극한까지 가버린 극한 4 - 미분가능성

Post-4 미분가능성과 로피탈의 정리

안녕하세요! 오늘은 이번 연재의 마지막 파트인 미분가능성의 정의와 몇 가지 예시를 소개하고, 고등학교 수학에서 증명하지 않고 넘어가는 정리의 대표주자인 로피탈의 정리-L’Hopital’s Rule를 증명해보는 것이 목표입니다. 물론, 로피탈의 정리를 증명하기 위해서는 다른 정리들이 여럿 필요한데요. 대부분 고등학교 수학에서 배우셨을 정리들이기 때문에, 은근슬쩍 사용하면서 증명해보고자 합니다. 그럼 바로 본론으로 들어가보도록 하겠습니다!

미분가능성의 정의

우선, 어떤 함수가 미분가능하다는 것과 함수의 연속성은 미묘하게 다릅니다. 미분가능성은 정의역 안의 한 점 $x_0$에서 정의되는 국소적 성질인데요. 어느 한 점에서 함수가 미분가능하면, 함수는 그 점에서 연속이지만, 그 역은 성립하지 않습니다. 한 점에서 미분가능하면, 그 점에서 연속이라는 것을 증명하는 것은 아주 좋은 연습문제가 될 것입니다.
그럼 이제 미분가능성의 정의입니다. 크게 두 가지 방법으로 정의할 수 있습니다. 여기서는 일변수 함수의 예시를 다루도록 하겠습니다.

Definition) 함수 $f:X\to \mathbb{R}$과 $x_0\in X$가 주어져있다고 하자. 점 $x_0$의 임의의 근방에서 함수가 정의되고, 다음 극한 $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0)+h)-f(x_0)}{h}$$ 가 존재하면, 함수 $f$는 점 $x_0$에서 미분가능하고, 위의 극한의 값을 미분계수 ($f^{\prime }(x_0)$) 라고 합니다.

위의 정의와 동치인 명제를 한 가지 소개해드리려고 합니다. 일변수함수가 아닐 경우 연속성을 따질 수 있는 방법입니다.

Definition-2) 함수 $f:X\to \mathbb{R}$과 $x_0\in X$가 주어져있다. $f$가 점 $x_0$에서 연속이면, 다음 두 성질을 만족하는 실수 $\alpha \in \mathbb{R}$, $\delta >0$와과 함수 $\eta :(-\delta ,\delta )\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$이 존재한다. $$\begin{gathered} f(x_0+h)-f(x_0)=h\alpha +|h|\eta (h) \\ \underset{h\to 0}{\lim }\eta (h)=0 \end{gathered}$$
Proof) 함수 $\eta$를 다음과 같이 정의하면 증명이 됩니다. 실제로, 위의 명제는 역도 성립합니다.
$$\eta (h)=\{\begin{array}{ll}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f^{\prime }(x_0)& \text{h>0}\\ -\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+f^{\prime }(x_0)& \text{h<0}\end{array}$$

다음은 함수의 덧셈과 곱셈, 나눗셈, 그리고 합성에 있어서 미분 법칙입니다. 수열의 극한, 함수의 극한에서 제가 생략했던 증명들을 직접 해보신 분들이라면 직접 증명도 하실 수 있으실 겁니다. 특히, 연쇄법칙의 경우 미분가능성의 두 번째 정의로도 아주 깔끔하게 증명이 가능하니, 직접 증명해보셔도 좋을 것 같습니다.

Theorem 함수 $f$, $g:X\to \mathbb{R}$이 점 $x_0$에서 미분가능하면, $f+g$와 $fg$가 점 $x_0$에서 미분가능하다. 만약 $g(x_0)\ne 0$면, $\frac{f}{g}$도 점 $x_0$에서 미분가능하다. 각각의 미분계수는 다음과 같다.
$$\begin{gathered} (f+g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)+g^{\prime }(x_0), \\ (fg{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime }(x_0), \\ (\frac{f}{g}{)}^{\prime }(x_0)=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{g(x_0{)}^2} \end{gathered}$$
Theorem) 함수 $f:X\to Y$이 $x_0\in X$에서 미분가능하고, 함수 $g:Y\to \mathbb{R}$이 점 $y_0=f(x_0)\in Y$에서 미분가능하면, 합성함수 $g\circ f:X\to \mathbb{R}$도 $x_0$에서 미분가능하고, 그 미분계수는 다음과 같다. $$(g\circ f{)}^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)$$

위의 내용들은 고등학교 수학에서 익히 배우고 사용하는 법칙들입니다. 이제 본 연재의 핵심인 로피탈의 정리와 그 증명을 다뤄보도록 하겠습니다. 로피탈의 법칙에는 여러 버전(?)이 존재하는데, 원래의 극한이 $\frac{0}{0}$ 꼴일 때 적용될 수 있는 정리입니다.

