재료공학부 : 재료이동현상론 (Transport Phenomena in Materials)

1. 과목에서 배울 수 있는 내용

0) 과목 개요

재료이동현상론은 재료공학부 3학년 1학기(권장) 전공선택 과목으로서 각종 공정과 실생활 상황에서 발생하는 열과 물질의 전달 및 이를 매개하는 유체의 움직임에 대한 기반 원리를 배우는 과목입니다. 강의의 전반부에서는 재료 내에서의 열전달 현상에 대하여 학습하며, 중후반부에서는 공정 과정에서의 물질전달과 유체의 유동 경로에 대해 배우게 됩니다. 이 과목을 수강한 후에는 ‘확산’의 원리를 일관적인 기초로 하여 미분방정식을 해석적으로, 혹은 수치적으로 풀어 장기에서의 평형인 steady state와 이로 이르는 과정인 unsteady state에서의 여러 물리량의 profile을 계산할 수 있게 될 것입니다. 또한, 이러한 이동현상이 재료의 합성공정을 비롯한 여러 재료공학적 과제에 적용되는 실제 예시에 대한 설명도 접할 수 있어 공정 설계에서의 여러 rate 변수 설정에 대한 insight를 얻어갈 수 있습니다.

1) 열 전달 (Heat(or Energy) transfer)

본 수업에서는 우선 열 전달의 3가지 형태 : 전도, 복사, 대류 중 전도 현상에 대해 주로 다루게 됩니다. 초반에는 이상기체의 운동모델을 바탕으로 한 열 전도의 기초이론을 소개하며, 고체 내의 phonon과 electron 등 carrier에 따른 열 전달 유형에 대해 간단히 다룹니다. 해당 part는 강의의 핵심 내용과는 약간의 거리가 있으나, 물질과 에너지, 운동량의 이동현상은 유사한 메커니즘으로 이루어진다라는 insight를 얻는 데에 큰 도움을 줄 수 있으므로 강의의 정성적인 흐름을 따라가며 이해하시는 것을 추천드립니다.

이후에는 전도현상을 설명하는 대표적인 공식으로서, 재료 내의 온도 분포(T)가 주어져 있을 때, 열 흐름율(q)을 기술하는 Fourier’s Law를 배웁니다. 식의 형태에서 온도 기울기가 급할수록 이에 비례하여 열이 더 많이 이동함을 알 수 있습니다. 특히, 이와 같이 물리량의 밀도 gradient에 의해 물리량의 흐름 정도(flux)가 결정된다는 법칙을 수업 전반에 걸쳐 빈번히 접하게 되므로 이러한 형태의 수식을 잘 기억해두시면 좋을 것 같습니다.

Eqn 1) Fourier equation         k는 열 전도도를 의미합니다.

열의 흐름에 대한 개념을 익힌 후, 물리량의 flux의 공간적 분포와 물리량 밀도의 시간변화율을 관련짓는 연속방정식(continuity equation)을 열에너지에 대응시켜 Energy balance에 관한 식을 얻게 되며, 가장 일반적인 식은 다음의 꼴로 작성됩니다.

Eqn 2) Energy Balance equation

다양한 상황에서 위의 두 식을 적용하여 계 내의 온도분포를 얻을 수 있으며, 문제에서 주어진 경계조건(Boundary Condition)을 분석 및 대입하여 여러 유형의 편미분방정식을 풀고 각각의 해의 형태를 살펴보게 됩니다. 수업에서 다루는 간단한 경계조건으로는 계의 edge가 온도가 일정한 열원과 접촉되어있는 경우, 유체에 잠겨있어 대류로 일정 비율의 열 손실이 일어나는 경우, 대칭성을 이용하는 경우 등이 있습니다. 더하여, 공학적 용도에 따라 방정식의 시간 항을 고려할수도, 그렇지 않을 수도 있으며 이에 의해 steady / unsteady state 각각의 상황에서 해의 형태가 어떻게 다른지도 알아봅니다. 직접 계산으로 해를 도출하는 해석적인 방식 외에도 grid를 활용하여 numerical한 해를 구하거나, Biot / Fourier number 등의 parameter를 기반으로 한 Heisler chart를 활용하는 등 다양한 방식을 수업에서 다룹니다. 따라서 특정 상황 하에서 온도 분포를 구하는 것이 요구될 때 경계조건을 빠르게 분석하고 가장 적합한 해법을 적용하는 것이 중요하며, 아래와 같은 다양한 예시들을 반복적으로 접하여 익숙해지도록 연습하면 상당히 도움이 됩니다.

예시 1) 1D finite bar, 열원 접촉으로 양 끝의 온도가 고정되어있는 B.C 하에서

1. heat generating / steady state solutionunsteady state solution

직교좌표계에서 2계 미분방정식을 풀어 다음과 같은 포물선 형태의 온도 분포를 얻을 수 있습니다.

