
Convergence Theorems
르벡 적분 이론에서 굉장히 자주 사용되는 수렴 정리에 대해 다루겠습니다. 이 정리들을 사용하면 굉장히 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다.
먼저 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem, MCT)입니다. 이 정리에서는 fn≥0 인 것이 매우 중요합니다.
정리. (단조 수렴 정리) fn:X→[0,∞] 가 measurable이고 모든 x∈X 에 대하여 fn(x)≤fn+1(x) 라 하자. limn→∞fn(x)=supnfn(x)=f(x) 로 두면, ∫fdμ=limn→∞∫fndμ=supn∈N∫fndμ 이다.
증명.
(≥) fn(x)≤f(x) 이므로 단조성을 이용하면 모든 n∈N 에 대하여 ∫fndμ≤∫fdμ 이다. 따라서 다음이 성립한다. supn∫fndμ≤∫fdμ.
(≤) 실수 c∈(0,1) 를 잡자. 마지막에 c↗1 로 둘 것이다. 이제 measurable simple function s가 0≤s≤f 라 하자. 그러면 모든 x∈X 에 대하여 c⋅s(x)<f(x) 일 것이다.
이제 En={x∈X:fn(x)≥cs(x)} 으로 두면, fn(x)−cs(x) 가 measurable function이므로 En 또한 measurable이다. 여기서 fn이 증가하므로 En⊆En+1⊆⋯ 임을 알 수 있고 fn→f 이므로 ⋃∞n=1En=X 이다.
충분히 큰 N∈N 에 대하여 n≥N 일 때, 모든 x에 대하여 f(x)≥fn(x)>cs(x) 가 되게 할 수 있다. 그리고 fn≥fnχEn≥csχEn 이므로 ∫fndμ≥∫fnχEndμ≥c∫sχEndμ, 이고 여기서 s,χEn는 simple function이다. 그러므로 s=∑mk=0ykχAk 라고 적으면 sχEn=m∑k=0ykχAk∩En⟹∫sχEndμ=m∑k=0ykμ(Ak∩En) 이다. n→∞ 일 때 Ak∩En↗Ak 이므로, continuity of measure를 사용해 μ(Ak∩En)↗μ(Ak) 를 얻고 limn→∞∫sχEndμ=∫sdμ 임도 알 수 있다. 이제 (⋆)를 이용하면 limn→∞∫fndμ≥c∫sdμ 이므로, c↗1 로 두고 0≤s≤f 에 대하여 sup을 취하면 limn→∞∫fndμ≥sup0≤s≤f∫sdμ=∫fdμ 가 되어 원하는 결과를 얻는다.
참고. 만약 부등식 0≤fn≤fn+1 이 정의역 전체가 아닌 정의역의 부분집합 E에서만 성립한다고 하면, 다음과 같이 생각할 수 있다. 0≤fnχE≤fn+1χE↗fχE. 그러므로 단조 수렴 정리가 E에서도 성립함을 알 수 있다.
E에서 0≤fn≤fn+1↗f 이면 limn→∞∫Efndμ=∫Efdμ.
참고. 함수열 fn이 증가하는 경우에만 정리가 성립합니다. 감소하는 경우에는 반례로 함수 fn=χ[n,∞) 를 생각할 수 있습니다. 그러면 n→∞ 일 때 χ[n,∞)↘0 입니다.
그러면 Lebesgue measure m에 대하여 ∞=∫χ[n,∞)dm≠∫0dm=0 이 되어 단조 수렴 정리가 성립하지 않음을 확인할 수 있습니다.
지난 번에 f≥0 가 measurable이면 증가하는 measurable simple 함수열 sn이 존재함을 보였고, 이 sn에 대하여 적분값을 계산하여 ∫Esndμ=n2n∑i=1i−12nμ({x∈E:i−12n≤f(x)≤i2n})+nμ({x∈E:f(x)≥n}) 라는 결과까지 얻었습니다. 그런데 여기서 f(x)=limn→∞sn(x) 이기 때문에, 단조 수렴 정리에 의해 ∫Efdμ=limn→∞∫Esndμ 가 성립하여 기대했던 결과를 얻었습니다. 지난 번 설명한 것처럼, 이는 곧 르벡 적분은 치역을 잘게 잘라 넓이를 계산한 것으로 이해할 수 있다는 의미가 됩니다.
다음은 단조 수렴 정리를 활용하여 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있는 예제입니다.
참고. Measurable function f,g≥0 과 α,β∈[0,∞) 에 대하여 다음이 성립한다. ∫E(αf+βg)dμ=α∫Efdμ+β∫Egdμ.
증명. Measurable function은 measurable simple function으로 근사할 수 있고, f,g≥0 이므로 단조증가하도록 잡을 수 있다. 그러므로 measurable simple function fn, gn에 대하여 0≤fn≤fn+1↗f, 0≤gn≤gn+1↗g 으로 잡는다.
그러면 αfn+βgn↗αf+βg 이고 αfn+βgn 은 단조증가하는 measurable simple 함수열이다. 따라서 단조 수렴 정리에 의해 ∫E(αfn+βgn)dμ=α∫Efndμ+β∫Egndμ→α∫Efdμ+β∫Egdμ 이다.
이와 비슷한 방법을 급수에도 적용할 수 있습니다.
정리. Measurable function fn:X→[0,∞] 에 대하여 ∑∞n=1fn는 measurable이고, 단조 수렴 정리에 의해 다음이 성립한다. ∫E∞∑n=1fndμ=∞∑n=1∫Efndμ.
증명. ∑∞n=1fn는 measurable function의 극한이므로 measurable이다. 무한급수를 부분합의 극한으로 생각하면 fn≥0 이므로 부분합이 증가함을 알 수 있다. 따라서 단조 수렴 정리를 적용하여 결론을 얻는다.
