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지난 연재물 - 수학 & 통계학/[해석학] Measure Theory

06. Convergence Theorems

by STEMSNU 2023. 3. 31.

Convergence Theorems

르벡 적분 이론에서 굉장히 자주 사용되는 수렴 정리에 대해 다루겠습니다. 이 정리들을 사용하면 굉장히 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다.

먼저 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem, MCT)입니다. 이 정리에서는 fn0 인 것이 매우 중요합니다.

정리. (단조 수렴 정리) fn:X[0,] 가 measurable이고 모든 xX 에 대하여 fn(x)fn+1(x) 라 하자. limnfn(x)=supnfn(x)=f(x) 로 두면, fdμ=limnfndμ=supnNfndμ 이다.

증명.
() fn(x)f(x) 이므로 단조성을 이용하면 모든 nN 에 대하여 fndμfdμ 이다. 따라서 다음이 성립한다. supnfndμfdμ.

() 실수 c(0,1) 를 잡자. 마지막에 c1 로 둘 것이다. 이제 measurable simple function s0sf 라 하자. 그러면 모든 xX 에 대하여 cs(x)<f(x) 일 것이다.

이제 En={xX:fn(x)cs(x)} 으로 두면, fn(x)cs(x) 가 measurable function이므로 En 또한 measurable이다. 여기서 fn이 증가하므로 EnEn+1 임을 알 수 있고 fnf 이므로 n=1En=X 이다.

충분히 큰 NN 에 대하여 nN 일 때, 모든 x에 대하여 f(x)fn(x)>cs(x) 가 되게 할 수 있다. 그리고 fnfnχEncsχEn 이므로 fndμfnχEndμcsχEndμ, 이고 여기서 s,χEn는 simple function이다. 그러므로 s=mk=0ykχAk 라고 적으면 sχEn=mk=0ykχAkEnsχEndμ=mk=0ykμ(AkEn) 이다. n 일 때 AkEnAk 이므로, continuity of measure를 사용해 μ(AkEn)μ(Ak) 를 얻고 limnsχEndμ=sdμ 임도 알 수 있다. 이제 ()를 이용하면 limnfndμcsdμ 이므로, c1 로 두고 0sf 에 대하여 sup을 취하면 limnfndμsup0sfsdμ=fdμ 가 되어 원하는 결과를 얻는다.

참고. 만약 부등식 0fnfn+1 이 정의역 전체가 아닌 정의역의 부분집합 E에서만 성립한다고 하면, 다음과 같이 생각할 수 있다. 0fnχEfn+1χEfχE. 그러므로 단조 수렴 정리가 E에서도 성립함을 알 수 있다.

E에서 0fnfn+1f 이면 limnEfndμ=Efdμ.

참고. 함수열 fn이 증가하는 경우에만 정리가 성립합니다. 감소하는 경우에는 반례로 함수 fn=χ[n,) 를 생각할 수 있습니다. 그러면 n 일 때 χ[n,)0 입니다.

그러면 Lebesgue measure m에 대하여 =χ[n,)dm0dm=0 이 되어 단조 수렴 정리가 성립하지 않음을 확인할 수 있습니다.


지난 번에 f0 가 measurable이면 증가하는 measurable simple 함수열 sn이 존재함을 보였고, 이 sn에 대하여 적분값을 계산하여 Esndμ=n2ni=1i12nμ({xE:i12nf(x)i2n})+nμ({xE:f(x)n}) 라는 결과까지 얻었습니다. 그런데 여기서 f(x)=limnsn(x) 이기 때문에, 단조 수렴 정리에 의해 Efdμ=limnEsndμ 가 성립하여 기대했던 결과를 얻었습니다. 지난 번 설명한 것처럼, 이는 곧 르벡 적분은 치역을 잘게 잘라 넓이를 계산한 것으로 이해할 수 있다는 의미가 됩니다.

다음은 단조 수렴 정리를 활용하여 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있는 예제입니다.

참고. Measurable function f,g0α,β[0,) 에 대하여 다음이 성립한다. E(αf+βg)dμ=αEfdμ+βEgdμ.

증명. Measurable function은 measurable simple function으로 근사할 수 있고, f,g0 이므로 단조증가하도록 잡을 수 있다. 그러므로 measurable simple function fn, gn에 대하여 0fnfn+1f, 0gngn+1g 으로 잡는다.

그러면 αfn+βgnαf+βg 이고 αfn+βgn 은 단조증가하는 measurable simple 함수열이다. 따라서 단조 수렴 정리에 의해 E(αfn+βgn)dμ=αEfndμ+βEgndμαEfdμ+βEgdμ 이다.

이와 비슷한 방법을 급수에도 적용할 수 있습니다.

정리. Measurable function fn:X[0,] 에 대하여 n=1fn는 measurable이고, 단조 수렴 정리에 의해 다음이 성립한다. En=1fndμ=n=1Efndμ.

증명. n=1fn는 measurable function의 극한이므로 measurable이다. 무한급수를 부분합의 극한으로 생각하면 fn0 이므로 부분합이 증가함을 알 수 있다. 따라서 단조 수렴 정리를 적용하여 결론을 얻는다.


