#어디까지왔니?
오랜만입니다! ㅋㅋ series solution의 세 번째 주제, Frobenius method에 대한 얘기를 시작해보려고 합니다.
이제까지 다뤘던, power series method 와 그 응용인 Legendre polynomial 을 다시 한 번 보고, 확실히 손에 익힌 다음 이 방법을 시작해보도록 합시다!
Frobenius method
우리가 power series method 를 다룰때는, 이런 조건이 붙었던 것을 기억하실 겁니다.
- 이 때 가 에서 analytic 해야한다
이것의 특수한 경우로,
- 이 때 가 에서 analytic 해야한다.
요런 얘기까지 같이 했던 것도, 확인하러 가봅시다 ㅋㅋ
첫 번째 내용은 이미 다뤘고, 두 번째 내용을 이제 함께 다뤄보려고 합니다. Frobenius method 의 경우 기본적인 series solution의 형태를
으로 놓고 출발한다고 했는데요, 그것을 푸는 방식에 대해 자세히 다뤄보도록 하겠습니다.
#0. 예제를 풀기 전에
염두에 둘 가장 큰 차이점은, 이전의 풀이에서는 구해야 할 것이 뿐이었다면, 이번에는 까지 신경을 써주어야 합니다. 그래서, 을 먼저 구한 다음 에 대한 점화식을 구해야 하는데, second order ODE의 경우에는 에 대한 이차방정식이 나오는 경우가 대부분이라서, 두 가지 이 나오면 의 계산도 두 번을 해줘야 합니다 ㅠㅠㅠㅠ 그만큼 복잡하겠죠~
그렇다면 은 어떻게 구하느냐!
power series method 에서는 을 최저차항으로 두고 거기서 부터 시그마 기호가 시작했더라…였는데, 이번에는 ‘최저차항’에 대한 개념이 살짝 달라집니다.
위의 식을 보면, 일 때가 시그마 안에 있는 항들의 최저차항인데, 그 경우에도 이 앞에 붙어있어서 과 관련된 항이 의 최저차항이 된다는 것입니다. 즉, 이라던가, 이라던가, 라던가……..하는 식으로 말이죠!
그러니 과 관련된 항이 최저차 항이라고 생각하고 풀어줘야 하는데, 마침 우변이 0이라는 겁니다. 0이려면 모든 항이 전부 0이어야 하는데, 그러면 당연히 이 포함된 최저차항의 계수도 0이어야 겠죠. 그것을 이용해서 의 값을 일단 구하는 것입니다.
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 자 무슨 말인지 모르겠으면, 일단 따라와 봅시다! 가장 쉬운 예시 하나로 일단 ‘과정’부터 익혀보아요~
#1. 한 번 미분
눈치채셨나요? ㅋㅋㅋㅋ 이번에는 으로 계속 시그마 아래의 항이 일정합니다. 때문에 아직은! 그렇게 신경을 써주지 않아도 되는거죠. 물론, 이면 어떻게 하느냐….라고 하실수도 있지만, 일단 ‘신경을 쓰지 않고 풀어보자’라는 컨셉에서 시작을 합니다.
#2. 대입, r구하기
이번에는 치환 과정이 딱히 필요하지 않습니다. 그렇다면 저 식 들을 원 방정식에 쭉 대입해 보겠습니다.
하하……ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
해놓고 보니, 항과 항이 살아남았습니다. 한 번 정리해주면…
그냥 정리한겁니다 당황하지 말고…….
자 그럼 우리는, 최저차항이 무엇인지 잘 봐야 합니다.
일 때, 이 최저차항으로 남아있겠더라….는 것을 눈으로 따라오셨나요? 그러니 정리식의 첫번째 시그마 안에 있는 애들은 고려대상이 아니라는 겁니다. 그건 최저차항이 아니니까요!
을 두 번째 시그마 안에 있는 애들한테 대입하면,
이라는 식을 얻을 수 있는 겁니다. 즉, 이고, 이라는 중근을 얻을 수 있겠네요.
#3. 다시 대입
그러면 을 정리한 식에 다시 넣어줍니다. 그러니까….
요기에 을 넣어주면
그런데 이러고 나니까, 두 번째 시그마의 첫 항이 이 되어 버렸습니다. 이제부터 에 신경을 쓰기 시작해야 합니다ㅠㅠㅠㅠㅠ
분수항이 나오지 않도록 이제 로 바꿔준 뒤 다시 고쳐보면…..
