둘 : Diffusion through a stagnant gas film

 

# 실전 시작!

드디어! 오늘부터 실전 문제를 풀어볼텐데요. 이전까지의 포스팅을 잘 따라오셨다면 큰 무리없이 이해할 수 있을 거에요. 그럼 물질전달의 가장 기초가 되는 문제부터 살펴보도록 하겠습니다!

문제 이해

 문제를 잘 풀려면 먼저 주어진 상황이 무엇을 의미하고 있는지를 잘 파악해야 겠죠? 그럼 하나하나 뜯어 봅시다. 위의 칠판을 보면, 문제상황을 나타내주는 그림과 제시된 조건들이 보입니다. 먼저 전반적인 시스템 설명에 대해 살펴볼까요? 그림을 통해 액체인 A가 기화해서 관을 따라서 기체 B가 흐르고 있는 공간으로 흘러가는 시스템이라는 것을 알 수 있겠네요. 그리고 steady state 조건으로부터 농도, 속도 등 여러 변수들의 값이 시간에 따라 변하지 않는다는 것을 알 수 있죠. 그리고 B는 액체 A에 거의 녹지 않을 뿐더러 충분히 위에서 공급되기 때문에 정지된 상태로 존재하며, A만이 z축 방향으로 흘러간다는 것을 알 수 있습니다.

또한 주어진 값들에 대해 살펴보면 $z=z_1$ 로 액체의 높이가 일정하다고 주어져 있고, 이 기체-액체 경계면에서 A의 몰분율 $x_A = x_{A1}$ 입니다. 또한 $z=z_2$ 에서 B가 끊임없이 천천히 흐르기 때문에 $x_A = x_{A2}$ 로 일정하다고 합니다.

사용할 수 있는 식 나열

그럼 문제를 이해했으니, 이 문제에 적용할 수 있는 식들을 나열해 볼까요?

 
위의 칠판에 나타낸 것처럼, A의 물질전달(대류를 무시하라는 조건이 없으면, 대류까지 고려)이 일어나고 있는 상황이기 때문에 Combined Molar flux( $N$ )를 사용할 수 있어요. 문제의 경우, 몰분율로 값들이 주어졌기 때문에 Mass flux보다는 Molar flux를 사용하는 것이 편하겠죠?
그리고 앞에서 설명하지는 않았지만 Mass balance equation을 세울 수 있어요. 이건 일종의 질량보존의 법칙인데요. 미소 부피 안으로 들어오고 나가고, 그 부피 안에서 화학반응에 의해 생성되고 소멸되는 것을 다 고려해주면, 그 부피 내에 존재하는 물질의 양과 같다는 거에요.

$$input-output+generation=accumulation$$
화학공학을 전공하신다면, 많이 들어보셨을 거에요.

 

식 세우기

써 먹을 식도 있겠다, 이제 문제의 조건에 맞추기만 하면 되겠죠? 
 
먼저 이 문제에서는 A가 한 방향( $z$ )으로만 이동하기 때문에 굳이 벡터를 사용하지 않아도 됩니다. 따라서 Combined Molar Flux를 1차원으로 표현할 수 있겠죠? (참고로, $N_{Az}$ 는 A물질의 z방향으로의 Combined Molar flux를 의미합니다.) 또한 문제의 조건으로부터 B의 확산은 없기 때문에 $N_{Bz}=0$ 이 되어 eqn 1이 나옵니다.
두 번째로, Mass balance를 세워봐야겠죠? (그림은 사용할 수 있는 식 을 써 놓은 칠판을 참고하면 될거에요.)

$$input-output+generation=accumulation$$
위 식에서 각 term의 단위를 $mol/s$ 로 맞춰준다고 생각하면 편해요. 예를 들어, Combined Molar flux는 $mol/(m^2 s)$ 의 단위를 가지기 때문에 tube의 단면적 S를 곱하면 됩니다. 기체는 단순히 확산만 할 뿐 화학반응을 하지 않기 때문에 generation 항이 0이 되는 거 아시겠죠? 그리고 accumulation 항을 수식으로 나타내자면, 미소부피( $m^3$ ) $S*\Delta z$ 에 tube 내부의 전체 기체(A와 B) 농도( $mol/m^3$ ) C 그리고 시간에 따른 A의 몰분율 변화( $s^{-1}$ )를 곱으로 나타낼 수 있습니다.(곱해보세요. 단위가 mol/s 가 나올 거에요.) 하지만 이 문제에서는 굳이 accumulation 항을 나타낼 필요가 없었죠. 왜냐하면 steady state 니까요! $x_A$ 의 시간에 따른 변화율이 0이기 때문에( $dx_A/dt=0$ ) 우변이 0이 거든요.

