#4-series solution(3.Frobenius method : basic)

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#어디까지왔니?

오랜만입니다! ㅋㅋ series solution의 세 번째 주제, Frobenius method에 대한 얘기를 시작해보려고 합니다. 

이제까지 다뤘던, power series method 와 그 응용인 Legendre polynomial 을 다시 한 번 보고, 확실히 손에 익힌 다음 이 방법을 시작해보도록 합시다!

Frobenius method

우리가 power series method 를 다룰때는, 이런 조건이 붙었던 것을 기억하실 겁니다.

• $$\frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y = r(x)$$ 이 때 $p(x), q(x), r(x)$가 $x=0$에서 analytic 해야한다

이것의 특수한 경우로,

• $$\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{b(x)}{x} \frac{dy}{dx} + \frac{c(x)}{x^2} y =0$$ 이 때 $b(x), c(x)$ 가 $x=0$에서 analytic 해야한다.

요런 얘기까지 같이 했던 것도, 확인하러 가봅시다 ㅋㅋ
첫 번째 내용은 이미 다뤘고, 두 번째 내용을 이제 함께 다뤄보려고 합니다. Frobenius method 의 경우 기본적인 series solution의 형태를
$$y= x^r \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m$$
으로 놓고 출발한다고 했는데요, 그것을 푸는 방식에 대해 자세히 다뤄보도록 하겠습니다.

#0. 예제를 풀기 전에

염두에 둘 가장 큰 차이점은, 이전의 풀이에서는 구해야 할 것이 $a_m$뿐이었다면, 이번에는 $r$까지 신경을 써주어야 합니다. 그래서, $r$을 먼저 구한 다음 $a_m$에 대한 점화식을 구해야 하는데, second order ODE의 경우에는 $r$에 대한 이차방정식이 나오는 경우가 대부분이라서, 두 가지 $r$이 나오면 $a_m$의 계산도 두 번을 해줘야 합니다 ㅠㅠㅠㅠ 그만큼 복잡하겠죠~

그렇다면 $r$은 어떻게 구하느냐!
power series method 에서는 $s=0$을 최저차항으로 두고 거기서 부터 시그마 기호가 시작했더라…였는데, 이번에는 ‘최저차항’에 대한 개념이 살짝 달라집니다.
$$y= x^r \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m$$
위의 식을 보면, $m=0$일 때가 시그마 안에 있는 항들의 최저차항인데, 그 경우에도 $x^r$이 앞에 붙어있어서 $x^r$과 관련된 항이 $y$의 최저차항이 된다는 것입니다. 즉, $x^{r-1}$이라던가, $x^r$이라던가, $x^{r-2}$라던가……..하는 식으로 말이죠!

그러니 $x^r$과 관련된 항이 최저차 항이라고 생각하고 풀어줘야 하는데, 마침 우변이 0이라는 겁니다. 0이려면 모든 항이 전부 0이어야 하는데, 그러면 당연히 $x^r$이 포함된 최저차항의 계수도 0이어야 겠죠. 그것을 이용해서 $r$의 값을 일단 구하는 것입니다.

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 자 무슨 말인지 모르겠으면, 일단 따라와 봅시다! 가장 쉬운 예시 하나로 일단 ‘과정’부터 익혀보아요~

$$x(x-1) \frac{dy^2} {dx^2 } + (3x-1) \frac{dy}{dx} + y=0$$

#1. 한 번 미분

$$y= x^r \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m = \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r}$$ $$\frac{dy}{dx}= \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)a_m x^{m+r-1}$$ $$\frac{d^2y}{dx^2}= \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1)a_m x^{m+r-2}$$
눈치채셨나요? ㅋㅋㅋㅋ 이번에는 $m=0$으로 계속 시그마 아래의 항이 일정합니다. $r$때문에 아직은! 그렇게 신경을 써주지 않아도 되는거죠. 물론, $r=0$이면 어떻게 하느냐….라고 하실수도 있지만, 일단 ‘신경을 쓰지 않고 풀어보자’라는 컨셉에서 시작을 합니다.

