예시로 알아보는 반응공학: 2번째, 전화율 & 반응기의 크기 (1)

 

 

 

예시로 알아보는 반응공학: 2번째, 전화율 & 반응기의 크기 (1)

안녕하세요! 지난 시간에는 여러분들과 몰 수지식과 여러 흐름식 반응기의 설계방정식을 세워보는 연습을 진행했습니다. 오늘은 새로운 개념인 전화율에 대해 알아보고, 간단하게만 보고 넘어갔던 반응기의 크기를 계산해보는 연습을 하도록 하겠습니다!

전화율이란?

먼저 오늘의 핵심, 전화율의 개념에 대해서 같이 알아보도록 해요!
지난 시간에 알아보았던 설계 방정식에는 몰수, 몰 유량처럼 여러 변수가 식에 들어 있었습니다. 이번에는 이렇게 복잡한 설계 방정식을 전화율이라는 하나의 변수로 정리해서 나타내려고 합니다.
우선 정의를 알아보기 위해서 $aA+bB\rightarrow cC+dD$의 일반적인 반응을 먼저 생각해 보겠습니다. 원하는 반응물인 A에 대해서 식을 정리하면 $A+\frac{b}{a}B\rightarrow \frac{c}{a}C+\frac{d}{a}D$가 됩니다. 그렇다면, 이때 반응이 얼마나 진행되었는지를 어떻게 나타낼 수 있를까요? 바로 원하는 반응물인 A에 대해서 들어간 A의 양 대비 반응한 A의 양을 비교하면 됩니다. 이 비율을 전화율이라 하고, 다음과 같이 값을 정의합니다. $$X_{A}=\frac{반응한\space A의\space 몰수}{들어간\space A의\space 몰수}$$

전화율로 정리한 반응기의 설계 방정식

이제 지난 시간에 알아본 각 반응기의 설계 방정식을 전화율로 다시 정리해서 알아보도록 하겠습니다! 우선 일반적인 몰 수지식과 각 반응기의 설계 방정식을 아래에 정리해 보겠습니다.

반응기	식
일반적인 몰 수지식	$F_{A0}-F_{A}+\int_{V}{r_{A}dV}=\frac{dN_{A}}{dt}$
회분식	$\frac{dN_{A}}{dt}=r_{A}V$
CSTR	$V=\frac{F_{A0}-F_{A}}{-r_{A}}$
PFR	$\frac{dF_{A}}{dV}=r_{A}$
PBR	$\frac{dF_{A}}{dW}=r_{A}'$

1. 회분식 반응기(Batch)
먼저 알아볼 반응기는 회분식 반응기입니다! 지난 시간에는 회분식 반응기에서의 설탕의 분해 반응을 알아보았습니다. 분해되는 설탕을 A라고 두었을 때, 회분식 반응기는 유입과 유출이 없는 반응기이므로, 설계 방정식을 나타내면 다음과 같이 됨을 지난 시간에 확인했습니다.

$$\frac{dN_{A}}{dt}=r_{A}V$$ 이때 앞서 다룬 바와 같이 전화율로 식을 정리해 보도록 합시다! 반응이 $X$만큼 진행되었다고 할때, 처음 반응기 속 설탕의 양 $N_{A0}$에 비해 현재 남아있는 설탕의 양이 $N_{A}$라 하면 반응한 A의 양은 $N_{A0}-N_{A}$이므로 $X$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $$X=\frac{N_{A0}-N_{A}}{N_{A0}}$$ 따라서 위 설계 방정식의 $N_{A}$를 $X$로 대체하면 다음과 같은 설계 방정식을 얻을 수 있습니다. $$N_{A0}\frac{dX}{dt}=-r_{A}V$$ 앞선 시간에 같이 공부한 바와 같이, 전화율 X만큼 반응이 진행될 때 걸리는 시간은 위 식을 적분해서 다음과 같이 얻을 수 있습니다. $$t=N_{A0}\int_{0}^{X}{\frac{dX}{-r_{A}V}}$$

2. 연속 교반 탱크 반응기(CSTR)
다음으로는 CSTR에 대해 알아보도록 하겠습니다! 지난번 글에서 다뤘던 예시는 아래의 산화 에틸렌으로부터 에틸렌 글리콜을 합성하는 반응이었습니다.

