열 : Some design equations for convective mass transfer

# 더 복잡한 물질전달 문제

안녕하세요! 물질전달 연재를 하고 있는 공우 5기 화학생물공학부 10학번 김승현입니다. 어느덧 벌써 약속드린 학부생을 위한 물질전달 10선을 마무리할 때가 되었네요. 그 동안 참 많은 모델에 대해서 물질전달 문제를 풀어보았죠. 대부분은 combined molar/mass flux식과 mass balance를 쓰고 지배방정식을 유도해서 풀 수 있었습니다. 그런데 생각해보니, 이렇게 풀 수 있는 이유는 가정을 통해 시스템을 많이 간소화시켰기 때문에 가능했습니다. 분명 실생활에서 접할 수 있는 물질전달 문제들은 이러한 가정들이 성립하지 않은 경우도 많을 것입니다. 즉, 너무 복잡해서 이제까지 우리가 풀던 방식으로 풀 수 없는 문제의 경우 어떻게 접근해야 할까요? 다들 하산하기 전에 오늘 포스팅을 꼭 정독해보세요!

물질전달계수

물질(A)이 대류없이 확산을 통해서만 이동한다면 우리가 알고 있는 확산 플럭스( $J_A$ )와 mass balance만 이용하면 얼마나 빠르게 확산되는지 쉽게 구할 수 있습니다. 반면 대류가 아주 심하게 일어나는 계에서는 이런 접근이 어렵습니다. 예를 들어, 난류(Turbulent flow)가 존재하는 계에서 물질전달은 매우 복잡하게 일어나기 때문에 확산과 대류를 구분하기도 어렵습니다. 이런 경우, 우리는 물질전달 경로를 세세하게 분석하는 대신 전체적인 효과를 하나의 factor안에 담아 생각하는데요. 이것이 바로 물질전달계수입니다.
칠판의 그림처럼 물질 A가 많은 곳에서 적은 곳(B)로 물질전달이 얼마나 빨리되는지(molar/mass flux)를 나타내보면 두 부분의 평균 농도차이( $\Delta C_A$ ) $\times$ 물질전달계수가 됩니다. 이 단순한 식에 의해서 바로 물질전달계수가 정의됩니다. 식이 단순한 만큼 모든 복잡한 상황이 물질전달계수에 함축되어 있다고 생각하면 됩니다.
그래서 결국 이 복잡한 상황을 대변해주는 상수( $k_c$ or $k_{\rho}$ )를 구하기만 하면 우리는 molar/mass flux를 구할 수 있습니다.

 
그럼 물질전달계수는 어떻게 구할 수 있을까요?
먼저 $Sh$ (Sherwood number)라는 무차원수의 값을 구해야합니다. 왜냐하면 이 무차원수에 물질전달계수가 포함되어 있기 때문이죠. $Sh$ 를 구하는 식들은 시스템이 어떤가에 따라 제각기 다른데요. 이는 곧 물질전달계수가 시스템의 여러 조건에 따라 다르다는 것을 의미합니다. 당연하겠죠? 복잡한 시스템을 대변해주는 하나의 상수라고 했으니까요. 어쨌든 한 가지 시스템을 예로 들어볼까요? 칠판의 그림처럼 내벽이 물로 덮인 관을 공기가 난류로 통과하고 있는 상황에서 물이 기화하여 공기와 함께 이동하는 물질전달이 일어나는 시스템입니다. 그리고 이때 물의 기화속도가 곧 molar/mass flux가 되는데, 이 계의 $Sh$ 는 다음의 식으로 주어진다고 합니다.(실험적으로 구한 식입니다. 보통 이렇게 복잡한 계에서는 실험을 통해 $Sh$ 와 다른 무차원수들의 관계를 구합니다.)
$$Sh = \frac{k_{\rho}D}{D_{AB}} = 0.023\left(\frac{Du_b\rho}{\mu} \right)^{0.83}\left(\frac{\mu}{\rho D_{AB}}\right)^{0.44}$$
보통 문제에서는 $u_b$ : air의 평균 속도, $\mu$ : air의 점도, $D_{AB}$ : 물/air 계의 확산계수, $\rho$ : air의 밀도에 대한 값들이 주어지기 때문에 이 값들을 위의 식에 대입해서 $Sh$ 를 구할 수 있습니다.
두 번째로 $Sh$ 의 정의 식에 $Sh$ 값을 대입하여 $k_{\rho}$ 값을 구합니다.

실전문제

 
그럼 앞에서 배운 내용을 익힐 겸 문제를 하나 풀어봅시다.

