#4-series solution(3. Frobenius method : 중근)

그림출처 - 네이버 웹툰 '역전! 야매요리' 

#어디까지왔니?

Frobenius method(1)

지난 포스팅의 마지막 내용이었죠? $r$의 종류에 따라 세 가지의 경우로 나누어 ODE의 두 basis를 구한다고 말했습니다. 물론, 다시 한 번 말씀드리자면! 두 근 중 하나가 쉽게 나온다면 차수축소법 reduction of order를 사용하면 되는 것이고, 이것은 가장 일반적인, ‘급수형태로 해가 나올때’, ‘정리가 되지 않을때’ 에 대한 이야기 입니다.

1. 중근을 가지는 경우
   $$y_2 = y_1 \ln x + x^r \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n$$

2. $r_1 - r_2$가 정수인 두 근을 가지는 경우
   $$y_2 = ky_1 \ln x + x^{r_2} \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$$ (단, $r_1 > r_2$)

3. $r_1 - r_2$가 정수가 아닌 두 근을 가지는 경우
   이 경우에는 그냥 $r_2$에 대해서도 한 번 더 계산을 해주면 됩니다!

Frobenius method는 정말 익숙해 지기가 쉽지 않은 고로 ㅠㅠㅠ 문제를 푸는 과정을 좀 길게 포스팅 할 예정입니다. 포스팅 예정은 아래와 같습니다!

• 3-1 : 기초적인 방법 - 이건 이미 포스팅을 했죠?ㅎㅎ
• 3-2 : 문제 풀이(정리가 되지 않는 경우)
  
  • 3-2-1. 중근을 가지는 경우
  • 3-2-2. $r_1 - r_2$가 정수인 두 근을 가지는 경우
  • 3-2-3. $r_1 - r_2$가 정수가 아닌 두 근을 가지는 경우
• 3-3 : 문제 풀이(정리가 되는 경우)
  
  • 3-3-1. 중근을 가지는 경우
  • 3-3-2. $r_1 - r_2$가 정수인 두 근을 가지는 경우

네 이런 순서대로 포스팅을 했구요, 오늘은 3-2-1. 정리가 되지 않고 중근을 가지는 경우에 대해 다루어 보고자 합니다.

#0. 예제

$$x\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} -y=0$$
이런 문제를 풀어봅시다.
$$y=x^r \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m$$
이렇게 $y$를 두고 풀기 시작했던것, 기억하고 있죠?
그런데 그 전에, 한 가지 확인해야 할 것이 있습니다.
그냥 Frobenius 안쓰고 #4.1에서 다루었던, power series method 로 하면 안되겠느냐…라는 거죠ㅠㅠ
power series method는
$$\frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y = r(x)$$
꼴로 주어진 방정식의 $p(x), q(x), r(x)$가 $x=0$에서 analytic 할 때만 사용할 수 있었습니다. 예제로 주어진 방정식의 $\frac{d^2 y}{dx^2}$앞에 1이 붙어있도록 정리를 하면, $p(x) = \frac{1}{x}$가 나오는데, 이 함수는 $x=0$에서 정의되지 않으므로 power series method를 적용할 수 없습니다.
반면, Frobenius method를 사용하기 위해서는
$$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{b(x)}{x} \frac{dy}{dx} + \frac{c(x)}{x^2} y = r(x)$$
꼴로 주어진 ODE에서 $b(x) , c(x)$가 $x=0$일 때 analytic 해야 합니다. 예제를 변형해보면 $b(x) = 1, c(x)=-x$로 얻어집니다. 따라서 Frobenius method를 사용할 수 있는 문제군요!

사실 카테고리없이 문제만 주어진다면, Frobenius method와 Power series method를 둘 다 쓸 수 있는 경우도 나올 수 있겠죠?ㅋㅋ 이번 카테고리에서는 Frobenius method를 다룰 거니까 계속 그렇게 풀겠지만, 위와 같이 함수를 판정해보고 본인에게 더 편한(아마 Power series 일 확률이…)방법을 선택하시면 되겠습니다 ㅎㅎ

#1. 한 번 미분, 두 번 미분

$$y=x^r \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m = \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r}$$
$$\frac{dy}{dx} = \sum_{m=0}^{\infty} (m+r) a_m x^{m+r-1}$$
$$\frac{d^2y}{dx^2} = \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1) a_m x^{m+r-2}$$

