정기연재 - 수학 & 통계학/[극한] 극한까지 가버린 극한4 극한까지 가버린 극한 4 - 미분가능성 Post-4 미분가능성과 로피탈의 정리 안녕하세요! 오늘은 이번 연재의 마지막 파트인 미분가능성의 정의와 몇 가지 예시를 소개하고, 고등학교 수학에서 증명하지 않고 넘어가는 정리의 대표주자인 로피탈의 정리-L’Hopital’s Rule를 증명해보는 것이 목표입니다. 물론, 로피탈의 정리를 증명하기 위해서는 다른 정리들이 여럿 필요한데요. 대부분 고등학교 수학에서 배우셨을 정리들이기 때문에, 은근슬쩍 사용하면서 증명해보고자 합니다. 그럼 바로 본론으로 들어가보도록 하겠습니다! 미분가능성의 정의 우선, 어떤 함수가 미분가능하다는 것과 함수의 연속성은 미묘하게 다릅니다. 미분가능성은 정의역 안의 한 점 x0x_0x0에서 정의되는 국소적 성질인데요. 어느 한 점에서 함수가 미분가능하면, 함수는 그 점에서 연속.. 2021. 6. 26. 극한까지 가버린 극한 3 - 함수의 극한과 연속 Post 3 - 함수의 극한과 연속 안녕하세요! 이번 연재의 세 번째 파트인 함수의 극한과 연속 파트입니다. 첫 포스트에서는 수열과 함수를 구분하지 않고 예시들을 살펴보았고, 지난 포스트에서는 수열을 정의하고, 수열의 극한의 정의에 대해 살펴보았습니다. 이번 포스트에서는 함수의 연속을 정의하고, 몇 가지 예제와 함께 함수의 연속성이 사칙연산에 의해 보존된다는 정리와 함께 포스트를 마치려고 합니다 (지난 포스트에서 나온 극한의 사칙연산과 아주 흡사합니다). 함수의 극한을 수열과 구분한 까닭은, 함수의 극한을 논함에 있어서는 수열의 극한과 달리 한 가지 추가적인 절차가 필요하기 때문입니다. 여기서 다시 한번 수열과 극한의 정의를 상키시켜 봅시다. 수열(sequence)는 정의역이 자연수인 임의의 함수를 일컫.. 2021. 6. 26. 극한까지 가버린 극한 2 - 수열의 극한 Post 2 - 수열의 극한 안녕하세요! 이번 연재의 두 번째 파트인 수열의 극한 파트입니다. 지난 글에서는 수열과 함수를 구분하지 않고 다양한 종류의 예시를 들어서 우리가 극한을 받아들이는 것이 얼마나 불완전(?)한 것인지 느낌을 드리고자 하였습니다. 얼마나 성공적이었는지는 모르겠습니다 ㅎㅎ. 이번 글에서는 그렇다면 도대체 어떻게 극한을 정의하면 엄밀하다고 하는 것인지, 그 제대로 된 정의를 소개하고자 합니다. 그리고 극한을 정의함에 있어 우선 수열에 대한 극한이 잘 정의되어야, 함수에 대한 극한 등 또한 논할 수 있습니다! 이번 포스팅은 크게 세 파트로 구성되어 있을텐데요. 우선 수열이 수렴하는 경우의 정의, 그리고 그것을 부정함으로써 수열이 발산한다는 것의 정의가 무엇인지 살펴보고 수열의 극한의 정.. 2021. 6. 26. 극한까지 가버린 극한 1 - Introduction Post 1 -Introduction 안녕하세요! 극한의 엄밀한 정의와 그 응용에 대한 소개를 맡은 공우 12기 자유전공학부 Jubby입니다. 수리과학과 컴퓨터공학을 전공하고 있습니다. 수학에 관심이 있거나, 수학 1과 같은 과목에서 미적분학 교재를 사용하여 공부하신 분들은 그 유명한 ‘입실론-델타(ϵ−δ\epsilon-\deltaϵ−δ) 논법’ 혹은 ‘입실론-N(ϵ−N\epsilon-Nϵ−N) 게임’에 대해 접하셨을 수도 있는데요. 그러한 경험이 없거나, 해당 내용을 곱씹어 볼 기회가 없었던 분들한테는, 고등학교 시절 배웠던 극한의 개념이 불완전하고 얼렁뚱땅(?) 넘어간다는 느낌을 받으셨을 수도 있겠다고 생각합니다. (물론 그냥 자연스러운 개념이라고 받아들이셨을 수도 있습니다. 제가 그랬거든요 ㅎㅎ) .. 2021. 6. 26. 이전 1 다음
