예시로 알아보는 반응공학: 1번째, 몰 수지(1)

 

 

예시로 알아보는 반응공학: 1번째, 몰 수지(1)

안녕하세요! 오늘은 여러분들과 반응공학의 첫 장, 몰 수지(mole balance)를 같이 알아보려고 합니다. 먼저 지난 시간에 간단하게 짚고 넘어간 내용을 되짚어 보면서 시작해볼까 해요! 지난 시간에 하수처리장의 예시를 여러분들과 이야기하면서 반응기의 설계에 있어서 중요한 요소를 몇 가지 다루고 넘어갔습니다. 바로 반응 속도식, 투입하는 물질의 양, 그리고 반응기의 모양입니다. 오늘은 이런 요소들을 조절해서 수치적으로 반응기의 설계를 어떻게 할 수 있는지 알아볼 계획입니다.

반응 속도

첫 번째로 반응기에서 빠질 수 없는 부분인 반응의 속도식을 짚고 넘어가 보려고 해요! 이 글을 보고 계신 분들 중 일반화학이나 물리화학을 공부하신 분들은 반응 속도에 대해서도 공부하신 분이 많을 것이라고 생각합니다. 첫 날 목차에도 나타낸 만큼 반응 속도는 뒷 부분에서 자세히 다루고, 여기서는 복습 차원에서 정의 정도만 간단하게 공부하도록 해요.
예시로 $aA + bB \to rR + sS$의 반응을 생각해 보겠습니다. 반응물 A의 반응 속도를 나타내고 싶을 때, 반응공학에서는 이를 다음과 같이 나타냅니다. $$-r_A =- \frac {1}{V} \frac {dN_A}{dt} = \frac{(A의 \space 감소량)}{(부피) \times (시간)}$$ 즉, 단위 부피 & 시간 당 몰 수의 변화량을 반응 속도라고 정리할 수 있겠네요. 그런데 왜 $r_A$ 앞에 마이너스 기호가 붙을까요? 바로 A는 시간이 지날수록 양이 감소하는 반응물이기 때문입니다. 이 반응에서는 a몰의 A와 b몰의 B가 사라지면 r몰의 R과 s몰의 S가 생겨날 텐데요, 이를 수식으로 나타내면 $\frac{-r_A}{a} = \frac{-r_B}{b} = \frac{r_R}{r} = \frac{r_S}{s}$와 같이 계산할 수 있습니다. 이처럼 생성물의 반응 속도에는 마이너스가 붙지 않는 것을 확인할 수 있습니다. 각각의 반응 속도는 실험을 통해서 농도와 관련이 있음을 알고 있는데요, 이 부분은 다음에 다뤄 보도록 해요!

일반적인 몰 수지식

이제 본격적으로 몰 수지식에 대해서 알아보도록 합시다! 반응기에서 앞에서 다룬 반응이 일어날 때 반응물 A의 변화를 간단하게 아래와 같은 모습으로 생각해 봅시다.

그림에 나온 것처럼 A는 반응기로 들어가거나, 반응기에서 나오고, 반응을 통해 생성/소모됩니다. 그리고 들어가는 A의 양에서 나오는 A와 소모되는 A의 양을 빼면 남아서 축적되는 A 역시 있다는 점을 확인할 수 있습니다. 이걸 수식으로 정리해보면 다음과 같습니다. $$\mathrm{In}-\mathrm{Out}+\mathrm{Generation}=\mathrm{Accumulation}$$ 아래 그림처럼 각 항목의 A의 양을 나타내면 다음과 같이 일반적인 몰 수지식을 얻을 수 있습니다.

$$F_{A0}-F_{A}+G_{A}=\frac{\mathrm{d}N_{A}}{\mathrm{d}t}$$ 여기서 $F_{j}$는 j의 몰 유량(시간 당 j가 지나가는 양)을 의미하는 표현입니다. 앞으로도 많이 나올 표현인 만큼 기억해 주세요!
여기까지 하면 한 가지 의문이 들 수 있습니다. 과연 $G_{A}$는 무슨 뜻일까요? 앞서 반응 속도 $r_{A}$가 단위 부피 당 반응 속도라는 이야기를 다뤘습니다. 이걸 이 식에 적용하려면 전체 부피로 반응 속도를 바꿔 주어야 합니다. 그렇기 때문에 $G_{A}=r_{A}\times V$라는 값을 새로 나타내서 식을 적은 것이라고 이해하면 됩니다. 반응기의 각 지점 별로 반응 속도가 다르다면 적분을 사용해서 $G_{A}=\int^{V}{r_{A}\space \mathrm{d}V}$로 나타낼 수 있습니다. 이에 따라 최종적으로 우리가 기억해야 하는 일반적인 몰 수지식은 다음과 같이 나타납니다. $$F_{j0}-F_{j}+\int^{V}{r_{j}\space \mathrm{d}V}=\frac{\mathrm{d}N_{j}}{\mathrm{d}t}$$ 지금은 어색할 수 있지만, 앞으로 반응공학을 배우면서 계속 만나게 될 식인 만큼 일반적인 몰 수지식과 친숙해지도록 해 봅시다!

