08. Comparison with the Riemann Integral

Comparison with the Riemann Integral

먼저 혼동을 막기 위해 Lebesgue measure $m$에 대하여 르벡 적분을 $$\int_{[a, b]} f \,d{m} = \int_{[a, b]} f \,d{x} = \int_a^b f \,d{x}$$ 와 같이 표기하고, 리만 적분은 $$\mathcal{R}\int_a^b f\,d{x}$$ 로 표기하겠습니다.

정리. $a, b \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $a < b$ 이고 함수 $f$가 유계라고 하자.

1. $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 이면 $f \in \mathcal{L}^{1}[a, b]$ 이고 $\displaystyle\int_a^b f\,d{x} = \mathcal{R}\int_a^b f \,d{x}$ 이다.
2. $f \in \mathcal{R}[a, b]$ $\iff$ $f$가 연속 $m$-a.e. on $[a, b]$.

쉽게 풀어서 적어보면, (1)은 $f$가 $[a, b]$에서 리만 적분 가능하면 르벡 적분 또한 가능하며, 적분 값이 같다는 의미입니다. 즉 르벡 적분이 리만 적분보다 더 강력하다는 것을 알 수 있습니다.

또한 (2)는 리만 적분 가능성에 대한 동치 조건을 알려줍니다. Almost everywhere라는 조건이 붙었기 때문에, $\mathcal{L}^1$의 equivalence class를 고려하면 사실상 연속함수에 대해서만 리만 적분이 가능하다는 뜻이 됩니다.

증명. $k \in \mathbb{N}$ 에 대하여 구간 $[a, b]$의 분할 $P_k = \{a = x_0^k < x_1^k < \cdots < x_{n_k}^k = b\}$ 를 잡는다. 단 $P_k \subseteq P_{k+1}$ (refinement) 이고 $\left| x_{i}^k - x_{i-1}^k \right| < \frac{1}{k}$ 이 되도록 한다.

그러면 리만 적분의 정의로부터 $$\lim_{k \rightarrow\infty} L(P_k, f) = \mathcal{R}\underline{\int_{a}^{b}} f\,d{x}, \quad \lim_{k \rightarrow\infty} U(P_k, f) = \mathcal{R} \overline{\int_{a}^{b}} f \,d{x}$$ 임을 알 수 있다.

이제 measurable simple function $U_k, L_k$를 다음과 같이 잡는다. $$U_k = \sum_{i=1}^{n_k} \sup_{x_{i-1}^k \leq y \leq x_{i}^k} f(y) \chi_{(x_{i-1}^k, x_i^k]}, \quad L_k = \sum_{i=1}^{n_k} \inf_{x_{i-1}^k \leq y \leq x_{i}^k} f(y) \chi_{(x_{i-1}^k, x_i^k]}.$$ 그러면 구간 $[a, b]$ 위에서 $L_k \leq f \leq U_k$인 것은 당연하고, 르벡 적분이 가능하므로 $$\int_a^b L_k \,d{x} = L(P_k, f), \quad \int_a^b U_k \,d{x} = U(P_k, f)$$ 이 됨을 알 수 있다. 여기서 $P_k \subseteq P_{k + 1}$ 이 되도록 잡았기 때문에, $L_k$는 증가하는 수열, $U_k$는 감소하는 수열이다.

그러므로 $$L(x) = \lim_{k \rightarrow\infty} L_k(x), \quad U(x) = \lim_{k \rightarrow\infty} U_k(x)$$ 로 정의했을 때, 극한이 존재함을 알 수 있다. 여기서 $f, L_k, U_k$가 모두 유계인 함수이므로 지배 수렴 정리에 의해 $$\int_a^b L \,d{x} = \lim_{k \rightarrow\infty} \int_a^b L_k \,d{x} = \lim_{k \rightarrow\infty} L(P_k, f) = \mathcal{R}\underline{\int_{a}^{b}} f\,d{x} < \infty,$$ $$\int_a^b U\,d{x} = \lim_{k \rightarrow\infty} \int_a^b U_k \,d{x} = \lim_{k \rightarrow\infty} U(P_k, f) = \mathcal{R} \overline{\int_{a}^{b}} f \,d{x} < \infty$$ 이므로 $L, U \in \mathcal{L}^{1}[a, b]$ 이다.

위 사실을 종합하면 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 일 때, $$\mathcal{R}\underline{\int_{a}^{b}} f\,d{x} = \mathcal{R}\overline{\int_{a}^{b}} f\,d{x}$$ 이므로 $$\int_a^b (U - L)\,d{x} = 0$$ 가 되어 $U = L$ $m$-a.e. on $[a, b]$라는 사실을 알 수 있다. 역으로 이를 거꾸로 읽어보면 $U = L$ $m$-a.e. on $[a, b]$일 때 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 가 되는 것 또한 알 수 있다.

