하나 : 물질전달 개념정리 (1) - 확산

 

# 공부 시작!

안녕하세요! 이제 본격적으로 저와 함께 물질전달 공부를 시작해볼까요? 우선 물질전달의 기본 유형 문제들을 살펴보기 전에 물질전달에 관한 개념을 살펴보려고 합니다. 공부를 할 때 가장 중요한 것은 개념인 거 아시죠? 이 부분을 쉽다고 훌쩍 넘겼다가 문제가 안 풀리면 빠가멍청이라고 자책하지말고 반드시 숙지하고 가세요! 혹시 나중에 문제가 풀리지 않으면 이 포스팅을 통해 어떤 부분의 개념이 머리 속에 없는지를 파악해보는 것도 좋습니다.

# 물질전달이란?

칠판에 써놓은 것처럼 물질전달은 매우 다양한 형태로 일어나는데요. 그 중에서 우리는 일단 학부생이기 때문에 “물질의 농도차에 의한 확산과 온도나 압력 기울기에 따라 발생하는 대류에 의해서 물질이 이동하는 것이 물질전달이다.”라고 알아두시면 되겠습니다.

확산

 

 
먼저 확산에 대해 알아볼게요. 확산은 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 물질이 이동하는 것입니다. 위의 예에서 silica는 다공성의 고체이고, silica에 난 구멍을 통해서 Helium(A)이 A의 농도가 높은 곳( $y=0, w=w_{AO}$ )에서 낮은 곳( $y=$ silica 두께, $w=0$ )으로 천천히 이동하게 됩니다. (참고로 위의 그림에서 $w_A$ 는 A 물질의 질량분율로써 $w_A = \frac{m_A}{m_A+m_B}$ 로 정의됩니다.) 이를 그래프로 나타내면 그림의 오른쪽과 같은 모양이 됩니다. 시간이 흐름에 따라서 Helium(A)이 silica 판 내부로 확산되어 가면서 silica 내부에서 A의 농도가 점점 커짐을 확인할 수 있습니다. 나중에 왜 이런 곡선이 나오는 지 직접 수식을 전개해서 풀어볼 기회가 있으니 너무 미리 궁금해 하지 마세요:)

보통 확산을 다룰 때 우리가 관심있는 것은 바로 확산 속도인데요. 확산 속도를 어떻게 정의하는지 잘 따라와 주세요! 

우선 위의 silica-Helium 계에서 처럼 농도를 질량분율로 나타낸 경우에는 질량유속과 질량 플럭스를 사용합니다. 질량유속은 속력이 아닌 속도이기 때문에 방향을 포함하는 벡터고요. 예시로 든 시스템에서는 A 물질이 y방향으로 초당 이동하는 질량, $w_{Ay}$ (kg/s)로 질량유속을 표현할 수 있습니다. 또한 플럭스의 개념은 항상 단위 시간, 단위 면적 당 무엇이 얼마나 흘렀는가를 뜻하기 때문에 질량 플럭스는 질량유속을 확산 방향에 수직인 단면적으로 나누어 주면 되겠죠?

자, 다음으로 물질전달 다 까먹어도 이것만은 대부분 기억한다는 Fick’s 1st law입니다. 확산 법칙이라고도 하는데요. 말로 설명하면, 질량 플럭스가 질량분율의 기울기에 비례한다는 것입니다. 이때 비례상수( $D_{AB}$ )를 확산계수라고 합니다. 즉, 농도차가 크면 더 빨리 물질이 확산한다는 거죠! 앞에 (-)부호가 붙은 이유는 y방향으로 갈수록 질량분율( $w_A$ )이 줄어들어 질량분율 기울기가 (-)이기 때문입니다.(즉, y방향으로의 질량플럭스를 (+)값으로 생각하자는 거에요.)
참고로, $\rho$ 는 silica-Helium 계의 밀도이고요. 학부생 수준에서는 대부분 전체 계의 밀도가 주어지거나 고정된 상수이기 때문에 걱정할 필요 없어요.

 

 
주의해야할 것은 $j_{Ay}$ 가 계의 속도 $v_y$ 에 대한 상대적인 질량 플럭스라는 것입니다. 수식으로 표현하면 다음과 같습니다. $$j_{Ay} = \rho w_A (v_{Ay}-v_y)$$ 이게 무슨 말이냐!! 첫 번째 예를 보시죠. 압력이나 온도에 의한 기울기 때문에 대류 유동이 있는 물질 A와 B로 이루어진 계를 생각해 봅시다. 만약 A와 B가 완전히 잘 섞여 있다면, 확산은 일어나지 않을 것입니다. 왜?! A, B 모두 어느 곳에서나 농도가 같기 때문이죠. 하지만 만약 농도가 다르다면, 농도 기울기에 의해서 확산이 일어나게 됩니다. 이때의 질량플럭스가 $j_{Ay}$ 인 것입니다. 참고로 계의 속도는 칠판에 나타낸 것과 같은 식( $v_y =$ 어쩌구 저쩌구)로 나타납니다. 질량 평균 속도인 것 아시겠죠?

