예시로 알아보는 반응공학: 3번째, 반응 속도와 화학양론

 

예시로 알아보는 반응공학: 3번째, 반응 속도와 화학양론

안녕하세요 여러분! 지난 시간에는 여러 반응기를 직렬로 연결한 반응과, 공간시간 및 공간속도를 함께 공부해 보았습니다. 오늘은 반응공학을 공부하는 데 있어서 중요한 요소인 반응 속도와 화학양론에 대해서 다뤄보도록 하겠습니다!!

반응 속도론

처음으로는 반응 속도에 대한 개념을 간단히 짚으면서 시작하고자 합니다! 이 부분의 경우, 일반화학을 공부하신 분들이라면 전반적인 내용을 잘 알고 계실 것이라 생각하기 때문에 자세하게 다루는 대신, 빠르게 짚고 넘어가려고 합니다. (1), (2), (3)으로 숫자를 마킹하면서 짚고 넘어갈테니 잘 확인해주세요!!

(1) 먼저 알아야 할 개념들 몇 가지를 설명드리겠습니다. 우선 균일 반응과 불균일 반응입니다. 균일 반응은 하나의 상 안에서 일어나는 반응을 의미하고, 반대로 불균일 반응은 여러 상에 걸쳐서 일어나는 반응입니다. 불균일 반응은 주로 고체의 표면 등 상의 경계에서 일어나게 됩니다.
간단한 예시로, 일반적으로 흔히 알려져 있는 산 & 염기의 중화 반응은 용액 내에서 일어나는 반응이므로 균일 반응이 됩니다.

384, CC BY-SA 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0, via Wikimedia Commons
반대로 불균일 반응의 예시로는 금속 촉매 위에서 일어나는 반응이 있습니다. 금속 촉매 위에서 탄화수소 사슬에 수소가 첨가되는 반응은 금속 표면 위에서 일어나는 대표적인 불균일 반응입니다.

Michael Schmid, CC BY-SA 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0, via Wikimedia Commons

(2) 그 다음으로는 가역 반응과 비가역 반응이 있습니다. 가역 반응은 양 방향으로 모두 일어나는 반응이고, 반대로 비가역반응은 한쪽 방향으로만 일어나는 반응입니다. 대표적으로 아세트산 수용액이 산성을 띄는 것은 수소 이온이 붙을 수도, 떨어질 수도 있으므로 가역 반응이 되겠네요. 반대로 종이를 태우는 것은 거꾸로 진행이 안되므로 비가역 반응이 됩니다.

(3) 다음으로 알아볼 개념은 분자도입니다. 분자도는 각 반응 단계에서, 얼마나 많은 반응물 입자가 한 번에 충돌하는지 그 수를 의미합니다. 하나의 분자가 반응하면 단분자 반응, 두 개의 분자가 반응하면 이분자 반응, 세 개의 분자가 반응하면 삼분자 반응입니다. 세 분자 이상이 충돌할 확률은 매우 낮고, 단분자 반응은 자기 스스로 분해하는 경우 등 특정한 상황에서만 일어나므로 이분자 반응을 일반적으로 찾기 용이합니다.

(4) 다음은 반응 속도식의 개념입니다. 반응 속도의 정의 자체는 몰 수지(1) 게시물에서 같이 다뤘습니다. 오늘은 여기서 더 나아가 반응 속도식을 알아보려고 합니다. 일반화학에서도 배우는 내용이지만, 반응 속도는 다음 식과 같이 온도에 의존하는 계수와, 반응물의 농도의 곱으로 나타나게 됩니다. $$-r_{A}=k(T)\times f(C_{A}, C_{B}, C_{C}, \cdots)$$ $$f(C_{A}, C_{B}, C_{C}, \cdots)=C_{A}^{\alpha}C_{B}^{\beta}\cdots$$(위의 반응 속도식은 A의 감소 속도를 나타내기 때문에, (-) 부호가 붙게 됩니다.) 이때 농도와 반응 속도의 관계는 실험적으로 얻어지게 됩니다. 여기서 반응 차수는 위 식에서 $\alpha, \beta$ 등에 해당합니다. 반응 속도식이 $-r_{A}=k(T)C_{A}^{\alpha}C_{B}^{\beta}$로 나타날 때, 전체 반응 차수는 $\alpha+\beta$로 나타나게 됩니다.
여기에 따라, 0차 반응, 1차 반응과 같은 개념을 정의할 수 있게 됩니다. $-r_{A}=k(T)C_{A}$이면 1차 반응, $-r_{A}=k(T)C_{A}C_{B}$이면 2차 반응과 같은 원리가 됩니다.