     2. unsteady state solution

푸리에 급수가 사용되어 복잡하지만... 여전히 해석적인 해를 구할 수 있습니다. 시간이 경과할수록 steady state에 가까워집니다.

 

예시 2) Grid를 사용한 Energy balance eqn의 수치해석적 해 계산 예시

B.C : No heat generation, steady state solution ‘EXCEPT’ point at boundary (경계에서의 식은 다소 다릅니다.)

 

이후에는 Lumped model 등 더욱 다양하고 복합적인 case에의 적용을 위한 skill을 주로 소개합니다. 마지막 part에서는 복사(radiation)를 간단히 다루고 있는데, 양자역학적 복사파 이론을 기반으로 한 열 전달률 계산에 초점이 맞추어져 있습니다. 슈테판-볼츠만 법칙이나 플랑크의 에너지 spectrum 등에 대한 설명이 빠르게 이어지기 때문에 다소 낯설고 어려움을 느낄 수 있습니다. 하지만, 본 수업에서 다루는 열 전달에 활용되는 형태는 열저항 회로 구성, 열 전도 상황에서의 경계조건 정도로 국한되므로 개념 이해 + 특정 공식의 기계적 응용만 숙달한다면 큰 부담 없이 받아들일 수 있을 것입니다. 이 부분까지가 본 과목의 중간고사 범위에 해당하는 내용으로, 열 전도를 주제로 이동현상의 기반 원리에 대한 정성적, 정량적 설명이 자세하게 이루어져 상당히 많은 강의시간이 할애되는 부분입니다.

물리량의 이동현상에 관한 다음의 두 가지 절대적 성질을 먼저 리마인드하고, 물질전달이론과 유체역학에서 이것이 어떻게 나타나는지 확인해보시면 강의의 결이 더 잘 보이실 겁니다.

1. 물리량의 흐름(flux)은 물리량의 밀도를 나타내는 지표의 gradient에 의해 결정된다.

2. 물리량의 flux로 인해 밀도를 나타내는 지표가 시변(time-varying)하고 해당 관계를 ‘연속방정식’으로 나타낼 수 있다.

 

2) 물질전달(Mass Transfer)

물질전달 part는 이상기체 모델과 재료 내에서의 microscopic picture의 변화를 기반으로 한 확산 현상과 diffusivity 개념의 설명으로, 열 전달 현상과의 유사성을 확인하며 시작됩니다. 이후, Fick의 제 1법칙으로 정의된 물질의 flux를 배우고, ‘양’에 대한 연속방정식을 세움으로써 mass balance equation을 정의하여 농도변화와 mass flow 사이의 관계를 확인합니다.

Eqn 3) 1차원에서의 Fick's Law; 3차원에서는 그래디언트로 표현하면 됩니다. (왼쪽은 무게단위, 오른쪽은 수량단위로 표현)

Eqn 4) 왼쪽은 Mass Balance Equation, 오른쪽은 mass balance에 쓰이는 mass flux를 이(2)성분계에서 정의한 것

 

식의 형태를 확인했으니 열 전달과 같이 주어진 문제 상황에서 여러 경계조건을 추출하고 이를 대입하여 각 상황에 대응하는 특정한 해의 형태를 도출할 수 있게 됩니다. 수업에서는 대표적으로 계 내의 반응 유형 및 species 별 확산비에 따라 달라지는 경계조건 설정방식을 중점적으로 다룹니다. 예시로, 아래의 Fig 1에서는 반응 유형이 homogeneous(균일반응)와 heterogeneous(표면반응)으로 달라질 때 어떠한 경계조건을 추가해줄 수 있는지를 보여주고 있습니다. 특히 물질전달은 특정 화학반응이 유도되는 계에서 핵심적으로 활용될 수 있는데, 교수님께서도 CVD (Chemical Vapor Deposition) 등의 합성 및 유동공정에 적용할 수 있음을 보여주시는 등 공학 내 실제 예시에 대해 많이 이야기해주시려 노력하십니다.

왼쪽은 reaction의 종류(Homo/Hetero)에 따라 달리 나타나는 경계조건을, 오른쪽은 CVD의 과정을 보여주는 diagram이다.

 

3) 운동량 전달 : 유체역학 (Momentum transfer : Fluid Mechanics)

유체역학 part 또한 운동량의 전달현상으로 유체의 유동을 정의하는 Newton’s Law를 우선 배웁니다. 그와 함께 이상 기체 상황에서 비례상수인 viscosity의 유도과정을 살펴봄으로써 열 전도 및 물질전달에서의 확산과 유사한 메커니즘을 가짐을 살펴보게 됩니다. 이에 더하여 Shear thickening/thinning 등 몇몇 독특한 유체의 거동 경향을 가볍게 설명하나, 후속 내용에서는 Newtonian, 비압축성 유체를 중점적으로 다룰 것입니다.

