아홉 : Diffusion into a falling liquid film (Gas absorption)

# 유체역학과 물질전달

이론이 아닌 현실에서 만나는 문제들은 대부분 물질전달과 함께 열이나 운동량 전달이 관여하게 됩니다. 이 운동량(Momentum), 열(Heat), 물질(Mass) 전달을 통틀어서 이동현상(Transport Phenomena)라고 하는데요. 각 과목을 배우는 이유는 바로 현실에서 맞닥뜨리는 이동현상 문제를 풀기위함이라고 할 수 있습니다. 하지만 지금까지 같이 공부한 것은 순수한 물질전달 문제였지 유체역학이나 열전달과는 무관했습니다. 따라서 궁극적으로 이동현상 문제를 풀기위해서 혼합 전달이 일어나는 시스템에 대해 풀고 해석할 줄 알아야겠죠? 이번 시간에는 유체역학과 물질전달을 짬뽕해보겠습니다.

흘러내리는 액체에 기체가 얼마나 빠르게 녹을 수 있을까?

이번 포스팅에서 예제로 다룬 문제는 원래 벽을 타고 흘러내리는 액체가 바닥에 닿을 때까지 얼마나 많은 기체를 흡수할 수 있는지 알아보는 것입니다. 하지만 방대한 문제의 한 부분만 풀기로 하죠. 이번 시간에는 일단 기체가 액체에 녹는 속도가 어떻게 되는지 알아보겠습니다. 그럼 위의 칠판을 보면서 주어진 시스템을 파악해볼까요? 액체(B)가 흘러내리고 있는 벽은 아주 평평하다고 합시다. 그리고 기체(A)는 이 흘러내리는 액체 안의 A 물질의 농도 차이에 의해서 $x$ 방향으로 확산이 이루어질 것이고, $z$ 방향으로는 액체의 흐름과 함께 이동(대류)하게 됩니다.
문제를 조금 더 명확히하기 위해서 가정을 몇 가지 하자면, 우선 기체 A는 액체 B에 조금만 녹습니다. 만약 A가 B에 너무 많이 녹는다고 하면 유체의 속도분포가 한 가지 물질(B)만 있을 때에 비해서 달라질 우려가 있기 때문이에요. 두 번째로, A의 확산이 매우 천천히 일어난다고 합시다. 따라서 $x$ 방향으로의 확산외에 다른 물질전달 방법은 무시할 수 있습니다.

물론 유체역학과 물질전달을 한꺼번에 푼다는 의미를 충분히 느끼기 위해서 흘러내리는 유체의 속도분포를 직접 구해보는 것도 좋지만, 우리는 이제까지 물질전달만을 공부해왔잖아요? 그래서 유체역학 문제를 푸는 내용을 여기에 모두 다 설명한다 하더라도 큰 의미가 없을 거라 생각했습니다. 물질전달을 유체역학과 함께 푼다는 것에 보다 집중하기 위해 액체의 속도분포는 위와 같이 주어진다고 받아들입시다. (원래 문제에서는 위의 경계조건을 이용해서 직접 속도분포도 구할 수 있습니다.)

사용할 수 있는 식

 
그럼 어떤 식들을 사용할 수 있을지 알아볼까요? 중요한 것은 흘러내리는 유체가 있고, 이를 따라서 대류로 이동하는 방법과 이 유체를 가로질러 확산하는 방법으로 물질전달이 일어난다는 것입니다. 즉, Combined Molar flux를 $x, z$ 두 방향으로 고려해주어야 한다는 것입니다.
먼저 $N_{Az}$ 는 확산보다는 대류가 크게 기여하기 때문에(확산은 가정에 의해 느리니까요.) 확산을 가뿐히 무시해줍니다. 그리고 예전에 배웠던 Combined Molar flux의 성질을 이용하면 $N_{Az}+N_{Bz} = c\underline{v}^{*}$ 으로 표현할 수 있습니다. 그런데 유체역학 문제를 풀면서 얻은 운동량 방정식을 풀다보면 몰 평균 속도( $\underline{v}^{*}$ )가 아니라 질량 평균 속도( $\underline{v}$ )로 얻게 되고 앞에서 주어진 $v_z(x)$ 역시 질량 평균 속도입니다. 그래서 $\underline{v}^{*} \approx \underline{v}$ 라고 가정하여 ①번 식을 정리합니다.
두 번째로 $N_{Ax}$ 는 가정에 의해 $x$ 방향의 대류가 무시되니까 ②번 식과 같이 정리됩니다.
Combined flux와 더불어 물질전달 문제를 풀 때 항상 사용할 수 있는 식은 바로 Mass balance죠. 근데 이번에는 $x, z$ 두 방향으로 물질 A가 전달되기 때문에 2차원 Mass balance를 세워야 합니다. 겁먹지 마세요. 원리는 똑같으니까요.
$$input-output+generation=accumulation$$
위의 식에서 화학반응이 없으니 $generation=0$ , 문제에서 직접적으로 언급되지는 않았지만, 같은 위치( $x,z$ 고정)에서 시간에 따른 A의 농도 변화가 없기 때문에 $accumulation=0$ 입니다. 따라서 미소 부피로 물질 A가 들어오는 속도( $input$ )가 나가는 속도( $output$ )와 같아야 합니다. 즉, ③번 식을 쓸 수 있습니다.