반응기의 종류

이렇게 반응공학 공부를 위한 모든 준비를 마쳤습니다. 이제 오늘의 하이라이트, 반응기의 종류로 넘어가 봅시다! 오늘 다룰 반응기의 종류는 4가지가 있습니다. 아래 그림처럼 종류를 나눠볼 수 있는데요, 예시와 함께 하나씩 지금부터 알아보도록 해요!

1. 회분식(batch)
회분식 반응기는 반응기로 들어가는 물질도, 반응기에서 나오는 물질도 없이 반응기에 반응물을 담아 반응이 일어납니다.

GYassineMrabetTalk✉, Public domain, via Wikimedia Commons¹
설탕(수크로스, sucrose)는 수크레이스(sucrase)가 있을 때 상온에서 분해 반응을 진행한다고 합니다.² 이 반응을 회분식 반응기에서 진행한다면 위 그림과 같이 유입과 유출이 없는 반응기에 반응물만 차 있는 모습을 볼 수 있겠네요. 이 경우에 sucrose를 반응물 A라고 하고, 반응물 A에 대해서 몰 수지식을 세워 봅시다.
유입과 유출은 없으므로 $F_{A0}$와 $F_{A}$는 0이 됩니다. 만약에 반응기에서 완벽하게 물질이 섞인다면 모든 위치에서 반응 속도가 동일함을 알 수 있으니까 적분을 풀면 다음과 같은 몰 수지식을 얻을 수 있습니다!$$\frac{\mathrm{d}N_{A}}{\mathrm{d}t}=r_{A}V$$ 이 식은 회분식 반응기의 설계방정식(design equation)이라고 합니다! 이때 만약 처음에 1몰 만큼의 설탕을 넣고, 반응을 진행했을 때 0.16몰 만큼이 남았다면, 얼마나 시간이 걸릴까요? 이 문제를 해결하기 위해서는 위 수지식을 적분해야 합니다! 시간을 좌변에 두고 나머지를 우변으로 이항하면 $$\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}N_{A}}{r_{A}V}$$ 로 정리되고, 구하고자 하는 시간 $t_{1}$은 $$t_{1}=\int_{0.16}^{1}{\frac{\mathrm{d}N_{A}}{-r_{A}V}}$$ 으로 구할 수 있습니다.

용어 정리

아쉽지만 나머지 반응기의 종류는 분량 상 다음 게시물에서 알아보도록 해요! 오늘은 여러분들과 함께 일반적인 몰 수지식과 회분식 반응기를 공부했는데요, 어려운 부분이 있거나 궁금한 부분, 제안 사항이 있다면 답글로 남겨주세요!!
오늘 사용한 용어는 아래 표를 참고해 주시면 감사하겠습니다.


<사용 용어 표>

한국어 명칭	영어 명칭
반응 속도	reaction rate
몰 수지	mole balance
일반적인 몰 수지식	general mole balance equation
몰 유량	molar flow rate
회분식 반응기	batch reactor
흐름식 반응기	flow reactor
연속 교반 탱크 반응기(혼합 흐름 반응기)	CSTR, continuous stirred tank reactor
관형 반응기	tubular reactor
플러그 흐름 반응기	PFR, plug flow reactor
충전층 반응기	PBR, packed bed reactor
설계방정식	design equation

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1. Batch Reactor, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Batch_reactor 참조 ↩︎
2. Octave Levenspiel 교수님의 저서 Chemical Reaction Engineering, 3rd edition의 Chapter 27 연습문제에서 상황을 참조하였습니다. 나중에 bioreactor에 대해 공부할 때 Batch reactor에 상황을 적용하는 연습을 할 분들은 참고해 주세요. ↩︎