 

 
그래서 Mass balance equation을 정리하면, eqn 2가 됩니다. 그리고 eqn 1을 eqn 2에 대입하면, 칠판에 나온 것 과 같은 2차 미분방정식(Secondary ODE)이 되는 것(이 식을 eqn 3라 할게요.)을 알 수 있습니다. 이 경우 한 변수( $z$ )에 대해 2차이기 때문에 경계조건이 2개가 필요하겠죠? 문제에서 주어진 조건을 그대로 사용하면 됩니다. 자, 이렇게 식을 다 세웠어요. 다 풀었어요. 이제.

미분방정식 풀이

사실 다 풀진 않았죠. 식 푸는 것도 문제 풀이의 반은 차지하니까요. 다행히도 이번 미분방정식은 그리 어려운 편은 아니에요. 상 미분 방정식(ODE)이니까요. 
 
칠판에 쓰여진 것처럼 적분을 두 번하고, 경계조건으로 적분 상수를 찾아주기만 하면 됩니다. 뭐 약간의 노가다라고 느껴지시겠지만, 문제를 맞출 수 있다면 이 정도 수고는 해줘야죠.

식 정리 및 추가 문제

위에서 얻은 결과 식은 $1-x_A$ 와 같은 꼴로 이루어져 있어서 식을 직관적으로 해석하기가 어려운데요. 이는 Binary system이라는 특징을 이용해서 더 간단히 나타낼 수 있습니다. 
 
tube 내부의 기체는 두 성분 A, B로만 이루어져 있기 때문에 Binary system이고, 칠판에 쓴 것처럼 몰분율 관계식을 이용해서 A 물질이 아니라 B에 대해서 표현할 수 있죠. 그렇게 얻은 eqn 5를 그래프로 나타내보면 위의 칠판에 쓴 것과 같아요. 지수의 밑인 $x_{B2}/x_{B1}$ 이 1보다 크기 때문에 지수가 양수로 커질수록 식의 좌변에 $x_B$ 가 커지는데요. 실제로 그래프로 그려봐도 $z$ 값이 커질수록(지수가 양수로 커질수록) B의 몰분율이 커짐을 알 수 있습니다. 이는 tube 밖에는 B기체가 대부분이라는 것으로부터 직관적으로 유추할 수 있는 사실과 일치합니다.

그렇다면, 이 시스템에서 액체 A가 기체-액체 계면에서 증발하는 속도는 어떻게 될까요? (flux의 단위로) 여기서 “뙇”하고 생각해야 하는 사실은 “flux 단위로 구하라고 했으니까, 증발속도는 곧 Combined Molar flux( $N_{Az}$ )구나. 그리고 기체-액체 계면에서니까 $z=z_1$ 일 때 값을 구해야 하겠네.” 입니다. 이것만 안다면(사실 이걸 배우지 않고 유추할 수 있는 사람은 이 포스팅이 필요없겠지만;;), 이미 답은 구한 것이나 마찬가지겠죠. 식에서 $x_A = 1-x_B$ 이고 이를 미분하면 $dx_A = -dx_B$ 의 관계가 있는 것을 이용했습니다.

 
따라서 위의 칠판에 나타낸 것처럼, $z=z_1$ 에서의 $dx_B/dz$ 를 구해서 $N_{Az}$ 를 구하면 됩니다.

# 마무리

오늘은 실전 첫 문제를 풀어보았는데요. 사실 이 문제는 물질전달을 맛볼 수 있는 상당히 기초적인 문제입니다. 이 문제가 응용이 되어 더 어려운 문제로 둔갑할 수도 있으니, 이 유형을 꼭꼭 마스터 하시길 바랍니다. 그럼 다음 포스팅에서 응용 버전을 풀어보도록 하겠습니다. 복습 철저히 하시길 바랍니다!

# 참고문헌

• R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, “Transport Phenomena“, John Wiley & Sons, Inc., 2007, p.545~548