하나 : 물질전달 개념정리 (2) - 대류

# 저번 시간에 뭐 했지?

안녕하세요? 이번 주도 다행히 포스팅을 하게 되었네요:) 오늘 대류에 대해 본격적으로 공부를 시작하기 전에 잠깐 확산에 대해 정리하고 갈게요. 저번 시간에

• Fick’s 1st law : 질량플럭스가 질량분율의 기울기에 비례
• 질량플럭스 : 계의 속도( $\overrightarrow{v} = w_A\overrightarrow{v_A} + w_B\overrightarrow{v_B}$ )에 대한 상대적인 속도

라는 것을 배웠죠? 다들 기억하신다고 믿고!!(아니라면 이전 포스팅을 참고!) 넘어가겠습니다.

# 대류(Convection)

대류는 크게 두 가지로 나눌 수 있는데요. 온도 차에 의해 차가운 물질이 가라앉고, 뜨거운 물질이 상승하는 자연대류(Natural Convection)와 압력 차를 주어 고압에서 저압의 방향으로 물질이 이동하는 강제대류(Forced Convection)가 있습니다. 물질전달에서는 이 대류에 의한 속도를 계에 존재하는 모든 물질을 대상으로 평균한 계의 속도 $\overrightarrow{v}$ 혹은 $\overrightarrow{v}^*$ 로 표기합니다.

질량 평균속도(Mass Averaged Velocity), 몰 평균속도(Molar Averaged Velocity)

$\overrightarrow{v}$ 는 질량을 기준으로 평균한 속도라는 것을 지난 시간에 배웠는데, $\overrightarrow{v}^*$ 는 뭘까요? 

물질전달 계를 기술할 때 편의에 따라서 질량을 기준으로 기술하기도 하고, 몰 수를 기준으로 기술하기도 합니다. 나중에 다루겠지만, 위와 같이 연속 방정식(continuity equation)과 운동 방정식(Navier-Stokes equation)을 같이 푸는 경우, 두 식에 공통으로 들어가 있는 속도 $v$ 가 질량 평균 속도이기 때문에 연속 방정식에 있는 모든 플럭스( $j$ )를 질량기준으로 맞춰주어야 해요.

반면에 물질전달과 함께 화학반응이 일어나는 계에서는 몰 수로 계산을 해야 편리합니다. 화학반응은 질량이 아니라 몰 단위로 일어나니까요. 그래서 질량플럭스( $j$ ) 대신에 몰 플럭스( $J$ )로 바꾸어 계산해야 하죠. 이때 $c$ 는 계 전체의 몰농도를 의미하고요. 만약 $c_A$ 와 같이 아래첨자가 있으면 물질 A의 몰농도를 의미합니다. 당연히 binary system에서는 $c=c_A+c_B$ 가 성립하겠죠? 또한 질량분율 대신에 몰분율을 쓰게 되는데요. 계에 존재하는 모든 물질의 몰 수에 대한 A성분의 몰 수 비가 $x_A$ 입니다. 질량 기준이든, 몰 기준이든 Fick’s 1st law의 기본 개념(물질의 농도 혹은 양의 차이가 클수록 확산이 빠르다)은 변하지 않는 거 아시겠죠?

 
위의 칠판을 보면 이미 익숙한(그래야 하는!) 질량 평균속도와 아직은 낯선 몰 평균속도가 어떻게 정의되는지 알 수 있습니다. 질량 평균속도는 각 물질의 절대속도에 그 물질의 질량분율을 곱해서 더한 것이었고요. 몰 평균속도는 각 물질의 절대속도에 그 물질의 몰 분율을 곱해서 더한 것입니다. 아시겠죠? (Tip. N개의 성분에 대해 $\Sigma$ 기호를 이용해서 덧셈한 식은 성분이 2개일 경우로 생각하면 이해하기 쉬워요.)

질량 플럭스(Mass Flux)와 몰 플럭스(Molar Flux)

분명 대류를 시작하려고 했지만, 대류 유동의 두 가지 속도에 대해 얘기하다보니 확산 플럭스를 얘기하지 않을 수가 없네요. 그래서 다시 잠깐 보고 갈게요.

저번 포스팅에서 질량을 기준으로 한 질량플럭스와 Fick’s 1st law에 대해 공부했어요. 그리고 A의 확산 속도를 계의 질량 평균속도에 대해서 상대적인 속도로 정의했던 거 기억하시나요? 바로 칠판의 맨 첫 번째 식이죠. 그런데 질량 평균속도 말고 몰 평균속도를 기준으로 확산을 표현할 수도 있어요. 두 번째 식처럼요. 첫 번째 식과 다른 점은 기준속도가 다른 것( $\overrightarrow{v} \rightarrow \overrightarrow{v}^*$ )과 “*”가 플럭스에 윗첨자로 붙는다는 것이겠죠? 이 경우는 학부과정에서는 자주 쓰이지는 않지만 개념적으로 이런 것도 있다는 것을 알아두시면 좋아요. “유비무환”이라 잖아요:)

또한 몰 플럭스는 질량 플럭스와 매우 비슷하게 정의되는데요. 단지 질량에 대한 문자들을 몰에 대한 문자로 바꿔주면 되요. 마찬가지로 질량 평균속도가 기준인지, 몰 평균속도가 기준인지에 따라서 몰 플럭스에 윗첨자 유무가 결정되는 거 아시겠죠? 개념상 구분만 할 수 있으면 될 것 같아요. 학부과정에서 문제를 풀 때 주로 사용하는 플럭스의 개념은 첫 번째와 네 번째라는 것!!! 반드시 기억하시길 바랍니다.