#2. 대입, $r$구하기

$$x\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} -y\\ =x \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1) a_m x^{m+r-2} + \sum_{m=0}^{\infty} (m+r) a_m x^{m+r-1} - \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r}\\ = \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1) a_m x^{m+r-1} + \sum_{m=0}^{\infty} (m+r) a_m x^{m+r-1} - \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r} =0$$

언제나 적응이 잘 되지 않는 부분이군요….ㅋㅋㅋㅋ
일단, $x^{m+r-1}$항과 $x^{m+r}$항이 남아있게 됩니다. 묶어서 정리를 해줍시다.
$$\sum_{m=0}^{\infty} \left[ (m+r)(m+r-1) + (m+r) \right] a_m x^{m+r-1} -\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r} =0$$

그러면, 최저차항이 무엇인지 찾아봅시다. $m=0$일 때 최저차항일 테니, $x^{r-1}$인 것이 최저차항으로 남을 겁니다. 이해가 되지 않으시는 분들을 위해 $m=0$인 경우만 전개를 한번 해보면…!
$$[r(r-1)+r] a_0 x^{r-1} -a_0 x^r=0$$
여기서 최저차항이 $x^{r-1}$이고, 그 앞에 붙은 계수가 0이 되도록 $r$의 값을 정해주자는 겁니다. 즉, $r(r-1)+r=0$이 되도록!
결국 $r^2 =0$으로 $r=0$이 나오겠죠. 중근이 나왔네요~

#3. 다시 대입, $r=0$

다시 $r=0$을
$$\sum_{m=0}^{\infty} \left[ (m+r)(m+r-1) + (m+r) \right] a_m x^{m+r-1} - \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r} =0$$
요기에 다시 넣어보면,
$$\sum_{m=0}^{\infty} \left[ m(m-1) + m \right] a_m x^{m-1} - \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m =0$$
그러고 나서 첫 번째 시그마의 아래부분을 $m=1$로 고쳐줍니다.
$$\sum_{m=1}^{\infty} \left[ m(m-1) + m \right] a_m x^{m-1}- \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m =0$$

#4. 치환

자 이제 익숙한, ‘치환’이라는 작업을 거칠 차례입니다. 첫 번째 시그마는 $m-1 = s$로 치환해주고, 두 번째 시그마는 $m=s$로 치환합니다.
$$\sum_{s=0}^{\infty} \left[ (s+1)s + s+1 \right] a_{s+1} x^{s} - \sum_{s=0}^{\infty} a_s x^s =0$$
이제 지수가 $x^s$로 통일되었으니, 시그마 하나로 묶어서 통일!
$$\sum_{s=0}^{\infty} [(s+1)^2 a_{s+1} - a_s ]x^s=0$$

#5. 점화식

당연히, $x^s \not= 0$이니까,
$$(s+1)^2 a_{s+1} - a_s=0$$
이고, 정리하면
$$a_{s+1} = \frac{1}{(s+1)!} a_s , s \geq0$$
이 되겠습니다. 쭉 전개해보면,
$$a_{s} = \frac{a_{s-1}}{s^2} = \frac{a_{s-2}}{s^2 (s-1)^2} = ... = \frac{a_0}{(s!)^2} \\ a_{s-1} = \frac{a_0 }{(s-1)^2} \\ a_{s-2} = \frac{a_0}{(s-2)^2} \\...$$

#6. 원함수

대입하면,
$$y= a_0 \left( 1 + x + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{36}+ ... \right)$$
즉,
$$y_1= \left( 1 + x + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{36}+ ... \right)$$
그런데 이건 깔끔하게 정리가 되는 함수꼴이 아니라, 그냥 급수 형태로 남는 꼴입니다. 따라서, 위에서 언급한 공식을 사용해서 $y_2$를 구하는 방법을 택해야 겠죠 ㅠㅠ

$$y_2 = y_1 \ln x + x^r \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n$$

