04. Measurable Functions

Measurable Functions

Lebesgue integral을 공부하기 전 마지막 준비입니다. Lebesgue integral은 다음과 같이 표기합니다. \[\int_X f \,d{\mu}\] 표기를 보면 크게 3가지 요소가 있음을 확인할 수 있습니다. 바로 집합 \(X\), measure \(\mu\), 그리고 함수 \(f\)입니다. 집합과 measure는 다루었으니 마지막으로 함수에 관한 이야기를 조금 하면 Lebesgue integral을 정의할 수 있습니다!

이제부터 다루는 measurable function 관련 내용은 일반적인 measurable space \((X, \mathscr{F})\)에서 논의합니다. 여기서 \(\mathscr{F}\)는 당연히 \(\sigma\)-algebra on \(X\)입니다.

정의. (Measurable Function) Measurable space \((X, \mathscr{F})\)와 함수 \(f : X \rightarrow\overline{\mathbb{R}}\) 가 주어졌을 때, 모든 \(a \in \mathbb{R}\) 에 대하여 집합 \[\{x \in X : f(x) > a\}\] 가 measurable이면 \(f\)를 measurable function이라 한다.¹

위 사실로부터 다음을 바로 알 수 있습니다.

따름정리. \(\mathbb{R}^p\)에서 정의된 연속함수는 Lebesgue measurable이다.

증명. 임의의 \(a \in \mathbb{R}\) 에 대해 \(\{x : f(x) > a\}\)가 \(\mathbb{R}^p\)의 열린집합이므로, \(\mathfrak{M}(m)\)의 원소가 되어 measurable이다.

위 정의를 보고 생각하다 보면 굳이 \(f(x) > a\) 로 정의해야 했나 의문이 생깁니다. \(f(x) \geq a\), \(f(x) < a\) 를 사용할 수도 있었을 것입니다.

정리. Measurable space \(X\) 위에서 정의된 함수 \(f\)가 주어졌을 때, 다음은 동치이다.

1. 모든 \(a \in \mathbb{R}\) 에 대하여 \(\{x : f(x) > a\}\)는 measurable이다.
2. 모든 \(a \in \mathbb{R}\) 에 대하여 \(\{x : f(x) \geq a\}\)는 measurable이다.
3. 모든 \(a \in \mathbb{R}\) 에 대하여 \(\{x : f(x) < a\}\)는 measurable이다.
4. 모든 \(a \in \mathbb{R}\) 에 대하여 \(\{x : f(x) \leq a\}\)는 measurable이다.

증명. 우선 (1)을 가정하고, 다음 관계식을 이용하면 \[\begin{aligned} \{x : f(x) \geq a\} & = f^{-1}\left( [a, \infty) \right) \\ & = f^{-1}\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \left( a + \frac{1}{n}, \infty \right) \right) \\ & = \bigcup_{n=1}^{\infty} f^{-1}\left( \left( a + \frac{1}{n}, \infty \right) \right) \end{aligned}\] measurable set의 countable union도 measurable이므로 (\(\sigma\)-algebra) (2)가 성립한다. 이제 (2)를 가정하면 \[\{x : f(x) < a\} = X \setminus\{x : f(x) \geq a\}\] 로부터 (3)이 성립하는 것을 알 수 있다. (3)을 가정하면 위와 마찬가지 방법으로 \[\begin{aligned} \{x : f(x) \leq a\} & = f^{-1}\left( (-\infty, a] \right) \\ & = f^{-1}\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \left( -\infty, a - \frac{1}{n} \right) \right) \\ & = \bigcup_{n=1}^{\infty} f^{-1}\left( \left( -\infty, a - \frac{1}{n} \right) \right) \end{aligned}\] 과 같이 변형하여 (4)가 성립함을 알 수 있다. 마지막으로 (4)를 가정하면 \[\{x : f(x) > a\} = X \setminus\{x : f(x) \leq a\}\] 로부터 (1)이 성립함을 알 수 있다.