대류 플럭스(Convective Mass and Molar Flux)

드디어 대류로 넘어가게 되었네요! 자, 저희는 지금까지 물질전달 계를 기술하기 위해서 확산에 의한 플럭스(Molecular Flux라고도 해요.)를 공부했는데요. 이번에는 남은 반쪽인 대류에 의한 플럭스에 대해 공부해 보겠습니다.

대류에 의한 플럭스도 확산 플럭스와 같이 질량 플럭스와 몰 플럭스가 있는데요. 차근차근히 살펴보도록 하겠습니다. 먼저 대류 질량 플럭스 벡터는 칠판에 쓴 식과 같이 정의가 됩니다. 3차원 벡터로 해서 이해가 쉽지 않죠? 그럼 1차원으로 낮춰서 이해를 하고 넘어갈게요. 예시로 그린 그림은 대류 유동이 $x$ 방향으로만 있는 1차원 계라는 것을 알 수 있습니다. 그럼 유동에 수직인 단면을 상상해 볼까요? 아마 그림과 같이 $y$ 와 $z$ 축을 포함하는 평면에 놓여 있겠죠? 1 $m^2$ 인 이 단면을 통과하는 $x$ 방향의 유동은 단위 시간인 1초동안 $v_x \times 1 sec$ 만큼 움직이는데요. 따라서 1초동안 단면을 통과하는 질량은 (밀도( $\rho_{\alpha}$ )가 일정하다면) $\rho_{\alpha} \times v_x \times 1 sec \times 1m^2$ 가 됩니다. 즉, $x$ 축 방향의 대류 질량 플럭스는 질량을 단위시간, 단위면적으로 나눈 $\rho_{\alpha} \times v_x$ 가 되겠죠?

대류 몰 플럭스 벡터도 아주 비슷하죠. 단지 질량 기준을 몰 기준으로만 바꾼 거에요. 아마 이해하는데 큰 어려움이 없을 거에요. 넘어가겠습니다.

Combined Mass Flux, Combined Molar Flux

제목에 영어 밖에 없는 것은 다름이 아니라 제가 감히 오역을 할까봐 무서워서 안했기 때문입니다. 괜히 어렵게 느끼지 마세요. 이제까지 배운 것을 단순히 합치는 단계니까요!

유체역학이나 열전달을 들으신 분들은 아시겠지만, 문제를 푸는 과정에서 지배방정식(Governing equation)을 잘 세우는 것이 반 이상의 비중을 차지합니다. 유체역학에서는 운동량을 이용해서 운동량 보존식을 세우고, 열전달에서는 열 플럭스를 이용해서 에너지 보존식을 세우는데요. 물질전달에서는 이 Combined Mass or Molar Flux를 이용해서 질량 보존식을 세웁니다.

Combined Mass Flux와 Combined Molar Flux의 정의는 아주 간단합니다. Combined(결합된?!)이라는 단어에 걸맞게 단순히 확산에 의한 플럭스와 대류에 의한 플럭스를 더한 것입니다.(식 ①, ④) 여기서 간단한 조작을 통하여(식 ③, ⑥ 이용) 우리가 자주 사용할 모양(식 ②, ④)로 바꿔줍니다. 참고로 식 ③, ⑥은 계 안에 있는 모든 물질에 대해서 확산과 대류의 플럭스(벡터죠!)를 다 합하면 평균 질량 혹은 몰 플럭스가 된다는 것을 의미합니다.(이해가 안되면 물질의 개수를 줄여서 생각해 보세요!) 그리고 중간에 생략된 과정은 다음의 관계를 상기시킨다면 금방 알 수 있을 거에요.
$$\rho_{\alpha}/\rho = w_{\alpha}$$
$$c_{\alpha}/c = x_{\alpha}$$

이해를 돕기 위해서 A, B 두 물질만 존재하는 binary system을 살펴봅시다.

Combined Mass Flux, Molar Flux의 정의에 따라서 식을 전개하면 ⑦, ⑧과 같습니다. 3차원 벡터로 썼기 때문에 Fick’s 1st law에 $\nabla w_A$ , $\nabla x_A$ 가 있는 거 아시겠죠? 만약 이해가 안되면 이전 포스팅을 봐주세요. 이 두 식은 아주아주아주 중요해요! 이제 곧 문제를 풀다 보면 금방 알 수 있을 텐데요. 사실 이 두 식의 정의만 제대로 알고 문제에 적용하면 학부과정에서는 충분하거든요.

연습문제

개념을 글로만 배우면 안되겠죠? 머리도 돌릴겸 제대로 이해하고 있는지 테스트 해 보세요. 답은 다음 포스팅에서 알려드릴게요~!

Q. 압력 $1.5 \times 10^5 Pa$ , 온도 300K의 어떤 기체 혼합물이 부피%로 $H_2$ (수소) $=20$ %, $O_2$ (산소) $=40$ %, $H_2O$ (물) $=40$ %를 포함하고 있다. 각 성분의 절대속도가 각각 -10m/s, -2m/s, 12m/s일 때 수소의 몰 플럭스 $N_{H_2}$ 과 몰 평균속도( $v^*$ )에 대한 몰 확산 플럭스( $J$ )를 구하시오. (이동현상 경시대회 1회 8번)

# 참고문헌

• R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, “Transport Phenomena“, John Wiley & Sons, Inc., 2007, p.533~537
• 이동현상 부문위원회, “이동현상의 응용과 해법”, 한국화학공학회, 2011, p.181