Vector Calculus 06. Vectors _ 01

벡터 _ 1편

이번에 소개할 개념은 여러분이 고등학교에서 익히 배워온 벡터(Vector)입니다. 벡터 미적분학의 큰 부분을 차지하고 있는 벡터는 대체로 다음의 두 가지 동등한 표현법 ¹으로 표시가 되죠.

1. $n$개의 실수(Real Number)로 이루어진 순서가 있는 리스트
2. $n$차원 공간 상에서 시점과 종점이 정해진 방향을 가진 선분

이번 포스트에서는 첫 번째 표현법을 주로 사용하여, 벡터를 소개하도록 하겠습니다. 고등학교 기하와 벡터에서 익히 배웠을 벡터의 합동(Congruence) 개념은 알고 있음을 전제하고 포스트를 진행하도록 하겠습니다.

벡터, 벡터의 연산, 벡터의 크기

Definition 5.1. n차원 벡터

$n$차원 카테시안 공간(cartesian space) $\Bbb{R}$ 에 대하여,
$$\Bbb{R}^n := \{ (a_1, \cdots, a_n )|a_1, \cdots, a_n \in \Bbb{R} \}$$ $\Bbb{R}^n$의 한 원소 $v \in \Bbb{R}^n$을 n차원 벡터라 한다. 즉 n차원 벡터는 n개의 독립적은 스칼라 값의 순서가 있는 리스트이다.

공간과 좌표계 1편에서 이미 카테시안 공간 $\Bbb{R}^n$ 내 원소 간의 연산을 공부한 적이 있죠. 정의에 따르면, 카테시안 공간의 원소가 곧 벡터 이므로, 벡터의 연산은 다음과 같습니다.

$$\text{합 : } (a_1, \cdots, a_n) + (b_1, \cdots b_n) = (a_1 + b_1, \cdots, a_n + b_n) \\ \text{실수배 : } t(a_1, \cdots, a_n) = (ta_1, \cdots, ta_n) \quad (\text{t는 실수})$$

$t$가 0이 아닐 경우, 실수배 관계에 있는 두 벡터는 서로 평행하다고 말합니다. 기하학적으로 말하는 평행과 미묘한 차이가 있음에 유의하세요. 가령, $t=1$인 경우 두 벡터는 동등한 것이지만, 벡터에서는 평행한 것이기도 합니다.

또한 거리 공식(혹은 피타고라스의 정리)를 이용하여 벡터의 크기(Magnitude)를 정의합니다.

Definition 5.2. 벡터의 크기

벡터 $v = (v_1, \cdots, v_n)$ 의 크기는 $|v|$로 표기되며, 다음과 같이 정의되는 양이다.
$$|v| := \sqrt{v_1^2 + \cdots + v_n^2}$$ 특히, 크기가 1인 벡터는 단위벡터(Unit Vector) 라고 부른다.

• Sample Problem 5.1.
  “벡터 $(3, 4, 0)$과 반대 방향으로 평행한 단위 벡터를 기술하시오.”

구하고자 하는 벡터는 $v = - t (3, 4, 0) \; (t>0)$의 형태이다.

단위벡터이므로 그 크기가 1이고, 따라서 $5t = 1 \rightarrow t = 0.2$
$\therefore v = (-0.6, -0.8, 0)$

벡터의 내적

Definition 5.3. 벡터의 내적(Inner Product)

$\Bbb{R}^n$ 상의 두 벡터 $\mathbf{a} = (a_1, \cdots, a_n) , \; \mathbf{b} = (b_1, \cdots, b_n)$에 대하여, 두 벡터 $\mathbf{a}, \; \mathbf{b}$의 내적은 다음과 같이 정의된다.
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} := a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n$$ 즉, 내적은 벡터와 벡터의 곱을 스칼라로 보내는 함수($\Bbb{R}^n \times \Bbb{R}^n \rightarrow \Bbb{R}$)이다.

내적의 정의에 의해, 다음의 성질들은 자명하게 성립함을 확인해보시기 바랍니다.
($\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \Bbb{R}^n , t \in \Bbb{R}$)
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a} \\ (t\mathbf{a})\cdot\mathbf{b} = t(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot(t\mathbf{b}) \\ (\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{c} = \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} \\ \mathbf{a}\cdot\mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 \ge 0 \\ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\frac{1}{2}(|\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2-|\mathbf{a}|^2-|\mathbf{b}|^2)$$ 이제는 다소 증명이 필요한 성질에 관한 이야기를 시작해볼까요.