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이제 정의를 살펴봤으니, measurable function들이 어떠한 성질을 갖는지 살펴봅니다.

정리. \(f\)가 measurable이면 \(\left| f \right|\)도 measurable이다.

증명. 다음 관계로부터 자명하다. \[\{x : \left| f(x) \right| < a\} = \{x : f(x) < a\} \cap \{x : f(x) > -a\}.\]

역은 성립할까요?

참고. 역은 성립하지 않는다. Measurable하지 않은 \(S \subseteq(0, \infty)\) 위에서 함수 \(g\)를 다음과 같이 정의하자. \[g(x) = \begin{cases} x & (x \in S) \\ -x & (x \notin S). \end{cases}\] 그러면 모든 \(x \in \mathbb{R}\) 에 대해 \(\left| g(x) \right| = x\) 이므로 \(\left| g \right|\)는 measurable function이다. 하지만 \(\{x : g(x) > 0\} = \mathbb{R}\setminus(-\infty, 0] = S\) 는 measurable이 아니므로 \(g\)는 measurable function이 아니다.

명제. \(f, g\)가 measurable function이라 하자.

1. \(\max\{f, g\}\), \(\min\{f, g\}\)는 measurable function이다.
2. \(f^+ = \max\{f, 0\}\), \(f^- = -\min\{f, 0\}\) 는 measurable function이다.

증명. 다음과 같이 적는다. \[\begin{aligned} \{x : \max\{f, g\} > a\} & = \{x : f(x) > a\} \cup \{x : g(x) > a\} \\ \{x : \min\{f, g\} < a\} & = \{x : f(x) < a\} \cup \{x : g(x) < a\} \end{aligned}\] 그리고 (2)는 (1)에 의해 자명하다.

다음은 함수열의 경우입니다. Measurable 함수열의 극한함수도 measurable일까요?

정리. \(\{f_n\}\)가 measurable 함수열이라 하자. 그러면 \[\sup_{n\in \mathbb{N}} f_n, \quad \inf_{n\in \mathbb{N}} f_n, \quad \limsup_{n \rightarrow\infty} f_n, \quad \liminf_{n \rightarrow\infty} f_n\] 은 모두 measurable이다.

증명. 다음이 성립한다. \[\inf f_n = -\sup\left( -f_n \right), \quad \limsup f_n = \inf_n \sup_{k\geq n} f_k, \quad \liminf f_n = -\limsup\left( -f_n \right).\] 따라서 위 명제는 \(\sup f_n\)에 대해서만 보이면 충분하다. 이제 \(\sup f_n\)이 measurable function인 것은 \[\{x : \sup_{n\in\mathbb{N}} f_n(x) > a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{x : f_n(x) > a\} \in \mathscr{F}\] 로부터 당연하다.

\(\lim f_n\)이 존재하는 경우, 위 명제를 이용하면 \(\lim f_n = \limsup f_n = \liminf f_n\) 이기 때문에 다음을 알 수 있습니다. Measurability는 극한에 의해서 보존됩니다!

따름정리. 수렴하는 measurable 함수열의 극한함수는 measurable이다.

이제 마지막으로 measurable 함수의 합과 곱 또한 measurable이면 좋겠습니다. 각각 증명하는 것도 방법이지만, 두 경우를 한꺼번에 증명할 수 있는 방법이 있습니다.