(5) 이번에는 단일 단계 반응에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 어떤 반응이 있을 때, 그 반응은 여러 단계로 나누어져서 진행이 됩니다. 이때, 더 이상 나눌 수 없는 각각의 반응 단계들을 단일 단계 반응이라고 합니다. 단일 단계 반응의 반응 차수는 반응 계수와 동일하게 된다는 특징을 가지고 있습니다. 한 예시로, 아래의 산소 라디칼과 메탄올 사이의 반응은 단일 단계 반응입니다. $$\mathrm{O\cdot+CH_{3}OH\rightarrow CH_{3}O\cdot+OH\cdot}$$ 이 경우, 반응 계수가 반응 차수와 동일하므로 반응 속도는 $-r_{\mathrm{O\cdot}}=kC_{\mathrm{O\cdot}}C_{\mathrm{CH_{3}OH}}$로 나타나게 됨을 알 수 있습니다.
만일 단일 단계 반응이 아닌 경우에는 반응 속도식은 어떻게 될까요? 앞서 이야기한 바와 같이, 반응 차수는 반응 계수와 일반적으로는 상관이 없기 때문에, 반응 계수와는 다른 값으로 나타납니다. 심지어는 정수로 나오지 않는 경우도 있고, 분수 형태의 복잡한 식으로 나올 수도 있습니다. 한 예시로, 수소와 브로민이 반응하는 $\mathrm{H_{2}+Br_{2}\rightarrow 2HBr}$ 반응의 경우 아래와 같이 복잡한 속도식이 나옵니다.$$-r_{\mathrm{Br_{2}}}=\frac{k_{\mathrm{Br_{2}}}C_{\mathrm{H_{2}}}C_{\mathrm{Br_{2}}}^{1/2}}{k'+C_{\mathrm{HBr}}/C_{\mathrm{Br_{2}}}}$$

(6) 이제 가역 반응에 대해 보다 자세히 알아보도록 하겠습니다. 지금까지 살펴본 반응들은 모두 한 쪽으로만 반응했지만, 만일 화학 평형 상태라면 어떻게 될까요? 각 반응물의 농도 변화는 0이 될 것입니다. 즉, 이는 $\mathrm{A\rightleftharpoons B}$의 반응에서 정반응의 속도 상수가 $k_{\mathrm{A}}$, 역반응의 속도 상수가 $k_{\mathrm{B}}$일 때 정반응의 반응 속도와 역반응의 반응 속도가 동일하다는 이야기가 됩니다. 이를 식으로 나타내면 $k_{\mathrm{A}}C_{\mathrm{A}}=k_{\mathrm{B}}C_{\mathrm{B}}$와 같이 됨을 알 수 있습니다. 이 식을 정리하면 다음과 같이 됨을 알 수 있습니다. $$\frac{k_{\mathrm{A}}}{k_{\mathrm{B}}}=\frac{C_{\mathrm{B}}}{C_{\mathrm{A}}}$$ 여기서 우변의 식은 우리에게 익숙한 평형 상수의 형태입니다. 즉, $\frac{k_{\mathrm{A}}}{k_{\mathrm{B}}}=K_{\mathrm{C}}$로 식을 정리할 수 있게 됩니다.
이러한 내용은 일반화학에서도 간단히 다루듯이 정반응의 반응 속도와 역반응의 반응 속도를 모두 알아보아야 합니다. 예시와 함께 보다 자세히 알아보도록 하겠습니다! 지금 다룰 예시는 벤젠이 다이페닐이 되는 다음의 반응입니다.