단조 수렴 정리와 동치인 수렴 정리를 하나 더 소개합니다. Fatou lemma로 알려져 있습니다.

정리. (Fatou) fn0 가 measurable이고 E가 measurable이라 하자. 다음이 성립한다. Elim infnfndμlim infnEfndμ.

증명. gn=infknfk 으로 두면 limngn=lim infnfn 이다. gn이 증가함은 쉽게 확인할 수 있으며 gn0 이다. gn의 정의로부터 모든 kn 에 대하여 gnfk 이므로, EgndμinfknEfkdμ 이다. 여기서 n 로 두면 Elim infnfndμ=limnEgndμlimninfknEfkdμ=lim infnEfndμ 이 된다. 여기서 첫 번째 등호는 단조 수렴 정리에 의해 성립한다.

참고. 위 증명에서는 단조 수렴 정리를 활용했습니다. 반대로 이 정리를 가정하면 단조 수렴 정리를 증명할 수 있기도 합니다. 따라서 이 둘은 동치입니다. 증명은 생략합니다.

참고. 왠지 위와 비슷한 결론이 lim sup에 대해서도 성립해야 할 것 같습니다. 구체적으로, Elim supnfndμlim supnEfndμ 일 것 같습니다. 안타깝게도 이는 성립하지 않습니다. 반례로 앞서 소개한 χ[n,)를 한 번 더 가져올 수 있습니다. 좌변을 계산해 보면 0이지만, 우변을 계산해 보면 입니다. 나중에 소개하겠지만, |fn|g 를 만족하는 함수 gL1 가 존재해야 위 부등식이 성립합니다.

참고. 르벡 적분의 몇 가지 성질을 소개하고 마칩니다.

  1. f가 measurable이고 E에서 bounded이며 μ(E)< 일 때, 적당한 실수 M>0 에 대하여 |f|M 이므로 E|f|dμEMdμ=Mμ(E)< 임을 알 수 있습니다. 그러므로 fL1(E,μ) 입니다. E의 measure가 finite라는 가정 하에, bounded function은 모두 르벡 적분 가능합니다.
  2. f,gL1(E,μ) 이고 E에서 fg 일 때, 단조성이 성립함을 보이려고 합니다. 앞에서는 0fg 인 경우에만 단조성을 증명했었는데, 이를 확장하여 함수가 음의 값을 가지는 경우에도 증명하고 싶습니다. 그러므로 양수인 부분과 음수인 부분을 나누어 고려하여 다음과 같이 적을 수 있습니다. χE(x)f+(x)χE(x)g+(x),χE(x)g(x)χE(x)f(x) 이로부터 Ef+dμEg+dμ<,EgdμEfdμ< 를 얻습니다. 따라서 EfdμEgdμ 가 성립하고, 함수가 음의 값을 가지는 경우에도 단조성이 성립함을 알 수 있습니다.
  3. fL1(E,μ), cR 라 하면 cfL1(E,μ) 입니다. 왜냐하면 E|c||f|dμ=|c|E|f|dμ< 이기 때문입니다. 적분이 가능하니 실제 적분값을 계산할 때 선형성이 성립했으면 좋겠습니다. 앞에서는 음이 아닌 실수에 대해서만 증명했었는데, 이도 마찬가지로 확장하려 합니다. c<0 인 경우만 보이면 됩니다. 이 때, (cf)+=cf, (cf)=cf+ 이므로, 다음이 성립합니다. Ecfdμ=E(cf)+E(cf)dμ=cEfdμ(c)Ef+dμ=cEfdμ.
  4. Measurable function f에 대하여 E에서 af(x)b 이고 μ(E)< 일 때 다음이 성립합니다. EaχEdμEfχEdμEbχEdμaμ(E)Efdμbμ(E). f가 르벡 적분 가능하다는 사실은 f가 bounded라는 사실을 이용합니다.
  5. fL1(E,μ) 와 measurable set AE 가 주어지는 경우, fE의 부분집합인 A 위에서도 르벡 적분 가능합니다. 이는 다음 부등식에서 확인할 수 있습니다. A|f|dμE|f|dμ<.
  6. 만약 measure가 0인 집합에서 적분을 하면 어떻게 될까요? μ(E)=0 라 하고, measurable function f를 적분해 보겠습니다. 여기서 min{|f|,n}χE 도 measurable이며 n 일 때 min{|f|,n}χE|f|χE 임을 이용합니다. 마지막으로 단조 수렴 정리를 적용하면 E|f|dμ=limnEmin{|f|,n}dμlimnEndμ=limnnμ(E)=0 임을 얻습니다. 따라서 fL1(E,μ) 이고, Efdμ=0 가 되어 적분값이 0임을 알 수 있습니다. 즉, measure가 0인 집합 위에서 적분하면 그 결과는 0이 됩니다.1

다음 글에서는 르벡 수렴 정리를 소개하겠습니다.


  1. 편의상 0=0 으로 정의했기 때문에 f 인 경우에도 성립합니다.↩︎

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