#7. $y_2$ - 1. 식 정리

이 공식을 써서 구하려고 보니, ㅎㅎ…….
$b_n$을 또 다시 구해야 합니다 아이고…..ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
어쩔 수 없습니다. 대입해서 미분한 다음 $b_n$을 일일이 다 구해주는수 밖에 ㅠㅠㅠㅠ고달픕니다 ㅠㅠㅠ 일단 $r=0$을 대입한 다음, 미분!
$$y_2 = y_1 \ln x +\sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n$$ $$\frac{dy_2}{dx} = \frac{y_1}{x} + \frac{dy_1}{dx} \ln x + \sum_{n=1}^{\infty} nb_n x^{n-1}$$ $$\frac{d^2 y_x }{dx^2} = -\frac{y_1}{x^2} + 2 \frac{dy_1}{dx} \frac{1}{x} + \frac{d^2 y_1} {dx^2} \ln x + \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)b_n x^{n-2}$$

부들부들…….대입합시다 ㅠㅠㅠㅠㅠ
$$x\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} -y=\\ x\left( -\frac{y_1}{x^2} + 2 \frac{dy_1}{dx} \frac{1}{x} + \frac{d^2 y_1} {dx^2} \ln x + \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)b_n x^{n-2} \right) \\+ \left( \frac{y_1}{x} + \frac{dy_1}{dx} \ln x + \sum_{n=1}^{\infty} nb_n x^{n-1} \right) - \left( y_1 \ln x +\sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n \right)=0$$
시그마가 없는 항들끼리만 모아보면,
$$-\frac{y_1}{x} + 2\frac{dy_1}{dx} + x \frac{d^2 y_1}{dx^2} \ln x + \frac{y_1}{x} + \frac{dy_1}{dx} \ln x - y_1 \ln x$$
입니다. 그런데! $-\frac{y_1}{x} + \frac{y_1}{x}$는 0으로 날아가고,
$$2\frac{dy_1}{dx} + x \frac{d^2 y_1}{dx^2} \ln x + \frac{dy_1}{dx} \ln x - y_1 \ln x$$
만 남습니다. $\ln x$로 묶으면,
$$\ln x \left( x\frac{d^2y_1}{dx^2} + \frac{dy_1}{dx} -y_1 \right) + 2\frac{dy_1}{dx} = 0$$
인데,
$$\left( x\frac{d^2y_1}{dx^2} + \frac{dy_1}{dx} -y_1 \right) =0$$
입니다. 결국 시그마가 없는 항은 $2\frac{dy_1}{dx}$만 남아있겠죠?

또다시 정리해보면…
$$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)b_n x^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty}n b_n x^{n-1} - \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n = -2 \frac{dy_1}{dx}$$

뭔가 좌변은 치환을 해서 또 점화식을 얻고 싶게 생겼죠? ㅋㅋ 이제까지 항상 그래왔고 앞으로도..

#8. $y_2$ - 2. $b_n$구하기

좌변을 치환해서 묶기 전에, 두 번째 시그마에 있는 $x^0$항을 빼면 모두 $x^1$부터 시작한다는 것을 염두에 두고 시작해봅시다. 즉,

$$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)b_n x^{n-1} + b_1 + \sum_{n=2}^{\infty}n b_n x^{n-1} - \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n = -2 \frac{dy_1}{dx}$$
요렇게 전부 $x^1$부터 시작하게 고치고, 첫번째, 두번째 시그마를 $n-1=s$로,세 번째 시그마는 $n=s$로 바꿔줍시다.
$$\sum_{s=1}^{\infty} s(s+1) b_{s+1} x^{s} + b_1 + \sum_{s=1}^{\infty}(s+1) b_{s+1} x^s - \sum_{s=1}^{\infty} b_s x^s = -2 \frac{dy_1}{dx}$$
이제 우변의 미분항도 같이 넣어주면….
$$y_1= \left( 1 + x + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{36}+ ... \right)$$ $$\frac{dy_1}{dx} = 1+\frac{x}{2} + \frac{x^2}{12}+...$$
최종정리식은,
$$b_1 + \sum_{s=1}^{\infty} \left((s+1)^2 b_{s+1} - b_s \right)x^s = -2-x-\frac{x^2}{6}-...$$

원칙적으로는, 우변의 계수인 $a_s = \frac{a_0}{(s!)^2}$를 대입을 일일이 해서 점화식을 다 얻었으면 좋겠지만……….
$y_1$도 $x^3$까지만 구하고 뒤를 쩜쩜쩜! 으로 남겼으니, $y_2$도 그렇게 주먹구구식으로 하고 나서 똑같이 쩜쩜쩜! 을 찍자는 겁니다. ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
완벽한 function하나로 딱 떨어지지 않는다면 대강 근사만이라도 하자는 생각에서였는지….ㅋㅋㅋ
여튼 어차피 정리가 안될 함수라면 처음 몇 개의 항만 찾은 다음 쩜쩜쩜~으로 남겨주어도 상관이 없지 않겠느냐 라고 하는 엄청난 생각에 의해, 하나하나 좌변과 우변을 대조해보게 됩니다.