앞선 과정과 마찬가지로 반응물인 산화 에틸렌을 A로 두고, 설계 방정식을 표현하면 다음과 같이 됨을 지난 시간에 확인했습니다. $$V=\frac{F_{A0}-F_{A}}{-r_{A}}$$ 마찬가지로 전화율을 사용하면 $F_{A}=F_{A0}-F_{A0}X$가 되므로, 설계 방정식을 사용하면 아래와 같이 됩니다. $$V=\frac{F_{A0}X}{-r_{A}}$$ 앞선 예시와는 달리, CSTR은 지난 시간에 다룬 것처럼 미분식의 설계 방정식이 아니므로 적분할 수 없음을 알 수 있습니다.

3. 플러그 흐름 반응기(PFR)
그 다음으로는 PFR의 설계 방정식에 대해 알아보도록 하겠습니다! 지난 시간에 다뤘던 PFR을 사용하는 예시 반응은 에테인의 크래킹 공정입니다.

반응물인 에테인을 마찬가지로 A로 두고, 설계 방정식을 나타내면 다음과 같이 됨을 지난 시간에 확인했습니다. $$\frac{dF_{A}}{dV}=r_{A}$$ 이때 위에서 정리한 바와 같이 $F_{A}=F_{A0}-F_{A0}X$이므로, 위 식은 다음과 같이 정리됩니다. $$F_{A0}\frac{dX}{dV}=-r_{A}$$ 이 식은 미분식이므로, 지난 시간에 다룬 것처럼 X% 반응이 진행될 때 필요한 반응기의 부피를 아래와 같이 계산할 수 있습니다! $$V=\int_{0}^{X}{\frac{F_{A0}}{-r_{A}}dX}$$

4. 충전층 반응기(PBR)
마지막으로 PBR의 전화율로 나타낸 설계 방정식에 대해 알아보도록 하겠습니다! 지난 시간에는 Water-Gas Shift reaction을 통해서 PBR에 대해 알아보았습니다.

이번에도 마찬가지로 반응물인 일산화탄소를 A로 두고, 설계 방정식을 나타내면 다음과 같이 나타냄을 알 수 있습니다. $$\frac{dF_{A}}{dW}=r_{A}'$$ 이 식을 전화율로 나타내기 위해 전화율과 몰 유량 사이의 관계인 $F_{A}=F_{A0}-F_{A0}X$을 사용하면 다음과 같이 전화율로 나타낸 설계 방정식을 얻을 수 있습니다. $$F_{A0}\frac{dX}{dW}=-r_{A}'$$ 마찬가지로, X% 반응이 진행될 때 필요한 반응기 속 촉매의 질량을 PFR과 유사하게 아래와 같이 계산할 수 있습니다! $$W=\int_{0}^{X}{\frac{F_{A0}}{-r_{A}'}dX}$$

레벤스필 도표: 반응기 부피를 구해보자

여러분들께서 눈썰미가 좋으시다면, 앞선 CSTR, PFR 등에서 모두 부피와 전화율 사이의 관계를 알아봤다는 점을 알 수 있을 겁니다! 그 중에서 CSTR과 PFR의 경우에 대해 주목해 보도록 하겠습니다. 두 경우에 대해 부피를 전화율의 식으로 나타내면 다음과 같이 나타납니다. $$\text{CSTR: }V=\left(\frac{F_{A0}}{-r_{A}}\right)X\\\text{PFR: }V=\int_{0}^{X}{\left(\frac{F_{A0}}{-r_{A}}\right)dX}$$ 이 식에서 공통적으로 확인할 수 있는 항이 한 가지 있는 것을 확인하셨나요? 이 두 식에서는 공통적으로 $\left(\frac{F_{A0}}{-r_{A}}\right)$가 있음을 볼 수 있습니다. 그렇다면, 부피는 위 항과 전화율 사이의 곱, 혹은 적분으로 나타낼 수 있다는 사실을 자연스럽게 확인할 수 있습니다! 이 관계를 그래프로 나타낸 것을 흔히 레벤스필 도표라고 이야기하고, 아래와 같은 도표로 나타내게 됩니다.¹