보다 간단하게, $\mathrm{2B\rightleftharpoons D+H_{2}}$의 기호로 놓고 문제를 해결하도록 하겠습니다. 이 반응이 단일 단계 반응이라고 가정한다면, 우선 정반응의 반응 속도식은 앞서 한 방식과 동일하게 다음과 같이 나타나게 됩니다. $$r_{\mathrm{B,\space forward}}=-k_{\mathrm{B}}C_{\mathrm{B}}^{2}$$ 마찬가지로, 역반응의 반응 속도식은 다음과 같이 나타납니다. $$r_{\mathrm{B, reverse}}=k_{\mathrm{-B}}C_{\mathrm{D}}C_{\mathrm{H_{2}}}$$ 이렇게 되면, B의 총 생성 속도는 다음과 같이 정리가 됩니다. $$r_{\mathrm{B}}=r_{\mathrm{B,\space forward}}+r_{\mathrm{B, reverse}}=-k_{\mathrm{B}}C_{\mathrm{B}}^{2}+k_{\mathrm{-B}}C_{\mathrm{D}}C_{\mathrm{H_{2}}}$$ 이때, 식을 정리하기 위해서 $k_{\mathrm{B}}$로 우변을 묶고, 반응이 평형 상태에 있다는 가정 하에 위에서 도출한 평형 상수의 식을 사용하면 B의 분해 속도는 다음과 같이 정리됩니다. $$-r_{\mathrm{B}}=k_{\mathrm{B}}\left(C_{\mathrm{B}}^{2}-\frac{C_{\mathrm{D}}C_{\mathrm{H_{2}}}}{K_{\mathrm{C}}}\right)$$

(7) 마지막으로 속도 상수 k의 온도 의존성을 알아보려고 합니다. 일반화학이나, 물리화학에서 자주 등장하는 내용이지만, 속도 상수는 온도에 의존하며 그 관계는 다음의 아레니우스 방정식을 통해서 설명됩니다. $$k(T)=Ae^{-E_{a}/RT}$$ 여기서 A는 지수 앞자리 인자, $E_{a}$는 활성화 에너지, R은 기체 상수입니다.
각각의 의미를 보다 자세히 확인해 보도록 하겠습니다. 아래의 그래프는 일반화학 등에서 흔히 볼 수 있는 반응의 진행을 나타내는 그래프입니다.

여기서 화살표로 표시된 $E_{a}$를 확인하실 수 있으신가요? 이처럼, 활성화에너지는 반응물에서 생성물로 가기 위해 넘어야 하는 에너지 장벽임을 알 수 있습니다. 이때 $e^{-E_{a}/RT}$는 에너지 장벽 $E_{a}$를 넘는 분자들의 비율을 의미합니다. 아래 그림에서 확인할 수 있듯이, 온도가 높아지게 되면 $e^{-E_{a}/RT}$의 값이 커지게 되며, 최소한의 에너지 장벽인 $E_{a}=E_{\mathrm{min}}$을 넘는 분자의 수가 증가하게 됩니다.

P. Atkins, L. Jones, “Chemical Principles, 5th edition.” W. H. Freeman and Company, 2010.
최소 에너지를 넘는 분자의 비율이 저런 식으로 나오는 자세한 이유를 확인하고 싶은 분들은 볼츠만 분포에 대해 공부하시면 보다 자세하게 이유를 파악할 수 있습니다!
그 다음, 지수 앞자리 인자 A는 농도와 온도를 제외한 반응의 빈도를 나타내는 상수입니다. 분자의 크기 및 충돌 방향 등 충돌의 빈도를 결정하는 요소들이라고 생각할 수 있습니다.
이처럼, 속도 상수의 구성 요소들에 대해서 간단히 알아보았습니다. 이제 속도 상수의 온도 의존성을 나타내는 간단한 도표, 아레니우스 도표를 확인해보도록 하겠습니다.
앞서 $k(T)=Ae^{-E_{a}/RT}$의 관계를 확인했습니다. 이제, 이를 변형해서 선형의 식으로 만들어보도록 하겠습니다. 양변에 로그를 취하게 되면, 다음과 같은 식으로 변형이 됩니다. $$\ln{k}=\ln{A}-\frac{E_{a}}{R}\left(\frac{1}{T}\right)$$ 이 식은 $\ln{k}$와 $\frac{1}{T}$의 선형 관계로 이해할 수 있습니다. 이에 따라 아래와 같은 그래프를 그릴 수 있으며, 이를 아레니우스 도표라고 합니다.

그래프를 보면 확인할 수 있는 바와 같이, 그래프의 기울기는 $-\frac{E_{a}}{R}$로 나타나고, 활성화에너지가 증가하면 그래프의 경사가 급해짐을 확인할 수 있습니다.