(1) 위 논의에 의해 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 이면 $f = U = L$ a.e. on $[a, b]$ 이다. 따라서 $f$는 measurable. $$\int_a^b f \,d{x} = \mathcal{R}\int_a^b f\,d{x} < \infty \implies f \in \mathcal{L}^{1}[a, b].$$

(2) 만약 $x \notin \bigcup_{k=1}^{\infty} P_k$ 라고 가정하면, 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 충분히 큰 $n \in \mathbb{N}$ 을 잡았을 때 적당한 $j_0 \in \mathbb{N}$ 이 존재하여 $x \in (t_{j_0-1}^n, t_{j_0}^n)$ 이면서 $$\left| L_n(x) - L(x) \right| + \left| U_n(x) - U(x) \right| < \epsilon$$ 이 되도록 할 수 있다. 그러면 $y \in (t_{j_0-1}^n, t_{j_0}^n)$ 일 때 $$\begin{aligned} \left| f(x) - f(y) \right| &\leq M_{j_0}^n - m_{j_0}^n = M_{j_0}^n - U(x) + U(x) - L(x) + L(x) - m_{j_0}^n \\&\leq U(x) - L(x) + \epsilon\end{aligned}$$ 가 됨을 알 수 있다.

위 부등식에 의해 $y \in \{x : U(x) = L(x)\} \setminus\bigcup_{k=1}^{\infty} P_k$ 이면 $f$가 $y$에서 연속임을 알 수 있게 된다.

따라서, $f$가 연속인 점들의 집합을 $C_f$라 하면 $$\{x : U(x) = L(x)\} \setminus\bigcup_{k=1}^{\infty} P_k \subseteq C_f \subseteq\{x : U(x) = L(x)\}$$ 이 된다. 한편 $\bigcup_{k=1}^{\infty} P_k$는 measure가 0 이므로, $U = L$ $m$-a.e. 인 것과 $f$가 연속 $m$-a.e. 인 것은 동치이다. 위 논의의 결과를 이용하면 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 인 것과 $f$가 연속 $m$-a.e. 인 것은 동치이다.

아래는 증명의 부산물입니다.

참고.

1. $x \notin \bigcup_{k=1}^\infty P_k$ 이면 $f$가 $x$에서 연속 $\iff f(x) = U(x) = L(x)$ 이다.
2. $L(x) \leq f(x) \leq U(x)$ 이고 measurable function의 극한인 $L(x), U(x)$ 또한 measurable이다.
3. $f$가 유계라는 조건이 있기 때문에 $f \geq 0$ 인 경우만 생각해도 충분하다. $\left| f \right| \leq M$ 라고 하면 $f$ 대신 $f + M$ 을 생각하면 되기 때문이다.

이제 리만 적분의 유용한 성질들을 가지고 와서 사용할 수 있습니다.

1. $f \geq 0$ 이고 measurable일 때, $f_n = f\chi_{[0, n]}$으로 정의한다. 단조 수렴 정리에 의해 $$\int_0^\infty f \,d{x} = \lim_{n \rightarrow\infty} \int_0^\infty f_n \,d{x} = \lim_{n \rightarrow\infty} \int_0^n f \,d{x}$$ 이다. 마지막 적분을 리만 적분으로 계산할 수 있다.
2. 닫힌 유계 구간 $I \subseteq(0, \infty)$ 에 대하여 $f \in \mathcal{R}(I)$ 라 하면 $f \in \mathcal{L}^{1}(I)$ 이다. $f_n = f\chi_{[0, n]}$ 으로 잡으면 $\left| f_n \right| \leq f$ 이므로 지배 수렴 정리를 적용하여 $$\int_0^\infty f \,d{x} = \lim_{n \rightarrow\infty} \int_0^\infty f_n \,d{x} = \lim_{n \rightarrow\infty} \int_0^n f \,d{x} = \lim_{n \rightarrow\infty} \mathcal{R} \int_0^n f \,d{x}$$ 임을 알 수 있다.
3. 마찬가지로 $f_n = f\chi_{(1/n, 1)}$ 으로 잡은 경우에도 지배 수렴 정리에 의해 $$\int_0^1 f\,d{x} = \lim_{n \rightarrow\infty} \int_{0}^1 f_n \,d{x} = \lim_{n \rightarrow\infty}\int_{1/n}^1 f \,d{x} = \lim_{n \rightarrow\infty} \mathcal{R}\int_{1/n}^1 f \,d{x}$$ 이 된다.