Theorem) (로피탈의 정리) 두 함수 $f$, $g$에 대해 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0,$ $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=0$이고, $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\alpha$$이면, $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\alpha$$
Proof) 우선 이 증명에 앞서, 몇 가지 체크해야 하는 부분이 있습니다. 우선, $x_0$의 임의의 근방에서, $g^{\prime }\ne 0$가 가정되어 있음을 염두에 두어야 합니다. 또, $x_0$에서의 함수 $f$, $g$의 극한이 정의되어 있음은 맞지만, 저희는 실제로 $f$와 $g$가 $x_0$를 제외한 $x_0$의 어떠한 근방 $(r-x_0,r+x_0)\setminus \{x_0\}$에서 정의되어 있어야 한다는 조건이 필요합니다.
이제 본격적인 증명에 앞서, 함수 $f$, $g$를 점 $x_0$에서 연속으로 만들고 싶습니다. 함수의 값과 함수의 극한이 같아야하니, $f(x_0)=0$, $g(x_0)=0$으로 정의해도 논의에 큰 차이는 없습니다. 이제 $f$와 $g$가 $x_0$에서 연속이 됩니다.
이제 문제의 조건에서, $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\alpha$가 성립하므로, 극한의 정의에 의해 임의의 양수 $ϵ$이 주어졌을 때, 어떤 양수 $\delta$가 존재해서, 다음을 만족합니다. $$0<|x-x_0|<\delta \to |\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}-\alpha |<ϵ$$
이제 고등학교 수학에서 한번쯤은 보셨을 코시의 정리를 사용할 수 있는데요. 우선 $0<|x-x_0|<\delta$를 만족하는 $x$를 고정시키면, $x>x_0$인 경우 $[x_0,x]$에, 그 반대인 경우 $[x,x_0]$에 코시의 정리를 적용하면, 다음 성질을 만족하는 어떠한 점 $c$를 찾을 수 있습니다.
$$0<|x_0-c|<|x_0-x|,\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$$
여기서 $f(x_0),g(x_0)$를 $0$으로 둔 이유가 밝혀집니다. 마지막 식의 가장 오른쪽 등호는, 분모와 분자에 각각 $x-x_0$가 생략된 것이라 생각하시면, 어느 부분에서 코시의 정리를 사용한 것인지 명확하게 보일 것이라 생각합니다. 그렇다면, $c$ 또한 $0<|x_0-c|<\delta$를 만족하므로, 첫 조건이었던 $$|\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}-\alpha |<ϵ$$를 만족하게 되고, $$|\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}-\alpha |=|\frac{f(x)}{g(x)}-\alpha |$$ 이므로, $$|\frac{f(x)}{g(x)}-\alpha |<ϵ$$이 성립하게 되어, $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\alpha$가 성립합니다.

그리고 주의해야 할 점은, 로피탈의 정리는 역이 성립하지 않습니다. 앞서 미분가능성은 연속성을 함축한다는 것 또한 역은 성립하지 않았습니다. 이러한 반례들을 잡을 때 주로 사용하는 함수들이 있는데, $\sin x$를 변형한 형태들로 잡을 수 있습니다. 대표적으로, $x\sin \frac{1}{x}$, $x^2\sin \frac{1}{x}$등을 사용하는데, 수학 공부를 더 하실 분들은 접하실 기회가 있을 겁니다.

이제 이번 연재에서 계획했던 모든 내용을 전달드린 것 같습니다. 극한을 엄밀하게 정의하기 위해, 왜 그러한 정의가 필요했는지, 그리고 극한을 엄밀하게 정의하고 난 후, 조금은 더 복잡한 개념들인 함수의 연속, 미분가능성 등을 어떻게 정의할 수 있는지를 간략하게 소개하는 것이 목표였습니다. 그러한 과정에서 몇몇 내용은 틀린 정의를 사용하기도 하였고, 상당히 많은 논의를 빼먹은 채 내용을 나가게 되었는데요. 이해에 큰 지장이 없도록 제가 설명을 잘 드린 것인가 걱정이 됩니다.

여담이지만, 어떤 내용을 소개드리는 것이 가장 유익하고 흥미로울지 고민을 하다보니, 앞의 글의 내용들이 자주 바뀌었습니다 (맨 처음에는 상극한, 하극한이라는 개념을 소개하고자 계획하였는데, 완비성공리 없이는 논리전개를 할 수가 없고, 완비성공리를 소개하면 배보다 배꼽이 더 커지는… 현상이 발생하게 됩니다). 그러다보니 차라리 완결이 난 상태에서 글 전체 흐름을 검토를 하는 것이 더 적절하다 생각하여, 완결이 나고 난 후 글을 한번에 올리게 되었습니다. 이 점 죄송하다는 말씀 드립니다.

포스팅 읽어주셔서 감사드리고, 궁금하신 점 있다면 댓글 달아주시면 제가 아는 선에서 답변 드리도록 하겠습니다. 다음 기회가 있다면 또 새로운 수학 얘기로 찾아 오겠습니다. 감사합니다!