에서 몰 분율이 주어진 경우에 쓸 수 있는 조건이에요. 보통 쉬운 문제에서는 대부분 이렇게 경계조건을 설정할 수 있죠. 두 번째는 특정 표면이나 계면에서의 플럭스를 주는 경우에요. 이것도 마찬가지로 몰 분율처럼 그냥 식에 대입해서 적분상수를 구할 수 있어요. 세 번째는 우리가 좀 나중에 다룰 조건인데요. 첵스 초코 라는 시리얼 아시죠? 시리얼에 묻은 초코가 우유에 얼마나 녹아나오나 하는 것을 나타내 주는 플럭스 조건이라고 보시면 돼요. 네 번째는 아까 heterogeneous 반응에서의 경계조건인데요. 표면에서 반응이 일어날 때 반응속도가 몰 플럭스와 같다는 거에요.

# 마무리

이번 시간까지 총 3회에 걸쳐서 학부 과정에서 필요한 물질전달에 기본 개념에 대해 설명해 드렸는데요. 사실 이게 다는 아니에요. 아주 기본이고 공통적으로 물질전달 하면 사용할 수 있는 개념이라 먼저 설명드린 것 뿐이에요. 다른 것들은 문제를 풀어보면서 하나하나 설명드릴게요. 그럼 지금까지 배운 내용 복습 잘 하시고, 다음 포스팅에서는 이 개념으로 같이 문제를 풀면서 물질전달을 좀 익혀보도록 해요!

# 참고문헌

• R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, “Transport Phenomena“, John Wiley & Sons, Inc., 2007, p.543~544
• 이동현상 부문위원회, “이동현상의 응용과 해법”, 한국화학공학회, 2011, p.181