정리. \(X\)에서 정의된 실함수 \(f, g\)가 measurable이라 하자. 연속함수 \(F: \mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}\) 에 대하여 \(h(x) = F\big(f(x), g(x)\big)\) 는 measurable이다. 이로부터 \(f + g\)와 \(fg\)가 measurable임을 알 수 있다.²

증명. \(a \in \mathbb{R}\) 에 대하여 \(G_a = \{(u, v)\in \mathbb{R}^2 : F(u, v) > a\}\) 로 정의합니다. 그러면 \(F\)가 연속이므로 \(G_a\)는 열린집합이고, \(G_a\) 열린구간의 합집합으로 적을 수 있다. 따라서 \(a_n, b_n, c_n, d_n\in \mathbb{R}\) 에 대하여 \[G_a = \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} (a_n, b_n) \times (c_n, d_n)\] 로 두면 \[\begin{aligned} \{x \in X : F\bigl(f(x), g(x)\bigr) > a\} = & \{x \in X : \bigl(f(x), g(x)\bigr) \in G_a\} \\ = & \bigcup_{n=1}^{\infty} \{x \in X : a_n < f(x) < b_n,\, c_n < g(x) < d_n\} \\ = & \bigcup_{n=1}^{\infty} \{x \in X : a_n < f(x) < b_n\} \cap \{x \in X : c_n < g(x) < d_n\} \end{aligned}\] 이다. 여기서 \(f, g\)가 measurable이므로 \(\{x \in X : F\bigl(f(x), g(x)\bigr) > a\}\)도 measurable이다. 이로부터 \(F(x, y) = x + y\), \(F(x, y) = xy\) 인 경우를 고려하면 \(f+g\), \(fg\)가 measurable임을 알 수 있다.

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아래 내용은 Lebesgue integral의 정의에서 사용할 매우 중요한 building block입니다.

정의. (Characteristic Function) 집합 \(E \subseteq X\) 의 characteristic function \(\chi_E\)는 다음과 같이 정의한다. \[\chi_E(x) = \begin{cases} 1 & (x\in E) \\ 0 & (x \notin E). \end{cases}\]

참고로 characteristic function은 indicator function 등으로도 불리며, \(\mathbf{1}_E, K_E\)로 표기하는 경우도 있습니다.

정의. (Simple Function) 함수 \(s: X\rightarrow\mathbb{R}\) 의 치역이 유한집합이면 simple function이라 한다.

치역이 유한집합임을 이용하면 simple function은 다음과 같이 적을 수 있습니다.

참고. 치역의 원소를 잡아 \(s(X) = \{c_1, c_2, \dots, c_n\}\) 로 두자. 여기서 \(E_i = s^{-1}(c_i)\) 로 두면 다음과 같이 적을 수 있다. \[s(x) = \sum_{i=1}^{n} c_i \chi_{E_i}(x).\]

이로부터 모든 simple function은 characteristic function의 linear combination으로 표현됨을 알 수 있습니다. 물론 \(E_i\)는 쌍마다 서로소입니다.

여기서 \(E_i\)에 measurable 조건이 추가되면, 정의에 의해 \(\chi_{E_i}\)도 measurable function입니다. 따라서 모든 measurable simple function을 measurable \(\chi_{E_i}\)의 linear combination으로 표현할 수 있습니다.

아래 정리는 simple function이 Lebesgue integral의 building block이 되는 이유를 잘 드러냅니다. 모든 함수는 simple function으로 근사할 수 있습니다.

정리. \(f : X \rightarrow\overline{\mathbb{R}}\) 라 두자. 모든 \(x \in X\) 에 대하여 \[\lim_{n \rightarrow\infty} s_n(x) = f(x), \quad \left| s_n(x) \right| \leq \left| f(x) \right|\] 인 simple 함수열 \(s_n\)이 존재한다. 여기서 추가로

1. \(f\)가 유계이면 \(s_n\)은 \(f\)로 고르게 수렴한다.
2. \(f\geq 0\) 이면 단조증가하는 함수열 \(s_n\)이 존재하며 \(\displaystyle\sup_{n\in \mathbb{N}} s_n = f\) 이다.
3. \(f\)가 measurable이면 measurable simple 함수열 \(s_n\)이 존재한다.