가로와 세로가 각각 $0.1m$ 인 얇은 소금으로 만들어진 평판(NaCl 고체판)이 바닷물 속에서 $0.5m/s$ 의 속도로 움직이고 있다. $290K$ 의 바닷물은 $0.0309$ $g/cm^3$ 의 소금을 함유하고 있다. 바닷물에서 소금의 포화농도는 $35$ $g/cm^3$ 이라고 하자. 바닷물의 동점도는 약 $1.02\times 10^{-6} m^2/s$ 일 때, 바닷물로 소금판이 용해되는 속도를 구하시오. 여기서, 물질전달 계수 $k_c = 0.664D_{AB}Re^{1/2}SC^{1/3}/L$ 이고, $D_{AB} = 1.22 \times 10^{-9} m^2/s$ 이다. 또한, 소금은 판의 상부와 하부 면에서만 바닷물로 용해될 뿐 소금판의 옆면에서의 용해는 무시한다. (이동현상 경시대회 18회 9번)

여기서 레이놀즈 수와 슈미트 수가 낯설죠? 무차원수로 위의 칠판에 나타낸 것과 같다고 알고 있으면 됩니다. (혹시 그 무차원수의 의미를 알고 싶다면 다음을 참고하세요.)

<참고>
$Re_L$ 레이놀즈 수
$Sc$ 슈미트 수

사용할 수 있는 식

 
그럼 어떤 식들을 사용할 수 있는지 알아볼까요? 먼저 주어진 단위들이 모두 몰 단위가 아니라 질량 단위이기 때문에 질량기준 mass flux식을 쓸 수 있고, 이것이 단위면적당 소금의 용해속도가 됩니다.
$$n_A = k_{\rho}(\rho_{As}-\rho_{Ab})$$
위의 식에서 소금판 표면의 소금 농도( $\rho_{As}$ )는 포화농도가 될 것이고, 더 농도가 낮은 바닷물( $\rho_{Ab}$ )로 소금이 전달될 것입니다. 이 두 농도는 주어져 있지만 아직 물질전달계수( $k_{\rho}$ )를 모르죠.
이를 구하기 위해서는 주어진 식 $Sh = k_cL/D_{AB} = 0.664Re^{1/2}SC^{1/3}$ 에 $Re$ 와 $Sc$ 를 먼저 구한 후 대입해서 $Sh$ 를 구합니다. 그리고 $k_{\rho} = ShD_{AB}/L$ 를 이용해서 물질전달계수를 구할 수 있습니다.

용해속도

 
물질전달계수도 구했으니 이제 문제에서 원하는 답을 구해보도록 하죠. 문제에서는 소금판의 용해속도를 구하라고 나와있는데, 판의 상부와 하부를 언급한 것으로보아 단위면적당 용해속도가 아닌 전체 용해속도를 구해야 한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 칠판에 쓴 것과 같이 상부와 하부 판의 넓이( $2\times S$ )를 용해 플럭스( $n_A$ )와 곱해 용해속도를 구할 수 있습니다.

# 진짜 마무리

오늘은 무차원수들의 design equation을 이용해서 복잡한 시스템에서 물질전달속도를 계산하는 방법을 배웠습니다. $Sh$ 를 계산하고 물질전달계수를 구하는 과정은 많은 값을 대입하는 과정으로 실수하기 매우 쉬우니 단위를 제대로 확인하고 계산하셔야 합니다. 대부분의 문제에서는 각 시스템에 맞는 식이 주어지기 때문에 굳이 design equation들을 외우실 필요는 없습니다. (중요한 것은 식이 달라도 접근하는 방법은 이번 포스팅에서 다룬 문제와 똑같습니다.) 그래도 책에 나오는 유명한 식들은 조건을 알고 있으면, 상황에 맞게 자유롭게 응용할 수 있죠. 기억해서 나쁠 건 없습니다. (시험에서 높은 점수를 받고 싶다면 시간 좀 투자하세요!ㅎㅎ)

처음에 계획했던 대로 물질전달 10선 연재를 무사히 마칠 수 있어서 정말 기쁘네요. 제가 3, 4학년 때 공부하면서 고민했던 문제들을 위주로, 직접 이동현상 경시대회를 준비하면서 얻은 노하우를 담아내려고 노력했는데, 잘 되었는지 모르겠어요. 제 글을 통해서 여러분들이 물질전달을 더 잘 이해할 수 있길 바랍니다. 읽어주셔서 감사합니다.

# 참고문헌

• C.O. Bennet, J.E. Myers, “Momentum, Heat, and Mass Transfer”, McGraw-Hill, 1982, p.583~587
• 이동현상 부문위원회, “이동현상의 응용과 해법”, 한국화학공학회, 2011, p.252~253