#2. 대입, r구하기

이번에는 치환 과정이 딱히 필요하지 않습니다. 그렇다면 저 식 들을 원 방정식에 쭉 대입해 보겠습니다.

$$x(x-1)\sum_{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1)a_m x^{m+r-2} + (3x-1)\sum_{m=0}^{\infty} (m+r)a_m x^{m+r-1}+ \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r}=\\ \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1) a_m x^{m+r} - \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)(m+r-1)a_m x^{m+r-1} + 3\sum_{m=0}^{\infty} (m+r)a_m x^{m+r} - \sum_{m=0}^{\infty} (m+r)a_m x^{m+r-1} + \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^{m+r} =0$$
하하……ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
해놓고 보니, $x^{m+r}$항과 $x^{m+r-1}$항이 살아남았습니다. 한 번 정리해주면…
$$\sum_{m=0}^{\infty} x^{m+r} a_m ((m+r)(m+r-1) +3(m+r)+1)-\sum_{m=0}^{\infty} x^{m+r-1} a_m ((m+r)(m+r-1) +(m+r))=0$$
그냥 정리한겁니다 당황하지 말고…….
자 그럼 우리는, 최저차항이 무엇인지 잘 봐야 합니다.
$m=0$일 때, $x^{r-1}$이 최저차항으로 남아있겠더라….는 것을 눈으로 따라오셨나요? 그러니 정리식의 첫번째 시그마 안에 있는 애들은 고려대상이 아니라는 겁니다. 그건 최저차항이 아니니까요!
$m=0$을 두 번째 시그마 안에 있는 애들한테 대입하면,
$$-(r(r-1) +r) =0$$
이라는 식을 얻을 수 있는 겁니다. 즉, $r^2 =0$이고, $r=0$이라는 중근을 얻을 수 있겠네요.

#3. 다시 대입

그러면 $r=0$을 정리한 식에 다시 넣어줍니다. 그러니까….
$$\sum_{m=0}^{\infty} x^{m+r} a_m ((m+r)(m+r-1) +3(m+r)+1)-\sum_{m=0}^{\infty} x^{m+r-1} a_m ((m+r)(m+r-1) +(m+r))=0$$
요기에 $r=0$을 넣어주면
$$\sum_{m=0}^{\infty} x^{m} a_m ((m)(m-1) +3(m)+1)-\sum_{m=0}^{\infty} x^{m-1} a_m ((m)(m-1) +(m))=0$$
그런데 이러고 나니까, 두 번째 시그마의 첫 항이 $x^{-1}$이 되어 버렸습니다. 이제부터 $m$에 신경을 쓰기 시작해야 합니다ㅠㅠㅠㅠㅠ
분수항이 나오지 않도록 이제 $m=1$로 바꿔준 뒤 다시 고쳐보면…..
$$\sum_{m=0}^{\infty} x^{m} a_m ((m)(m-1) +3(m)+1)-\sum_{m=1}^{\infty} x^{m-1} a_m ((m)(m-1) +(m))= \\ \sum_{m=0}^{\infty} x^{m} a_m (m^2+2m+1)-\sum_{m=1}^{\infty} x^{m-1} a_m m^2 =0$$

#4. 치환

익숙한 일을 해봅시다. $x^m$과 $x^{m-1}$를 전부 $x^s$로 치환하는 겁니다. 첫번째 시그마 안에 있는 애들은 그냥 $m$을 $s$로 바꿔주기만 하면 되고, 두번째 시그마 안에 있는 애들은 $m-1$을 $s$로 바꿔주는 겁니다.
$$\sum_{s=0}^{\infty} x^{s} a_s (s^2+2s+1)-\sum_{s=0}^{\infty} x^{s} a_{s+1} (s+1)^2 = \sum_{s=0}^{\infty} x^s \left( a_s (s+1)^2 - a_{s+1} (s+1)^2 \right) = 0$$

#5. 점화식

결국, $a_s = a_{s+1}$ 를 얻게 됩니다. 물론 $s=0$부터!

#6. 원함수

대입하면,
$$y= a_0(1+x+x^2 + x^3 + ...)$$
이런 형태를 얻을 수 있을 겁니다. $x=0$에서 analytic 하다는 판정이 있었으니, 이 급수는 수렴할 것이라고 판단하면…….
$$y= a_0 \frac{1}{1-x}$$
이런 해를 하나 얻을 겁니다. $a_0$는 상수니까, basis를 구하면 $y_1 = \frac{1}{1-x}$로 구해졌습니다.