증명. 우선 \(f \geq 0\) 인 경우부터 보인다. \(n \in \mathbb{N}\) 에 대하여 집합 \(E_{n, i}\)를 다음과 같이 정의한다. \[E_{n, i} = \begin{cases} \left\{x : \dfrac{i}{2^n} \leq f(x) < \dfrac{i+1}{2^n}\right\} & (i = 0, 1, \dots, n\cdot 2^n - 1) \\ \{x : f(x) \geq n\} & (i = n\cdot 2^n) \end{cases}\] 이를 이용하여 \[s_n(x) = \sum_{n=0}^{n\cdot 2^n} \frac{i}{2^n} \chi_{E_{n, i}} (x)\] 로 두면 \(s_n\)은 simple function이다. 여기서 \(E_{n, i}\)와 \(s_n\)의 정의로부터 \(s_n(x) \leq f(x)\) 은 자연스럽게 얻어지고, \(x \in \{x : f(x) < n\}\) 에 대하여 \(\left| f(x) - s_n(x) \right| \leq 2^{-n}\) 인 것도 알 수 있다. 여기서 \(f(x) \rightarrow\infty\) 로 발산하는 부분이 존재하더라도, 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \(\{x : f(x) \geq n\}\) 위에서는 \(s_n(x) = n \rightarrow\infty\) 이므로 문제가 되지 않는다. 따라서 \[\lim_{n \rightarrow\infty} s_n(x) = f(x), \quad (x \in X)\] 라 할 수 있다.

(1)을 증명하기 위해 \(f\)가 유계임을 가정하면, 적당한 \(M > 0\) 에 대해 \(f(x) < M\) 이다. 그러면 충분히 큰 \(n\)에 대하여 \(\{x : f(x) < n\} = X\) 이므로 모든 \(x \in X\) 에 대해 \[\left| f(x) - s_n(x) \right| \leq 2^{-n}\] 가 되어 \(s_n\)이 \(f\)로 고르게 수렴함을 알 수 있다.

(2)의 경우 \(s_n\)의 정의에 의해 단조증가함을 알 수 있다. 여기서 \(f \geq 0\) 조건은 분명히 필요하다. \(s_n(x) \leq s_{n+1}(x)\) 이므로 당연히 \(\displaystyle\sup_{n\in \mathbb{N}} s_n = f\) 이다.

(3)을 증명하기 위해 \(f\)가 measurable임을 가정하면 \(E_{n, i}\)도 measurable이므로 \(s_n\)은 measurable simple 함수열이 된다.

이제 일반적인 \(f\)에 대해서는 \(f = f^+ - f^-\) 로 적는다.³ 그러면 앞서 증명한 사실을 이용해 \(g_n \rightarrow f^+\), \(h_n \rightarrow f^-\) 인 simple function \(g_n, h_n\)을 잡을 수 있다. 이제 \(s_n = g_n - h_n\) 으로 두면 \(\left| s_n(x) \right| \leq \left| f(x) \right|\) 가 성립하고, \(s_n \rightarrow f\) 도 성립한다.

한편 이 정리를 이용하면 \(f + g\), \(fg\)가 measurable임을 증명하기 쉬워집니다. 단, \(f+g\), \(fg\)가 잘 정의되어야 합니다. 이는 \(\infty - \infty\) 와 같은 상황이 발생하지 않는 경우를 말합니다.

따름정리. \(f, g\)가 measurable이고 \(f + g\), \(fg\)가 잘 정의된다면, \(f+g\)와 \(fg\)는 measurable이다.

증명. \(f, g\)를 각각 measurable simple function \(f_n, g_n\)으로 근사한다. 그러면 \[f_n + g_n \rightarrow f + g, \quad f_ng_n \rightarrow fg\] 이고 measurability는 극한에 의해 보존되므로 \(f+g, fg\)는 measurable이다.

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1. 일반적으로는 ‘measurable set의 preimage가 measurable이 될 때’로 정의합니다.↩︎
2. 참고로 \(\infty - \infty\) 의 경우는 정의되지 않으므로 생각하지 않습니다.↩︎
3. 이 정의에서 \(\infty - \infty\) 가 나타나지 않음에 유의해야 합니다.↩︎