$$x^0 : b_1 = -2 \\ x^1 : 4b_2 - b_1 = -1 \\ x^2 : 9b^3 - b_2 = - \frac{1}{6} \\...$$

이걸 이제 잘 연립해주면….
$$b_1 = -2 , b_2 = -\frac{3}{4}, b_3 = -\frac{11}{108}$$

드디어! $y_2$를 구할 준비가 끝났습니다. 후후….
$$y_2 = y_1 \ln x -2x - \frac{3}{4} x^2 - \frac{11}{108} x^3 - .....$$

#9. 최종 결과

$$y_1= \left( 1 + x + \frac{x^2}{4} + \frac{x^3}{36}+ ... \right)$$
$$y_2 = y_1 \ln x + \left(-2x - \frac{3}{4} x^2 - \frac{11}{108} x^3 - ..... \right)$$

네 이렇게 ! 되었습니다 ㅎㅎ

심화

사실, $y_2$에 나타나는 $$y_2 = y_1 \ln x + x^r \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n$$
$b_n$은, 잘~ 정리를 해보면 $a_n$과 관련이 있는 항입니다. 물론 여기서는 언급하지 않고, 좀 다른 접근을 통해 구해야 하구요 ㅠㅠ
어떤 관계가 있느냐….
$$\left. \frac{\partial a_n(r)}{\partial r} \right | _{r=r_1} = b_n$$
이런 관계입니다. 자 왜 갑자기 $r$이 뜬금없이 튀어나왔냐구요?
우리는 풀 때 $r=0$을 먼저 집어넣은 상태에서 시작했습니다. 하지만, 저~위로 가보면
$$\sum_{m=0}^{\infty} \left[ (m+r)(m+r-1) + (m+r) \right] a_m x^{m+r-1} - \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r} =0$$
요런, $r=0$을 대입하기 전의 따끈따끈한 식이 있습니다. 여기서 $r$을 대입하지 말고 $a_m$을 구해보자는 거죠. 점화식이 대충 이정도 되려나요?ㅋㅋㅋ
$${(r+s+1)^2 a_{s+1} - a_s =0} \\ a_s = \frac{a_0}{(r+s)!^2}$$
이걸 $r$에 대해서 미분한 다음, 거기에 $r=0$을 대입한 식에서 $b_n$을 얻을 수 있다는 겁니다. 팩토리얼의 제곱이 분모에 있는 걸 보아하니 별로 미분하고 싶은 마음은 들지 않는 식이네요…ㅋㅋㅋ 물론 trick 은 있습니다.
$$f(x) = (x-a_1 )^{b_1} (x-a_2 )^{b_2} (x-a_3 )^{b_3} (x-a_4 )^{b_4}....$$
꼴로 표현된 식은,
$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{b_1}{x-a_1}+\frac{b_2}{x-a_2}+\frac{b_3}{x-a_3}+\frac{b_4}{x-a_4}+\frac{b_5}{x-a_5}+...$$
의 결과를 얻을 수 있으니, $\frac{\partial a_n(r)}{\partial r}$의 도 표현할 수 있다……라는 겁니다. 이건 여러분들을 위해 남겨둘게요! ㅋㅋㅋㅋㅋ

여튼, 이렇게 구하는 방법도 있고, 제가 한 것 처럼 일일이 손으로 대입하는 방법도 있습니다. 어느것이 편한지는 여러분의 선택이긴 하지만, 두 방법 다 계산이 그리 만만치는 않네요 ㅋㅋㅋ

정리

힘들고 긴 여정이었습니다 ㅠㅠ 특히나, $y_2$를 구하는 과정에서 좀 골치가 아프셨을 거에요….ㅋㅋㅋ
다음 포스팅에서는 중근이 아닌 경우에 대해서, $r$의 근이 두 개 나오는 경우에 대해 알아보도록 하겠습니다. 빠르게빠르게 손에 익혀서 풀어봅시다 ~.~