#7. $y_2$

끝난게 아닙니다. 우리는 아직 $y_1$만 알고 있고, $y_2$를 구하지 않았습니다.
자, 왜 Frobenius method에서는 해 두개를 각각 구해주어야 하느냐…
$r$이라는 새로운 변수가 생겼기 때문에! 그렇습니다. 그냥 일반적인 power series method 에서는 점화식 구해서 해 놓은 다음에, basis 두개 를 적당히 묶어서 쓰는 거였지만 이번에는 $r$의 값이 하나로 정해지면 basis 도 하나 정해진다는 가정하에, 또 다른 해를 한 번 더 구해줘야 합니다 ㅠㅠㅠㅠ

하지만 중근이 나왔는데 어떻게 하냐구요? 바로 우리가 예전에 했던, 차수축소법Reduction of order를 사용하는 겁니다.
$$y_2 = u(x) y_1$$
이렇게 놓고 $u(x)$를 구해보시면 됩니다!
$$y_2 = \frac{\ln x }{1-x}$$
를 얻을 수 있을 겁니다. 꼭 한번 풀어보세요~

about r

위에서 풀었던 예제는 정말 ‘쉬운’ 예제였기 때문에, $r$이 딱하나 나오고 식도 깔끔하게 정리되고 차수축소법도 잘 적용이 되는 좋은~ 예제였습니다. 항상 $r$이 저렇게 나와주면 좋겠지만, 식이 깔끔하게 정리되면 좋겠지만 그렇질 못하니………

마찬가지로 $r$의 경우를 세 가지로 나눕니다. 그런데 이번에는 두 실근/중근/두 허근 으로 나누는 것이 아닙니다.

1. 중근
2. $r_1 - r_2$가 정수인 두 근
3. $r_1 - r_2$가 정수가 아닌 두 근

2번 같은 경우는, $r=1, 2$이런 예시를 들 수 있겠고, 3번은 $r= \frac{1}{2} , 0$의 경우를 들 수 있겠습니다.

• +)잡담 사실 이렇게 나누는 이유를 알고자 조사를 해봤는데……….’기초’공학수학 포스팅에서 다루기에는 너무 수학적으로 깊이가 있어서 여기서는 그냥 ‘이렇다~’ ‘이런 경우에는 답이 이거다~’라고만 언급하고 가겠습니다 ㅠㅠ 절대 이해를 못해서 그런건 아님
• 자세한 것을 원하신다면, 여기로 링크를 걸어드리겠습니다 ㅋㅋㅋ

각각에 대해서, 정말 ‘일반화된’ 케이스를 써보려 합니다. 이 이론은, 먼저 $y_1$을 위의 순서를 따라 구한 다음, $y_2$를 구하는 과정에 대한 이론입니다! 안타깝게도 $y_1$은 구해야 하는 현실…ㅠㅠ

1. 중근을 가지는 경우
   $$y_2 = y_1 \ln x + x^r \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n$$

2. $r_1 - r_2$가 정수인 두 근을 가지는 경우
   $$y_2 = ky_1 \ln x + x^{r_2} \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$$ (단, $r_1 > r_2$)

3. $r_1 - r_2$가 정수가 아닌 두 근을 가지는 경우
   이 경우에는 그냥 $r_2$에 대해서도 한 번 더 계산을 해주면 됩니다!

구체적인 증명은, 생략하고 지나간다고 하더라도….ㅋㅋㅋㅋ 뭔가 꺼림칙하죠? ㅋㅋ 어떤건 $n=0$부터 시작하고, $n=1$부터 시작하고, 갑자기 $k$가 붙기도 하고………..

이 세 가지 경우 모두 다음 포스팅에서 함께 예시를 통해 풀어보도록 하겠습니다. 일단 저렇게 세 가지 경우에 대해서, 3번 경우는 둘 다 계산을 해줘야 하고, 1, 2번 경우는 저 공식에 따라 $k$, $b_n$을 찾아주어야 합니다. 물론, 정확하게 딱! 정리가 된다면 차수축소법을 쓰면 되겠지만…그렇지 않은 경우 $r_2$를 대입해서 또 $y_2$를 또 다시 구하는 것 보다야 낫지 않겠느냐….라는 거죠.

일단, 다음포스팅, 어쩌면 그 다음 포스팅까지, 위에서 언급한 세 가지 경우를 함께 풀어보면서 어떻게 푸는구나! 라는 감을 함께 잡기 위해 노력하겠습니다 ㅋㅋㅋㅋ 멘붕을 가라앉히고 ㅠㅠ 다음 포스팅에서 다시 봅시다~