화학양론

다음으로 다룰 주제는 화학양론입니다. 첫 게시글에서 이런 이야기를 한 적이 있습니다.
“화학 반응은 반응의 속도식이나 물질의 농도 조절 등에 따라 진행 양상이 천차만별로 변하게 됩니다. (중략) 반응을 시키는 기기의 모양도 중요한 역할을 합니다.”
이 단락의 내용 중에서, 지금까지 저희는 속도식과, 반응기의 모양에 대해서 알아보았습니다. 지금부터는 남은 한 가지인 물질의 농도, 양에 대한 표현, 즉 화학양론에 대해 자세히 알아보도록 하겠습니다.
먼저 정의를 보면, 화학양론은 반응물과, 생성물의 양에 대한 정량적인 계산을 의미합니다. 어떤 이야기인지 예시를 통해서 간단히 알아보도록 하겠습니다. 먼저 $aA+bB\rightarrow cC+dD$와 같은 반응이 있다고 해보겠습니다. 이때, A의 생성속도와 B의 생성속도, C의 생성속도, D의 생성속도 사이에는 어떤 관계가 있을까요? a만큼의 A와 b만큼의 B가 소모될 때, c만큼의 C와 d만큼의 D가 생성되므로, 아래와 같은 상대 속도의 관계가 성립하게 됩니다. $$\frac{r_{A}}{-a}=\frac{r_{B}}{-b}=\frac{r_{C}}{c}=\frac{r_{D}}{d}$$ 여기서 중요한 개념을 하나 짚고 넘어가겠습니다! 바로 한계 반응물입니다. 일반화학 등에서도 많이 다루는 부분이지만, 한계 반응물은 반응물 중 가장 먼저 소모되는 반응물을 의미합니다. 만일, 위 반응식에서 A가 한계 반응물이라고 한다면, A를 기준으로 식을 다음과 같이 정리할 수 있습니다. $$A+\frac{b}{a}B\rightarrow \frac{c}{a}C+\frac{d}{a}D$$ 이 경우, A의 몰수를 기준으로 나머지의 몰수를 표현할 수 있게 됩니다. 앞으로는 이처럼 한계 반응물의 몰수를 기준으로 각 물질의 몰수를 표현하도록 하겠습니다!
그렇다면, 지금부터는 A의 몰수를 기반으로 각 물질의 초기와 나중 몰수를 나타내보도록 하겠습니다! A의 변화부터 확인해 볼까요? 초기/반응/나중의 세 스텝으로 나눠서 아래와 같이 몰수를 표현할 수 있습니다.

단계	몰수
초기	$N_{A0}$
반응	$-N_{A0}X$
나중	$N_{A0}(1-X)$

위 표의 반응은 전화율 X만큼 반응이 일어난 경우를 가정한 몰수입니다!
이 경우, B는 어떻게 될까요? 다음과 같이 나타나게 됩니다.

단계	몰수
초기	$N_{B0}$
반응	$-\frac{b}{a}N_{A0}X$
나중	$N_{B0}-\frac{b}{a}N_{A0}X$

이 식을 A의 몰수에 관해서 나타내기 위해서, 아래와 같은 척도를 도입합니다. $$\Theta_{j}=\frac{N_{j0}}{N_{A0}}$$
$\Theta_{j}$를 사용해서 다시 식을 나타내보면, 나중에 남아있게 되는 B의 양은 다음과 같이 정리됩니다. $$N_{B0}-\frac{b}{a}N_{A0}X=\Theta_{B}N_{A0}-\frac{b}{a}N_{A0}X=N_{A0}\left(\Theta_{B}-\frac{b}{a}X\right)$$
마찬가지의 작업을 C와 D에 대해서도 적용시키면, 전화율 X일 때의 각각의 남은 양을 아래와 같이 확인할 수 있습니다.