Eqn 5) Newton's Law             mu는 점성(viscosity)를 의미

이제, 유체의 유동으로 일어나는 운동량의 확산을 재료역학에서의 stress와 strain의 관계로 설명할 수 있다는 것에 집중하여 hydrostatic 상황에서 momentum balance 식을 유도하는 과정을 배웁니다. Substantial derivative(물질 도함수)라는 새로운 미분형식을 정의하고 Newton의 운동법칙 (F=ma)을 만족시키도록 여러 유형의 stress를 고려하여 식을 세움으로써 아래와 같은 Navier-Stokes equation을 얻게 됩니다.

Eqn 6) Navier-Stokes equation

마찬가지로 계의 geometry에 따라 다양한 좌표계에서 주어진 경계조건을 적용하여 상황별 유체의 흐름도를 구하는 연습을 하게 됩니다. 본 수업에서는 중력에 의한 수직방향으로의 물의 흐름이나 Stirring에 의해 일어나는 유체의 회전 등의 case를 대표 모델로 다룹니다. (Fig 2의 예시 참고) 더하여, 에너지 손실이 없는 이상적인 가정 하에서 Bernoulli’s equation으로 에너지 보존을 표현할 수 있음을 배우며, 이를 이용하여 유체의 연속적인 흐름 내 특정 지점에서 유체의 압력이나 속력을 구하는 예제를 풀어봅니다.

Couette viscometer : 원통좌표계에서 Navier-Stokes equation을 풀어 유체의 흐름과 점성 사이의 관계를 얻음으로서 점성을 측정한다.

본 수업의 마지막 부분에서는 Newton’s Law로 정의되는 흐름(Laminar flow; 층류) 외에 유체 자체 관성력에 의해 발생하는 turbulent flow(난류)에 대하여 설명하고 Reynolds number를 기준으로 구분 짓는 법을 다룹니다. Additional한 심화 내용으로, 유체의 background flow가 주어져 있을 때 flat surface 근방의 영역에서 laminar-turbulent flow의 development가 어떠한 양상으로 이루어지는지를 설명하는 boundary layer theory 또한 학습하게 됩니다. 해당 부분에서는 유체의 이동 뿐 아니라, 이를 매개로 한 열의 대류현상에 대한 이론도 함께 접할 수 있습니다. 앞에서 학습한 이동현상의 개념을 총망라하는 부분으로 활용되는 수식의 종류가 많고 유도과정이 복잡하며 외워야 할 parameter의 수 또한 많아 가장 난이도 있는 내용이라 할 수 있습니다. 하지만, 박막 단위의 합성 공정에서 layer의 두께를 고려하여 실험 조건이나 주요 변수를 control하는 데에 배경 지식이 되는 등 재료공학의 여러 분야에서 활용도 높은 설명을 들을 수 있으므로 관심이 있는 학우분들은 꼼꼼히 학습하면 분명 도움이 될 것입니다.

그림과 같은 CVD 박막증착 공정에서 boundary layer theory를 고려하여 여러 공정변수를 제어할 수 있다.

 

2. 선배의 조언

이 과목을 수강하다 보면 다른 재료공학부 전공 과목들과는 ‘결이 다르다’라는 느낌을 많이 받으실 겁니다. Concept 이해 자체에 높은 비중을 두는 다른 과목들에 비해 편미분방정식 풀이를 기반으로 하는 계산 테크닉이 자주 쓰이며 따라서 수학적 maturity를 어느 정도 요구하는 듯한 느낌이 들기 때문입니다. 그러나 제가 가장 하고 싶은 말은 이 과목을 들으면서 절대 ‘수식에만 매몰되지 마라’는 것입니다. 다양한 공식이 나오고 이를 응용해야하는 과목이니만큼 많은 분들이 단순히 수식 형태 암기 및 기계적 적용에만 초점을 맞추어 공부하게 되었던 것 같습니다. 하지만, 결국 이 과목의 내용을 100% 이해하고 받아들이기 위해 필요한 것은 ‘수학적 기호로 표현된 법칙의 물리적 의미를 파악하는 것’이었던 것 같습니다. 수식이 표방하는 핵심 원리가 무엇인가, 그리고 수식의 각 항은 이 원리를 설명하기 위한 요소 중 어느 것에 대응하는 가를 우선 고민해보는 것이 추후에 advanced된 내용으로 계속 step-up을 함에 있어 basis를 탄탄하게 마련하는 데에 분명 도움이 될 것입니다. (이러한 점 때문에 위의 1번 항목을 작성하면서 각 공식의 과학적 의미와 이로부터 이끌어내어질 수 있는 보편적 원리를 해설하는 데에 초점을 맞추려 하였습니다.)