식 정리

 
미분의 정의를 이용해서 ③번 식을 ④로 정리할 수 있고, ①, ②번 식들을 ④번 식에 대입하여 정리하면 ⑤번 식을 얻을 수 있습니다.

 
미분방정식에 대한 경계조건들을 살펴볼까요? 액체가 흘러내리기 시작하는 $z=0$ 에서는 당연히 기체와 접촉조차 못 해봤으니 기체의 농도가 0이겠죠. 그리고 전반적으로 $x=0$ 일 때에는 기체와 딱 접촉을 하고 있으니 원래 기체가 액체에 얼마나 녹는지(용해도)에 따라 기체의 농도가 정해질 것입니다. 마지막으로 흘러내리는 액체 막의 두께인 $x=\delta$ 에서는 고체 벽으로 기체가 더 이상 확산하지 못하기 때문에 확산 플럭스( $J = -D_{AB}\partial C_A/\partial x$ )가 0이 되도록 농도 기울기가 0이 돼야 합니다.
그런데 이런 조건을 사용해서 미분방정식을 풀기에는 ⑤번 식이 너무 복잡합니다. 따라서 식을 더 간단하게 만들기 위해 가정을 도입해야 합니다. 문제에서 A의 확산이 매우 느리게 일어난다고 했던 것 기억하시나요? 이 가정을 달리 말하면 A의 투과깊이(penetration depth)가 아주 작다라고 할 수 있습니다. 이로 인해 대부분의 물질 A가 존재하는 부분은 액체의 상당히 겉부분이고 이 부근에서 속도분포 $v_z(x) \approx v_m$ 가 됩니다. ( $v_m$ 은 maximum 속도, 상수)

 
따라서 ⑤번 식은 더 간단해지고, 가정에 의해 경계조건 중 세 번째도 칠판에 설명한 것과 같이 바뀌게 됩니다. 결과적으로 우리가 풀어야 하는 식은 Unsteady-state diffusion into a semi-infinite liquid 문제에서 풀었던 것과 같은 꼴이라는 것을 알 수 있습니다. 그렇다면 해법도 비슷하겠죠? 그래서 유사한 방법으로 치환을 하고, ⑥, ⑦, ⑧, ⑨번 식들을 얻습니다.

 
이제 ⑥번 식에 ⑦, ⑧, ⑨번 식들을 대입하여 정리하면 편미분방정식을 상미분방정식(⑩번 식)으로 바꿀 수 있습니다. 경계조건들을 이용해서 이 상미분방정식을 풀면, 다음의 ⑪번 식을 얻을 수 있습니다.

 
만약 생략한 과정들에 대해 자세히 알고 싶으시다면 이전 포스팅 Unsteady-state diffusion into a semi-infinite liquid을 참고하세요.

결과 해석

그럼 우리가 원래 구하려고 했던 것이 무엇인지 기억하시나요? 기체가 흘러내리는 액체에 얼마나 빠른 속도로 녹는지를 알아보는 것이었죠! 이것이 바로 기체/액체 경계면에서의 Local Mass Flux입니다.(이름은 Mass flux지만 molar flux로 구하겠습니다. 단위만 변환하면 되니까요.) 기체가 액체에 녹는 것은 $x$ 방향으로 이루어지는 것이기 때문에 $N_{Ax}$ 값을 구해야 하는데, 기체와 액체의 경계면 $x=0$ 일 때 값을 구해야겠죠? 따라서 이를 구하기 위해 ⑪번 식을 $x$ 에 대해서 편미분하고 $x=0$ 을 대입하여 농도 기울기를 구합니다. 그리고 결과적으로 Local Mass Flux ( $N_{Ax}|_{x=0}$ )를 구할 수 있습니다.

# 마무리

오늘은 운동량전달과 물질전달이 동시에 일어나는 시스템에 대한 문제를 풀어보았습니다. 운동량방정식을 풀어서 나온 속도가 질량 평균 속도이기 때문에 원래 이를 고려하여 물질전달도 모두 질량을 기준으로 나타내어야 했지만, 이번 시간에는 몰 평균 속도와 질량 평균 속도가 같다고 가정하여 풀었습니다. 사실 물질전달을 처음 접했을 때, 질량 기준인지 몰 기준인지 구별하는 것이 상당히 낯설고 어렵게 느껴집니다. 이번 문제에서도 보통은 질량 기준으로 바꾸어 물질전달을 유체역학 문제와 같이 푸는 게 정석이지만, 문제의 의도에 따라 적절히 가정을 사용하여 몰 기준으로 풀 수 있었습니다. 헷갈리는 게 사실입니다. 하지만 다양한 문제를 경험하다보면 쉬운 방법을 선택할 수 있는 혜안을 가질 수 있을 것입니다. 그럼 오늘도 복습 잘 하시고, 다음 시간에는 드디어 물질전달 10선의 마지막 문제를 가지고 찾아뵙겠습니다.

# 참고문헌

• R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot, “Transport Phenomena“, John Wiley & Sons, Inc., 2007, p.558~560