화학종	X	X=0	X=1
A	$N_{A0}(1-X)$	$N_{A0}$	0
B	$N_{A0}\left(\Theta_{B}-\frac{b}{a}X\right)$	$N_{A0}\Theta_{B}=N_{B0}$	$N_{A0}\left(\Theta_{B}-\frac{b}{a}\right)$
C	$N_{A0}\left(\Theta_{C}+\frac{c}{a}X\right)$	$N_{A0}\Theta_{C}=N_{C0}$	$N_{A0}\left(\Theta_{C}+\frac{c}{a}\right)$
D	$N_{A0}\left(\Theta_{D}+\frac{d}{a}X\right)$	$N_{A0}\Theta_{D}=N_{D0}$	$N_{A0}\left(\Theta_{D}+\frac{d}{a}\right)$

흐름 반응기를 사용하는 경우라면 남은 몰수를 나타내기 어려울 수 있겠지요. 그럴 때는 단위 시간 당 몇 몰 만큼이 흘러갔는지를 나타내는 몰 유량 $F_{j}$를 대신 사용하게 됩니다. 나중에 흐름 반응기를 다루는 예시에서 같이 살펴 보도록 해요!

이제 실질적인 화학양론 문제를 해결하기 위해서 해야 하는 마지막 준비 단계를 살펴보고, 직접 문제를 해결하는 단계로 넘어가보도록 하겠습니다! 바로 농도와 전화율의 관계를 살펴보는 단계입니다. 앞에서 반응 속도식을 계산할 때는 농도를 변수로 사용했다는 사실, 기억 나시나요? 이제 위의 화학양론과 속도식을 결합하기 위해서 농도를 전화율로 나타내 보도록 하겠습니다!

몰 농도의 정의는 잘 알려진 바와 같이 $C_{A}=\frac{N_{A}(X)}{V(X)}$로 나타나게 됩니다. 일단은 몰수와 부피 모두를 전화율 X의 함수로 생각해 보도록 합시다! 이 상태에서, 앞서 구한 몰수 값을 대입해보면 어떻게 될까요? A의 경우와 B의 경우를 모두 나타내보면, 다음과 같이 됨을 알 수 있습니다.

A	B
$C_{A}=\frac{N_{A0}(1-X)}{V(X)}$	$C_{B}=\frac{N_{A0}\left(\Theta_{B}-\frac{b}{a}X\right)}{V_{X}}$

일반적으로, 많은 액상에서 일어나는 반응들은 부피가 일정하게 유지되므로, 위의 $V(X)$를 일정한 $V_{0}$로 두고 계산할 수 있게 됩니다. 이러한 시스템을 등적이라고 이야기하게 된다는 점 기억해 주세요! 여기까지 하면 반응공학 문제를 해결하기 위한 사전 준비가 끝났다고 할 수 있겠네요! 이제부터는 각각의 경우에 대해 어떻게 문제를 해결할 수 있는 지를 살펴보도록 하겠습니다.

예시: 등적 상황에서의 회분식 반응기

지금까지 알아봤던 화학양론의 관계를 마지막 예시 하나를 같이 해결하면서 알아보고 마무리해 보도록 하겠습니다!

그 전에, 지금까지의 내용을 바탕으로 다짜고짜 문제를 해결하라고 하면 막막할 수 있을 것이라는 느낌이 드네요…! 그래서 문제를 다루기에 앞서 반응공학 문제를 해결하는 알고리즘을 먼저 짚고 넘어가보려고 합니다. 반응공학 알고리즘이라는 이름으로, 아래 그림과 같은 형태를 하고 있습니다. 순서도만 봐서는 뭐가 뭔지 정확히 모를 수 있는 만큼, 같이 살펴보려고 해요!

위에서부터 순서대로 살펴보면, 먼저 일반적인 몰 수지식에서 시작하는 것을 확인할 수 있습니다. 그 다음으로 각 반응기 별 설계 방정식을 구해보는 과정을 거쳤던 점 기억 나시나요? 다음으로 우리는 아직 속도식과 전화율 사이의 관계를 모르는 만큼 4번으로 내려가 봅시다! 4번에서는 이번 게시글의 첫 부분인 반응 속도론을 통해서 반응 속도와 농도 사이의 관계를 알아보는 과정을 거치게 됩니다. 그 다음으로 5번에서는 화학양론 관계로 이번 게시글에서 한 것과 같이 농도와 전화율 사이의 관계를 얻게 되었습니다.

그 다음으로, 압력 강하는 아직 다루지 않은 만큼 오른쪽 6번으로 가볼까요? 6번에서는 4번과 5번을 통해서 반응 속도를 전화율로 나타내게 되었습니다. 이제 이 식을 9번의 설명과 같이 설계 방정식에 대입하면 변수가 전화율 하나인 식으로 정리가 되겠네요! 이렇게 반응공학 문제를 해결할 수 있게 됩니다!!