#4. 치환
익숙한 일을 해봅시다. 과 를 전부 로 치환하는 겁니다. 첫번째 시그마 안에 있는 애들은 그냥 을 로 바꿔주기만 하면 되고, 두번째 시그마 안에 있는 애들은 을 로 바꿔주는 겁니다.
#5. 점화식
결국, 를 얻게 됩니다. 물론 부터!
#6. 원함수
대입하면,
이런 형태를 얻을 수 있을 겁니다. 에서 analytic 하다는 판정이 있었으니, 이 급수는 수렴할 것이라고 판단하면…….
이런 해를 하나 얻을 겁니다. 는 상수니까, basis를 구하면 로 구해졌습니다.
#7.
끝난게 아닙니다. 우리는 아직 만 알고 있고, 를 구하지 않았습니다.
자, 왜 Frobenius method에서는 해 두개를 각각 구해주어야 하느냐…
이라는 새로운 변수가 생겼기 때문에! 그렇습니다. 그냥 일반적인 power series method 에서는 점화식 구해서 해 놓은 다음에, basis 두개 를 적당히 묶어서 쓰는 거였지만 이번에는 의 값이 하나로 정해지면 basis 도 하나 정해진다는 가정하에, 또 다른 해를 한 번 더 구해줘야 합니다 ㅠㅠㅠㅠ
하지만 중근이 나왔는데 어떻게 하냐구요? 바로 우리가 예전에 했던, 차수축소법Reduction of order를 사용하는 겁니다.
이렇게 놓고 를 구해보시면 됩니다!
를 얻을 수 있을 겁니다. 꼭 한번 풀어보세요~
about r
위에서 풀었던 예제는 정말 ‘쉬운’ 예제였기 때문에, 이 딱하나 나오고 식도 깔끔하게 정리되고 차수축소법도 잘 적용이 되는 좋은~ 예제였습니다. 항상 이 저렇게 나와주면 좋겠지만, 식이 깔끔하게 정리되면 좋겠지만 그렇질 못하니………
마찬가지로 의 경우를 세 가지로 나눕니다. 그런데 이번에는 두 실근/중근/두 허근 으로 나누는 것이 아닙니다.
- 중근
- 가 정수인 두 근
- 가 정수가 아닌 두 근
2번 같은 경우는, 이런 예시를 들 수 있겠고, 3번은 의 경우를 들 수 있겠습니다.
- +)잡담 사실 이렇게 나누는 이유를 알고자 조사를 해봤는데……….’기초’공학수학 포스팅에서 다루기에는 너무 수학적으로 깊이가 있어서 여기서는 그냥 ‘이렇다~’ ‘이런 경우에는 답이 이거다~’라고만 언급하고 가겠습니다 ㅠㅠ
절대 이해를 못해서 그런건 아님 - 자세한 것을 원하신다면, 여기로 링크를 걸어드리겠습니다 ㅋㅋㅋ
각각에 대해서, 정말 ‘일반화된’ 케이스를 써보려 합니다. 이 이론은, 먼저 을 위의 순서를 따라 구한 다음, 를 구하는 과정에 대한 이론입니다! 안타깝게도 은 구해야 하는 현실…ㅠㅠ
중근을 가지는 경우
가 정수인 두 근을 가지는 경우
(단, )- 가 정수가 아닌 두 근을 가지는 경우
이 경우에는 그냥 에 대해서도 한 번 더 계산을 해주면 됩니다!
구체적인 증명은, 생략하고 지나간다고 하더라도….ㅋㅋㅋㅋ 뭔가 꺼림칙하죠? ㅋㅋ 어떤건 부터 시작하고, 부터 시작하고, 갑자기 가 붙기도 하고………..
이 세 가지 경우 모두 다음 포스팅에서 함께 예시를 통해 풀어보도록 하겠습니다. 일단 저렇게 세 가지 경우에 대해서, 3번 경우는 둘 다 계산을 해줘야 하고, 1, 2번 경우는 저 공식에 따라 , 을 찾아주어야 합니다. 물론, 정확하게 딱! 정리가 된다면 차수축소법을 쓰면 되겠지만…그렇지 않은 경우 를 대입해서 또 를 또 다시 구하는 것 보다야 낫지 않겠느냐….라는 거죠.
일단, 다음포스팅, 어쩌면 그 다음 포스팅까지, 위에서 언급한 세 가지 경우를 함께 풀어보면서 어떻게 푸는구나! 라는 감을 함께 잡기 위해 노력하겠습니다 ㅋㅋㅋㅋ 멘붕을 가라앉히고 ㅠㅠ 다음 포스팅에서 다시 봅시다~
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