만약 제가 처음에 들었던 silica-Helium 계에서 $v_y$ 를 구해보면 어떻게 될까요? 두 번째 예시 그림에서 볼 수 있는 것처럼, $v_{By}=0$ 이고, 상대적으로 고체인 silica의 질량이 기체인 Helium보다 크다는 것은 쉽게 이해할 수 있습니다. 따라서 계의 속도는 거의 0에 가까우며 y방향의 유동은 물질 A의 확산에 의해서만 발생한다는 것을 알 수 있습니다.

 

 
자, 이제 어느정도 확산에 대한 개념을 익히셨죠? 그럼 본격적으로 확산법칙을 가지고 계를 기술하는 방법에 대해 공부해 볼까요? 먼저 가장 쉬운 두 종류 물질만 확산하는 계(Binary system)에 대해 기술해 봅시다. Binary system은 쉽게 생각하면 칠판 오른쪽 위에 있는 그림처럼 A와 B가 서로 반대방향으로 확산하는 계라고 할 수 있습니다. ①번 식은 앞에서 배운 질량플럭스인데요. 이해를 돕자면, 계의 속도 $v_y$ 에 대해서 A가 y방향으로 움직이는 속도는 $v_{Ay}-v_y$ 가 되고, 여기에 질량분율( $w_A$ )과 계의 밀도 $\rho$ 를 곱하면 $kg/m^3$ X $m/s = kg/(m^2 s)$ 의 단위를 갖는 질량플럭스( $j_{Ay}$ )가 되는 것입니다. 마찬가지로 ②번 식은 ①번 식에서 문자 A대신 B로 바꿔주기만 하면 됩니다. 그리고 이 두 식을 더하면, ③번 식과 같이 0이 될 수 있음을 알 수 있는데요. 이는 Binary system에서 각 물질의 질량플럭스는 있어도 전체 질량플럭스는 결국 0임을 나타냅니다.

이제까지 y방향으로의 1차원으로의 확산만 다루었는데요. 많은 경우에는 3차원으로 확산이 일어나겠죠? 그럼 조금 더 어려운 3차원에서의 확산을 다뤄봅시다. 겁먹지는 마세요. 거의 똑같으니까요:) 3차원에서의 계의 속도는 ④번 식과 같이 표현됩니다. 3차원에서의 방향을 갖는 속도를 표현하기 위해 $v_A, v_B$ 위에 화살표를 써서 벡터로 표현한 것이죠. 그리고 Fick’s 1st law를 3차원 직교좌표계(x,y,z)로 나타내면 ⑤번 식과 같이 됩니다. 여기서 $\nabla$ (nabla)를 이용하여 3차원에서의 질량분율 기울기(gradient)를 나타낸다는 것만 빼면 1차원에서와 모양이 아주 비슷하죠? 그리고 B 물질에 대해서도 ⑥번과 같이 쓸 수 있고, $w_A+w_B=1$ 식을 이용해서 $\nabla w_B = -\nabla w_A$ 로 바꿨습니다. 여기서 한 가지 의문은 확산계수인 D의 아래첨자가 AB와 BA로 다르다는 것인데요. 이 차이로 인해 A-B 쌍은 두 개의 확산계수를 가질까요? 

 

 
3차원에서의 질량플럭스를 계와의 상대속도의 개념으로 생각해보면 ⑦과 같겠죠?(계의 속도 : ④번 식을 대입하여 정리한 것입니다.) 마찬가지로 B 물질에 대해서 질량플럭스를 쓰면 ⑧과 같고, $$\overrightarrow{j_B} = -\overrightarrow{j_A}$$ 라는 결과를 얻을 수 있습니다. 그리고 각각 ⑤와 ⑥번 식을 대입하여 정리하면 $D_{AB} = D_{BA}$ 의 결과를 얻을 수 있습니다. 이게 무엇을 뜻하는가?! 두둥! 바로 A와 B 두 물질만 확산하는 Binary system에서는 하나의 확산계수만을 갖는다는 것입니다. 즉, 확산의 주체와 매질이 바뀌어도 확산계수는 같고, A, B 두 물질이 상호확산하는 경우에도 하나의 확산계수를 갖는다는 것이죠.

# 다음 주에 계속!

오늘은 물질전달 중 확산에 대해 알아봤습니다. 하지만 확산만 배운 것은 물질전달을 반도 모른다고 할 수 있습니다. 문제를 못 풀거든요;; 그럼 다음 시간에 계속해서 대류 유동을 기술해보고 연습문제를 풀어보도록 하겠습니다. 복습을 철저히 하시길 바랍니다. 그럼 다음 포스팅에서 봅시다!

# 참고문헌

R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, “Transport Phenomena“, John Wiley & Sons, Inc., 2007, p.514~516