극한까지 가버린 극한 3 - 함수의 극한과 연속

Post 3 - 함수의 극한과 연속

안녕하세요! 이번 연재의 세 번째 파트인 함수의 극한과 연속 파트입니다. 첫 포스트에서는 수열과 함수를 구분하지 않고 예시들을 살펴보았고, 지난 포스트에서는 수열을 정의하고, 수열의 극한의 정의에 대해 살펴보았습니다. 이번 포스트에서는 함수의 연속을 정의하고, 몇 가지 예제와 함께 함수의 연속성이 사칙연산에 의해 보존된다는 정리와 함께 포스트를 마치려고 합니다 (지난 포스트에서 나온 극한의 사칙연산과 아주 흡사합니다).

함수의 극한을 수열과 구분한 까닭은, 함수의 극한을 논함에 있어서는 수열의 극한과 달리 한 가지 추가적인 절차가 필요하기 때문입니다. 여기서 다시 한번 수열과 극한의 정의를 상키시켜 봅시다.

수열(sequence)는 정의역이 자연수인 임의의 함수를 일컫는다.

In Mathematics, a limit is the value that a function “approaches” as the input “approaches” some value.

이제 저희는 정의역이 자연수가 아닌, 임의의 정의역을 가지는 함수로 논의를 확장하고 싶은 것입니다. 이러한 과정에서, 이제 극한을 논할 수 있는 영역이 확장되게 됩니다. 즉, 수열의 경우 $n\to \infty$인 경우에 대해서만 생각하였다면, 임의의 함수에 대해서는 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $x\to \alpha$를 논할 수 있어야 합니다. 물론 $x\to \infty$인 경우 수열의 극한의 경우와 아주 흡사하기 때문에, $\alpha$가 $\infty$가 아닌 경우에 대해서만 정의해보도록 하겠습니다.

1) 함수의 극한의 정의 ($ϵ-\delta$)

Definition) 함수 $f:X\to Y$에 대해 정의역 $X$의 극한점 $x_0$와, 치역 $Y$의 한 점 $y_0$가 주어져 있다. 만약 함수 $f$가, 임의의 양수 $ϵ$에 대해, 어떤 양수 $\delta$가 존재해서, 다음 성질을 만족하면, $$x\in X,0<|x-x_0|<\delta \to |f(x)=y_0|<ϵ$$ 함수 $f$가 $x_0$에서 연속이라고 하고, $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=y_0$라고 표기한다.

위 조건의 의미를 살펴보면, 어떠한 작은 임의의 양수 $ϵ$이 주어져도, 점 $x_0$으로부터 좌우 폭이 $\delta$인 어떤 근방을 찾을 수 있어서, 해당 근방 안에서의 함수 $f$의 값이 $y_0$로부터 $ϵ$보다 적게 차이나야 한다는 의미입니다. 정의역이 단순히 자연수에서 실수의 부분집합 $X$로 바뀌었을 뿐인데, 생각보다 많이 복잡해졌습니다. 우선 첫 포스트에서 살펴보았던 예시들을 직접 증명해보죠!

Example 1) Show $\underset{x\to 2}{\lim }2x=4$
Proof) 우선 간단한 예시부터 살펴보겠습니다. 저희가 해야하는 일은, 어떤 $ϵ>0$이 주어졌을 경우, $$0<|x-2|<\delta \to |f(x)-f(2)|=|2x-4|<ϵ$$인 $\delta >0$를 찾는 것입니다. 이러한 경우 $\delta =\frac{ϵ}{2}$로 둘 경우, $|2x-4|=2|x-2|<2\ast \frac{ϵ}{2}=ϵ$이 되어 조건을 만족합니다.

이제 첫 포스트에서 소개했던 예시입니다. 이 예시를 소개하기 위해서는, 위 정의를 다시 한번 살펴보아야 합니다. 엄밀하게 정의하지 않고 넘어간 부분이 있습니다. 함수의 극한을 논할 때 $x$는 $X$의 원소여야 하지만, $x_0$는 $X$의 극한점일 경우에도 정의가 됩니다. 극한점에 대한 정의를 소개하기엔 많은 내용이 필요하여, 간략하게만 설명드리도록 하겠습니다.

Definition) 집합 $X$에서 점 $x_0$로 수렴하는 수열을 잡을 수 있는 경우, $x_0$는 집합 $X$의 극한점이라고 한다.

엄밀히 말하면 위의 정의는 한 가지 추가적인 조건이 필요해서 틀린 정의입니다. 하지만 논의를 이어나감에 있어 충분하니 이 정도로 소개하도록 하겠습니다.