수업에서 설명하는 이동현상의 기본적인 concept를 어느 정도 이해하고 받아들이시는 데 성공하셨다면 응용 예시를 알아보거나 연습문제를 푸는 등 추가적인 공부를 하면서 개념 보완 및 편미분방정식 풀이 연습을 하는 것을 원하실 겁니다. 본 수업은 Welty, Bird 저 등 2~3개, 혹은 그 이상의 source에서 다루는 내용을 종합하여 cover하고 있으므로 이들을 참고하는 것이 어느 정도는 도움이 됩니다. 단, 주(Welty)/부교재(나머지) 속 문제 유형이 수업에서 다루는 case와 다소 상이하고, 난이도도 괴리가 있으므로 ‘이런 문제에도 응용이 가능하구나’ 정도만 확인하고 개념 설명에 부족했던 부분을 보완하는 정도로만 활용하시는 것이 좋을 것입니다.

마지막으로 교수님께서 물질전달과 유체역학 파트를 열 전달과의 유사성을 중심으로 빠르게 설명하며 넘어가시는 편입니다. 따라서, 열 전달 부분에서 다루는 주요한 수식의 의미와 형태, 각 상황별로 경계조건이 어떤 식으로 구성되는지와 그때의 해의 형태 등을 숙달해두셔야 중후반부 부분의 학습을 막힘 없이 할 수 있습니다. 열 전달 부분의 큰 틀과 세부 내용 모두 꼼꼼히 학습해두기를 매우매우 권장드립니다.

 

3. 진로 선택에 도움되는 점

3학년에 이르면 많은 재료공학도 분들이 ‘그래서 난 방대한 재료의 종류 중 어떤 분야를 공부/연구해야할까?’를 고민하게 됩니다. 재료이동현상론에서 다루는 개념과 사례는 어느 특정 재료 분야에 특화된 지식은 아니지만, 반대로 거의 모든 재료 분야에 공통적으로 적용될 수 있는 내용입니다. 이미 소개한 CVD 등 합성공정에서의 parameter control 뿐 아니라 system 내의 이동현상에 따른 performance와 안정성 평가 등 재료공학에서 다뤄지는 거의 모든 과정과 결과물들을 분석하는 데에 이론적 기초가 될 수 있습니다. 장혜진 교수님이 수업에서 언급해주신 예시(교수님의 연구분야이기도 합니다)를 인용하면, electronics 내 carrier 들의 interaction에 의한 열 전달 경향을 바탕으로 재료나 device의 성능 열화를 예측하개선 방향성을 잡아주는 것에 본 수업에서 다루는 지식이 응용되어 사용될 수 있다고 합니다.

이처럼 아직 구체적으로 어떠한 재료 분야를 세부전공으로 할지 정하지 못한 상태더라도 어떻게든 이 과목에서 배운 내용이 추후 자신의 연구과정에 도움이 될 여지는 충분히 있을 것입니다. 또한 교수님께서 수업에서 다루어지는 단순 물리적인 개념들이 재료공학 각 분야에 어떻게 응용되고 있는지를 틈틈이 알려주시기 때문에 이론과 실제 사례의 연관관계를 한눈에 알아보기에도 상당히 용이한 수업입니다. 따라서 대부분의 학우 분들께 진로분야 불문 추천하고 싶은 강의이며, 특히 다음에 해당한다면 더욱 수강을 권장하고 싶습니다.

ㄱ. 제작, 합성 분야보다는 공정설계 및 물성분석 분야에 관심을 두고 있는 학우

ㄴ. 본인이 어느 정도 물리나 수학 공부 요령을 알거나, 이에 흥미를 많이 가지고 있는 학우

ㄷ. 그 외 이동현상이 관여될 여지가 어느 정도 있으면 되도록 (Ex. 상전이, 확산 등과 관련된 topic을 다루는 연구를 하고 싶은 경우)

 

4. 맺음말

분명 재료공학 전공과목 중에서 개념과 문제풀이의 난이도 모두 까다로운 쪽에 속하는 과목임은 부정할 수 없습니다. 하지만 과정이 쓰면 열매가 달다는 말이 있듯, 해당 과목을 수강하여 열심히 공부하면 그만큼 재료공학, 특히 공정 관련 지식이나 insight를 얻어가기 좋은 수업임을 다시 한 번 강조드리고 싶습니다.

[Reference]
2023-1 ‘Transport Phenomena in Materials’ 강의자료 (prof. Hyejin Jang)
Bird, Stewart, Lightfoot. ‘Introductory Transport Phenomena’ (2014)
Welty, Rorrer, Foster ‘Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer’ 5th Ed. (2007)