Theorem 5.1. 벡터의 직교 투시(Orthogonal Projection)

$\Bbb{R}^n$ 상의 두 벡터 $\mathbf{a} = (a_1, \cdots, a_n) , \; \mathbf{b} = (b_1, \cdots, b_n)$가 있을 때, $\mathbf{b}$에 평행한 벡터 중 $\mathbf{a}$에 가장 근접한 벡터 $\mathbf{a_1}$는
$$\mathbf{a_1} = \frac{\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{b}|^2}\mathbf{b}$$ 이다.

$\mathbf{b}$에 평행한 벡터는 $t\mathbf{b} \ (t \in \Bbb{R})$로 표현되므로, 다음의 $t$에 대한 함수$f(t)$의 최솟값을 구하면 된다.
$$f(t) = |t \mathbf{b} - \mathbf{a} |^2 = |\mathbf{b}|^2 t^2 - 2(\mathbf{b}\cdot\mathbf{a})t + |\mathbf{a}|^2$$ 이는 아래로 볼록한 이차함수이므로, 포물선의 꼭짓점에서 최소값을 가지며 이 때 $t$는 $$t = \frac{\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{b}|^2}$$ 이 되므로 증명 완료. □

위의 정리에서 표시되는 실수 $\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}/|\mathbf{b}|^2$을 벡터 $\mathbf{a}$의 $\mathbf{b}$에 관한 성분(Component)라 일컫기도 합니다.

두 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$가 이루는 각도는 내적과 관계가 깊습니다.

두 벡터가 이루는 각도 $\theta$ 또한 벡터의 내적과 연관지을 수 있습니다.

Theorem 5.2. 벡터의 내적과 벡터 사이의 각도(Angle)

$\Bbb{R}^n$ 상의 두 벡터 $\mathbf{a} = (a_1, \cdots, a_n) , \; \mathbf{b} = (b_1, \cdots, b_n)$가 있고, 두 벡터가 이루는 각도가 $\theta$일 때, 다음이 성립한다.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$$

그림 상에서 $|\mathbf{a_1}| = |\mathbf{a}|\cos\theta$. 한 편, Theorem 5.1.에 따라 $$|\mathbf{a_1}| = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$$ 가 성립하므로, $$|\mathbf{a}|\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} \rightarrow \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$$ 증명 완료. □

• Sample Problem 5.2.
  “(CBS 부등식²) $|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \le | \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} |$ 를 증명하고, 등호가 성립하는 경우를 조사하시오.”

Theorem 5.2.에 따라, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$. 한편, $|\cos \theta| \le 1$ 이므로 부등식이 성립함은 증명된다.

등호가 성립하는 경우는 $|\cos\theta|=1$, 즉 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$가 평행한 경우이다.

• Sample Problem 5.3.
  “$\Bbb{R}^n$ 공간에서, 영벡터는 모든 벡터에 수직(내적하면 0이 되는)한 유일한 벡터임을 증명하시오.”

영벡터는 어떤 벡터와 내적하여도 그 값이 0이 됨은 자명하다.

영벡터가 아닌 벡터 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3,\cdots,v_n) \in \Bbb{R}^n$이 존재하여, 그것이 모든 벡터에 수직하다고 가정하자. 그러면 $\mathbf{v}$는 $(1,0,0,\cdots,0)$에 수직하므로,
$$1v_1 + 0v_2 + \cdots + 0v_n = v_1 = 0 \rightarrow v_1 =0$$ 마찬가지로, 모든 $v_k =0 \ (k=1,\cdots,n)$임을 보일 수 있다.

이는 $\mathbf{v}$가 영벡터가 아니라는 가정에 위배된다. 따라서 영벡터만이 모든 벡터에 수직한 유일한 벡터임이 증명되었다. □

2편에서는 벡터를 이용한 기하학적 도형(평면, 직선)의 표현 방법과, 벡터의 선형독립(Linear Independence)에 대해 살펴보도록 하겠습니다. 

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1. 동등한 표현법이란, 두 방법 중 어떤 것을 정의로 택하고 시작해도 다른 것과 수학적으로 동치관계가 될 수 있음을 뜻합니다. ↩

2. 스칼라 식으로 정리하면, 우리가 익히 알던 코시-슈바르츠 부등식이 됩니다. ↩