Example 2) $f:(0,1)\to \mathbb{R},f(x)=x,\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=1$
Proof) 우선 위의 극한이 $x_0=1$에서 정의되는 까닭은, $(0,1)$에서 $1$로 수렴하는 $(0,1)$ 안의 수열을 잡아낼 수 있기 때문입니다. 이제 아무런 문제 없이 $x_0$를 $1$로 둔 후, 함수가 $1$의 오른쪽에서는 정의되지 않았으므로, 좌극한만 생각해도 충분합니다. 이제 $ϵ$이 주어졌을 때, $\delta =ϵ$으로 두면, 연속의 조건이 성립함을 알 수 있습니다!

Example 3) $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\{\begin{array}{ll}2& \text{if x=1}\\ x& \text{otherwise}\end{array},\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=?$$
Proof) 위 예시는 그 증명은 어렵지 않으나, 증명 과정에 있어 함수의 극한의 정의를 정확하게 곱씹어볼 수 있는 예시라 소개를 해드리려 합니다. 우선, 수열의 극한과 같이, 함수의 극한의 정의는 그 수렴값이 무엇인지 알려주지 않습니다. 따라서, 직관에 호소하여, 수렴값이 $1$임을 예상한 후 증명을 하는 방법 밖에 없습니다.
또한, 극한의 증명에 있어, $x$와 관련된 조건이 다음과 같았습니다: $$0<|x-x_0|<\delta$$

즉, 0보다 크다는 조건으로부터 우리는 $x=1$이 아님을 보장받을 수 있습니다. 따라서, 위의 문제는 $f(x)=x$의 극한을 푸는 것과 같은 방법으로 풀릴 수 있게 됩니다.

마지막 예시를 조금 더 기억을 해두실 필요가 있습니다. 후에 소개드릴 함수의 연속성의 정의에서는, $|x-x_0|$가 $0$보다 크다는 조건이 필요없게 됩니다.

2) 함수의 극한의 사칙연산

다음 정리는 함수의 극한 또한, 수열의 극한과 같이 '사칙연산’을 문제없이 할 수 있다는 정리입니다. $ϵ-N$ 논법에서 $ϵ-\delta$ 논법으로 바뀌었다는 점 외에는 증명 과정이 정확하게 똑같으니, 증명은 생략하도록 하겠습니다. 좋은 연습문제가 될 것 같습니다.

Theorem) $f,g:X\to Y$와, $X$의 극한점 $x_0$에 대해, $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=y_0,\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=z_0$$
라고 하면, 다음이 성립한다.

1. $$a,b\in \mathbb{R},\underset{x\to x_0}{\lim }af(x)+bg(y)=a{y}_0+b{z}_0$$
2. $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ast g(x)=y_0{z}_0$$
3. $$z_0\ne 0,\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{y_0}{z_0}$$

3) 함수의 연속성의 정의

이제 마지막으로 함수의 연속성의 정의를 소개하고 글을 마치도록 하겠습니다. 함수의 극한의 정의를 이해했다면, 크게 새로운 내용이 없을 것입니다!
Definition) 함수 $f:X\to Y$가 $X$의 점 $x_0$에서 연속이면, 임의의 $ϵ>0$에 대해 어떤 $\delta >0$이 존재하여, $$x\in X,|x-x_0|<\delta \to |f(x)-f(x_0)|<ϵ$$
을 만족한다.

위 정의는, 기존에 저희가 알고 있던 연속의 정의와 잘 부합합니다. 즉, 한 점에서 $f$가 연속이려면, 그 점에서의 함수값과 극한값이 일치해야 한다는 의미입니다.

여기서 눈 여겨 보셔야 할 부분은, 우선 점 $x_0$, $x$가 정의역의 원소여야 한다는 점입니다. $f(x),f(x_0)$등이 값을 계산해야 하기 때문입니다. 따라서, 극한을 정의할 때와 달리, $0<|x-x_0|$ 조건이 필요없게 됩니다. 실제로, 같은 점을 취하게 되면 $|f(x)-f(x)|=0$이 되어 자명하게 성립하게 됩니다.

이렇게 해서 함수의 극한과 연속의 정의까지 살펴보았습니다. 이제 왜 극한을 이렇게까지 정의해야 하는지 느낌이 조금 오시지 않을까 생각이 듭니다. 고등학교 과정에서 배운 직관적인 느낌을 정확하게 반영하면서, 수학적 엄밀성까지 둘 다 챙길 수 있는 방법이라고 (저는) 생각합니다.

다음 포스트에서는, 같은 방법으로 미분가능성 내용을 다뤄보고자 합니다! 이에 대한 예시를 몇 가지 소개드리고, 마지막으로 극한의 엄밀한 정의를 통해, 고등학교 시절 증명없이 배우는 정리 중 하나인 로피탈의 정리를 증명해보도록 하겠습니다.