단조 수렴 정리와 동치인 수렴 정리를 하나 더 소개합니다. Fatou lemma로 알려져 있습니다.
정리. (Fatou) fn≥0 가 measurable이고 E가 measurable이라 하자. 다음이 성립한다. ∫Elim infn→∞fndμ≤lim infn→∞∫Efndμ.
증명. gn=infk≥nfk 으로 두면 limn→∞gn=lim infn→∞fn 이다. gn이 증가함은 쉽게 확인할 수 있으며 gn≥0 이다. gn의 정의로부터 모든 k≥n 에 대하여 gn≤fk 이므로, ∫Egndμ≤infk≥n∫Efkdμ 이다. 여기서 n→∞ 로 두면 ∫Elim infn→∞fndμ=limn→∞∫Egndμ≤limn→∞infk≥n∫Efkdμ=lim infn→∞∫Efndμ 이 된다. 여기서 첫 번째 등호는 단조 수렴 정리에 의해 성립한다.
참고. 위 증명에서는 단조 수렴 정리를 활용했습니다. 반대로 이 정리를 가정하면 단조 수렴 정리를 증명할 수 있기도 합니다. 따라서 이 둘은 동치입니다. 증명은 생략합니다.
참고. 왠지 위와 비슷한 결론이 lim sup에 대해서도 성립해야 할 것 같습니다. 구체적으로, ∫Elim supn→∞fndμ≥lim supn→∞∫Efndμ 일 것 같습니다. 안타깝게도 이는 성립하지 않습니다. 반례로 앞서 소개한 χ[n,∞)를 한 번 더 가져올 수 있습니다. 좌변을 계산해 보면 0이지만, 우변을 계산해 보면 ∞입니다. 나중에 소개하겠지만, |fn|≤g 를 만족하는 함수 g∈L1 가 존재해야 위 부등식이 성립합니다.
참고. 르벡 적분의 몇 가지 성질을 소개하고 마칩니다.
- f가 measurable이고 E에서 bounded이며 μ(E)<∞ 일 때, 적당한 실수 M>0 에 대하여 |f|≤M 이므로 ∫E|f|dμ≤∫EMdμ=Mμ(E)<∞ 임을 알 수 있습니다. 그러므로 f∈L1(E,μ) 입니다. E의 measure가 finite라는 가정 하에, bounded function은 모두 르벡 적분 가능합니다.
- f,g∈L1(E,μ) 이고 E에서 f≤g 일 때, 단조성이 성립함을 보이려고 합니다. 앞에서는 0≤f≤g 인 경우에만 단조성을 증명했었는데, 이를 확장하여 함수가 음의 값을 가지는 경우에도 증명하고 싶습니다. 그러므로 양수인 부분과 음수인 부분을 나누어 고려하여 다음과 같이 적을 수 있습니다. χE(x)f+(x)≤χE(x)g+(x),χE(x)g−(x)≤χE(x)f−(x) 이로부터 ∫Ef+dμ≤∫Eg+dμ<∞,∫Eg−dμ≤∫Ef−dμ<∞ 를 얻습니다. 따라서 ∫Efdμ≤∫Egdμ 가 성립하고, 함수가 음의 값을 가지는 경우에도 단조성이 성립함을 알 수 있습니다.
- f∈L1(E,μ), c∈R 라 하면 cf∈L1(E,μ) 입니다. 왜냐하면 ∫E|c||f|dμ=|c|∫E|f|dμ<∞ 이기 때문입니다. 적분이 가능하니 실제 적분값을 계산할 때 선형성이 성립했으면 좋겠습니다. 앞에서는 음이 아닌 실수에 대해서만 증명했었는데, 이도 마찬가지로 확장하려 합니다. c<0 인 경우만 보이면 됩니다. 이 때, (cf)+=−cf−, (cf)−=−cf+ 이므로, 다음이 성립합니다. ∫Ecfdμ=∫E(cf)+−∫E(cf)−dμ=−c∫Ef−dμ−(−c)∫Ef+dμ=c∫Efdμ.
- Measurable function f에 대하여 E에서 a≤f(x)≤b 이고 μ(E)<∞ 일 때 다음이 성립합니다. ∫EaχEdμ≤∫EfχEdμ≤∫EbχEdμ⟹aμ(E)≤∫Efdμ≤bμ(E). f가 르벡 적분 가능하다는 사실은 f가 bounded라는 사실을 이용합니다.
- f∈L1(E,μ) 와 measurable set A⊆E 가 주어지는 경우, f는 E의 부분집합인 A 위에서도 르벡 적분 가능합니다. 이는 다음 부등식에서 확인할 수 있습니다. ∫A|f|dμ≤∫E|f|dμ<∞.
- 만약 measure가 0인 집합에서 적분을 하면 어떻게 될까요? μ(E)=0 라 하고, measurable function f를 적분해 보겠습니다. 여기서 min{|f|,n}χE 도 measurable이며 n→∞ 일 때 min{|f|,n}χE↗|f|χE 임을 이용합니다. 마지막으로 단조 수렴 정리를 적용하면 ∫E|f|dμ=limn→∞∫Emin{|f|,n}dμ≤limn→∞∫Endμ=limn→∞nμ(E)=0 임을 얻습니다. 따라서 f∈L1(E,μ) 이고, ∫Efdμ=0 가 되어 적분값이 0임을 알 수 있습니다. 즉, measure가 0인 집합 위에서 적분하면 그 결과는 0이 됩니다.1
다음 글에서는 르벡 수렴 정리를 소개하겠습니다.
- 편의상 0⋅∞=0 으로 정의했기 때문에 f≡∞ 인 경우에도 성립합니다.↩︎

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