왼쪽과 오른쪽 도표의 차이점을 확인하셨나요? 왼쪽 그래프는 직사각형으로 y축값과 x축값을 곱한 것이고, 오른쪽 그래프는 적분해서 부피를 구했다는 점을 알 수 있습니다. 어떠신가요? 아래 식과 비교하면 왼쪽 그래프가 CSTR, 오른쪽 그래프가 PFR이라는 사실을 알 수 있으신가요? $$\text{CSTR: }V=\left(\frac{F_{A0}}{-r_{A}}\right)\times X\\\text{PFR: }V=\int_{0}^{X}{\left(\frac{F_{A0}}{-r_{A}}\right)dX}$$
이렇게 도표를 통해서 간단하게 부피를 구할 수 있는 그래프를 레벤스필 도표라고 합니다!
그렇다면 뒤에서 더 자세히 다루겠지만, 간단하게 레벤스필 도표를 통해서 CSTR과 PFR의 부피를 비교해 보도록 하겠습니다. 일반화학같은 과목을 공부하셨다면 알 수 있으시겠지만, 일반적으로 온도가 일정하다면 반응의 반응 속도는 농도가 클수록 더 빨라지게 됩니다. 그렇다면, 거꾸로 전화율이 커지면 반응 속도는 어떻게 될까요? 농도와 전화율의 관계는 위에서 연습한 몰수와 전화율의 관계와 비슷하게 접근할 수 있습니다. 초기-현재=반응한 양이 되므로 $C_{A0}-C_{A}=C_{A0}X$가 됨을 알 수 있습니다. 즉, 전화율이 증가할수록 현재 농도는 작게 됨을 알 수 있습니다. 따라서, 전화율이 증가할수록 반응 속도도 작게 될 것이고 이에 따라 $\left(\frac{F_{A0}}{-r_{A}}\right)$ 값은 커지게 됩니다. 즉, 온도가 일정하다면 $\left(\frac{F_{A0}}{-r_{A}}\right)$은 전화율이 커질수록 커진다는 의미가 되겠네요! 그렇다면, 레벤스필 도표도 우상향하는 그래프가 됨을 알 수 있습니다. 이 경우에 대해 CSTR과 PFR의 그래프를 비교해보도록 하겠습니다. 위 두 그래프를 합치면 아래의 그래프와 같이 레벤스필 도표를 나타낼 수 있습니다.

어떠신가요? 두 반응기의 부피 차이를 파악할 수 있으신가요? 그래프를 통해서 일반적으로, "CSTR의 부피가 PFR보다 크다"는 결론을 알 수 있습니다. 물론, 이러한 예시는 온도가 일정하지 않거나, 반응 속도와 농도 간의 관계가 달라짐에 따라 달라질 수 있습니다. 하지만, 원가 절감 등의 이유로 보다 적은 부피를 원하는 경우라면 PFR이 좀 더 유리할 수 있다는 사실을 파악할 수 있습니다! (원가 절감에는 부피 외에도 다양한 요소들이 작용하므로, 실제로는 CSTR과 PFR이 모두 사용되게 됩니다!)

용어 정리

오늘은 여러분들과 함께 전화율의 정의를 알아보고, 이전에 알아봤던 네 반응기의 설계 방정식을 전화율로 나타내 보았습니다. 나아가 마지막으로 반응기의 부피를 쉽게 파악할 수 있는 레벤스필 도표도 함께 확인해 보았습니다.
다음 시간에는 반응기 여러 개를 한번에 연결했을 때의 양상을 전화율과 레벤스필 도표로 알아보는 공부를 같이 해보도록 하겠습니다!
어려운 부분이 있거나 궁금한 부분, 제안 사항이 있다면 답글로 남겨주세요!!
오늘 사용한 용어는 아래 표를 참고해 주시면 감사하겠습니다.

<사용 용어 표>

한국어 명칭	영어 명칭
전화율	Conversion
레벤스필 도표	Levenspiel plot

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1. 번외이지만, 레벤스필 도표의 레벤스필은 지난 시간까지 많이 참조했던 교재를 저술하신 레벤스필 교수님의 이름을 붙인 도표입니다! ↩︎