이렇게 알아본 과정을 오늘의 예시에 적용해서 같이 따라가 보도록 하겠습니다! 오늘의 예시는 비누화 반응이라고 불리는 반응입니다. 비누화 반응은 이름 그대로 비누를 만드는 반응인데요, 어쩌면 여러분들께서 한 번 쯤 해보셨을지도 모르는 실험의 원리에 해당하는 반응입니다. 제가 어릴 때는 친환경 실험의 일환으로 폐식용유를 사용한 비누 만들기를 하는 곳이 많았던 것으로 기억합니다. 그 실험에서는 가성소다와 폐식용유를 대야에 붓고 저어서 굳히는 과정을 통해 비누를 만들게 되는데요, 바로 그 원리에 오늘 살펴볼 비누화 반응이 있습니다!

폐식용유로 만든 비누의 모습
부산일보, https://n.news.naver.com/mnews/article/082/0000350409

실제로 아래와 같이 여러 단계를 거쳐서 만들어지는 계면활성제의 합성 과정 사이에도 이 비누화 반응이 들어가기도 합니다!

Soap_and_Detergent_manufacturing_process_02.png: *Soap_Detergent_manufacturing.JPG: KVDPderivative work: Azcolvin429 (talk)derivative work: Northumbrian, Public domain, via Wikimedia Commons

비누화 반응의 화학식은 다음과 같이 나타낼 수 있게 됩니다. 아래에는 대표적인 예시로 수산화나트륨과 글리세르화 스테아르산을 섞은 반응을 나타냈지만, 일반적으로 염기와 지방을 섞어서 지방을 만드는 모든 반응들을 비누화 반응이라고 하게 됩니다. 즉, 염기성 물질을 계면활성제로 만드는 반응이라고 할 수 있겠네요!

이 반응은 간단하게 $3A+B\rightarrow3C+D$로 나타낼 수 있게 됩니다. 이 반응은 액체 상에서 일어나고, 용매인 물의 양이 반응물과 생성물보다 충분히 많기 때문에 부피 역시 일정하다고 가정할 수 있습니다. 이러한 반응을 회분식 반응기에서 진행한다고 할 때 화학양론을 알아볼까요? 먼저 한계 반응물을 파악하는 것이 중요합니다. 여기서는 A가 한계 반응물이라고 가정해 보도록 하겠습니다!
이를 간단하게 해결하기 위해서 화학양론표를 그려서 문제를 해결하게 됩니다. 여기서 잠깐 $aA+bB\rightarrow cC+dD$의 일반적인 반응으로 돌아가 볼까요? 해당 반응에 대해서 화학양론표를 작성한 모습은 아래와 같습니다. 이와 같이, 앞에서 봤던 처음/반응/나중을 모든 화학종에 대해 한 번에 나타낸 표를 화학양론표라고 이야기하게 됩니다.

화학종	처음	반응	나중	농도
A	$N_{A0}$	$-N_{A0}X$	$N_{A0}(1-X)$	$C_{A0}(1-X)$
B	$\Theta_{B}N_{A0}$	$-\frac{b}{a}N_{A0}X$	$N_{A0}\left(\Theta_{B}-\frac{b}{a}X\right)$	$C_{A0}\left(\Theta_{B}-\frac{b}{a}X\right)$
C	$\Theta_{C}N_{A0}$	$\frac{c}{a}N_{A0}X$	$N_{A0}\left(\Theta_{C}+\frac{c}{a}X\right)$	$C_{A0}\left(\Theta_{C}+\frac{c}{a}X\right)$
D	$\Theta_{D}N_{A0}$	$\frac{d}{a}N_{A0}X$	$N_{A0}\left(\Theta_{D}+\frac{d}{a}X\right)$	$C_{A0}\left(\Theta_{D}+\frac{d}{a}X\right)$
전체	$N_{T0}=N_{A0}+N_{B0}+N_{C0}+N_{D0}$	$\left(\frac{d}{a}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-1\right)N_{A0}X=\delta N_{A0}X$	$N_{T} = N_{T0}+\delta(N_{A0}X)$

위 표에서 $\delta$라는 값이 한 가지 추가된 것을 확인할 수 있습니다. 복잡한 수식을 간단히 나타내기 위한 도구로 생각할 수 있겠죠!

이제 비누화 반응에 대해서 화학양론표를 적용해 볼까요? 바로 아래와 같이 나타낼 수 있게 됩니다!

화학종	처음	반응	나중	농도
A	$N_{A0}$	$-N_{A0}X$	$N_{A0}(1-X)$	$C_{A0}(1-X)$
B	$\Theta_{B}N_{A0}$	$-\frac{1}{3}N_{A0}X$	$N_{A0}\left(\Theta_{B}-\frac{1}{3}X\right)$	$C_{A0}\left(\Theta_{B}-\frac{1}{3}X\right)$
C	$\Theta_{C}N_{A0}$	$N_{A0}X$	$N_{A0}\left(\Theta_{C}+X\right)$	$C_{A0}\left(\Theta_{C}+X\right)$
D	$\Theta_{D}N_{A0}$	$\frac{1}{3}N_{A0}X$	$N_{A0}\left(\Theta_{D}+\frac{1}{3}X\right)$	$C_{A0}\left(\Theta_{D}+\frac{1}{3}X\right)$
전체	$N_{T0}$	$\delta N_{A0}X$	$N_{T0}+\delta(N_{A0}X)$

이렇게 하면 각 시점에서 각각의 농도를 전화율로 나타낼 수 있게 됩니다! 조금 더 문제를 해결해 볼까요? 비누화 반응의 경우 반응물에 따라 반응 속도식이 달라지게 되지만, 여기서는 $-r_{A}=kC_{A}C_{B}$와 같은 2차 반응이라고 가정해보도록 하겠습니다. 그러면 앞서 이야기한 바와 같이 속도식을 전화율의 함수로 다음과 같이 나타낼 수 있게 됩니다.
$$-r_{A}=kC_{A0}^{2}(1-X)\left(\Theta_{B}-\frac{1}{3}X\right)$$
계산을 편하게 하기 위해서 처음에 A를 1M, B를 1M 넣어 주었다고 하면, 위 속도식은 아래와 같이 정리됩니다.
$$-r_{A}=k'C_{A0}^{2}(1-X)(3-X), k'=\frac{1}{3}k$$
이를 회분식 반응기의 설계 방정식에 대입하면, 아래와 같이 계산해서 전화율 X에 도달할 때까지 필요한 시간 t를 계산할 수 있게 됩니다!
$$t=N_{A0}\int_{0}^{X}{\frac{dX}{-r_{A}V}}=\frac{N_{A0}}{k'C_{A0}^{2}V_{0}}\int_{0}^{X}{\frac{dX}{(1-X)(3-X)}}$$
어떤가요? 앞으로 여러분들과 하게 될 과정 역시 이것과 마찬가지로 다양한 상황에 맞게 이번 글에서 배운 반응식과 화학양론, 이전에 배운 설계 방정식을 적절히 사용해서 계산을 하게 되는 과정입니다!

이번 게시글은 조금은 길고, 딱딱할 수 있는 내용이었지만, 반응공학의 문제해결을 맛보기로 가져가도록 하기 위해서 조금 많은 내용을 다루게 된 점 양해 부탁드립니다…! :)

용어 정리

오늘은 여러분들과 함께 화학 반응 속도론과 화학양론, 그리고 화학양론표를 사용한 반응공학 문제풀이 예시를 다뤄 보았습니다. 어려운 부분이 있거나 궁금한 부분, 제안 사항이 있다면 답글로 남겨주세요!!
오늘 사용한 용어는 아래 표를 참고해 주시면 감사하겠습니다.
<사용 용어 표>

한국어 명칭	영어 명칭
균일 반응	homogeneous reaction
불균일 반응	nonhomogeneous reaction
가역 반응	reversible reaction
비가역 반응	irreversible reaction
분자도	molecularity
반응 속도식	reaction rate law
반응 차수	reaction order
단일 단계 반응	elementary reaction
아레니우스 방정식	Arrhenius equation
활성화 에너지	Activation energy
아레니우스 도표	Arrhenius plot
화학양론	stoichiometry
한계 반응물	limiting agent
등적(일정한 부피)	isochoric
화학양론표	stoichiometric table